Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB (C khác A và B). Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động trên một cung tròn cố định.

Vì dây AB cố định nên $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}$ không đổi.

Đặt $\widehat{ACB}=\alpha$. Ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{ABC}=180°-\widehat{ACB}=180°-\alpha$.

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI lần lượt là tia phân giác của hai góc A và B. Suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC};\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC} \\ \Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=90°-\frac{\alpha }{2} \end{gathered}$$

Lại có: $\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \widehat{AIB}=180°-\left(\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\right)=180°-\left(90°-\frac{\alpha }{2}\right)=90°+\frac{\alpha }{2}$ không đổi.

Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ là đường thẳng AB nên I luôn chuyển động trên cung chứa góc $90°+\frac{\alpha }{2}$ dựng trên đoạn AB.