Chứng minh rằng phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.

Ta có a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x.

Xét hàm số f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x.

+) Với a = 0 Þ f (x) = b.cos³ x - 2c.cos x = cos x.( b.cos² x - 2c) = 0

Nên luôn cho nghiệm cos x = 0 (*)

+) Với a ¹ 0 Þ f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x

f (x) liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn  (1)

Ta có:$\left.\begin{array}{c}f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=2a\\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-2a\end{array}\right\}$

$\Rightarrow f\left(-\frac{\pi }{2}\right).f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2a.\left(-2a\right)=-4a^2<0$(2)

Từ (1) và (2) nên suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  (**)

Từ (*) và (**), vậy suy ra phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.