Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD). Gọi M, N lần lượt  là trung điểm của AD và BC. Phân giác của góc A và góc B cắt MN theo thứ tự ở I và J. Chứng minh:

a. Tam giác $\Delta AIM;\Delta BJN$ là tam giác cân.

Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Góc nhọn hợp bởi hai đường chéo AC, BD bằng $60°$. Gọi  M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

Cho hình thang vuông ABCD, có $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{D}}=90°$. Gọi M, N lần lượt  là trung điểm của các cạnh BC, AD. Chứng minh:

a. Tam giác MAD là tam giác gì? Vì sao?

b. Cho AB = 6cm; FE = 5cm. Tính các độ dài CD, EQ.

Cho hình thang ABCD (AB // CD). E là trung điểm của  AC, F là trung điểm của BD .đường thẳng EF // AB cắt BD tại Q, cắt BC tại Q.

a. Chứng minh PB = PD, QB = QC.

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Tia BI cắt AC ở D. Qua M kẻ đường thẳng song song với  BD cắt AC ở E. Chứng minh:

a. AD = DE = EC.

Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng:

a. ME // AB.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CM và BN. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Chứng minh CD = 2CM.

Cho tam giác ABC có độ dài BC = 12cm và M là trung điểm của cạnh AB. Tia Mx song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh:

a. N là trung điểm của cạnh AC.

Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10cm .

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC

a) Chứng minh: $AD=\frac{1}{2}DC$

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A', B' ,C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d . Chứng minh rằng BB' + CC' = AA' .

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang.

Cho tam giác ABC, BC = 6 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho $AD=\frac{1}{3}AB$. Vẽ $DE//BC\left(E\in AC\right)$. Tính độ dài DE.

Cho tứ giác ABCD có chụ vi là 4a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh AG chia đôi MN.

Cho $\Delta ABC$ nhọn, lấy các cạnh $AB,AC$ và BC dựng các tam giác vuông cân $\Delta ABD,\Delta ACE,\Delta BCF,$ hai tam giác đầu dựng ra phía ngoài $\Delta ABC$, còn tam giác thứ 3 dựng trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BC với $\Delta ABC$. Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình bình hành.

Cho$\Delta ABC$ vuông tại A có BE là đường phân giác của $\Delta ABC$ ($E\in AC$). Kẻ $AD\perp BC(D\in BC),AD$ cắt BE tại F. Chứng minh $\frac{FD}{FA}=\frac{EA}{EC}$

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại M , tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng $BM\perp CN$

Cho hình bình hành ABCD. Kẻ $AH\perp CD,AK\perp BC$. Chứng minh rằng $\Delta KAH~$$\Delta ABC$

Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$, $\widehat{A}=\widehat{D}={90}^0;AB=2;CD=4,5;BD=3$. Chứng minh rằng $BC\perp BD$

Cho $∆$ABC có$\widehat{B}=2\widehat{C}$, $AB=8cm,BC=10cm.$ Tính AC

Cho hình thoi ABCD có góc $\widehat{A}={60}^0$. Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia đối của các tia  BA,DA  theo thứ tự ở E,F. Chứng minh rằng:$\frac{EB}{BA}=\frac{AD}{DF}$

Hình thang$ABCD\left(AB//CD\right)cóAB=2cm,BD=4cm,CD=8cm$. Chứng minh rằng $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{DBC}}$.

Cho $∆$ABC, biết AB = 7,5cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Trên AB, AC theo thứ tự lấy điểm M và N sao cho AN = 3cm, AM = 2,5cm. Tính độ dài đoạn MN.

Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Lấy M tùy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N ∈ AC), kẻ MP song song với AC ( với P ∈ AB). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh rằng $\widehat{OMP}=\widehat{AMN}$.