Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤14(a+b+c)

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y≤141x+1y với x, y > 0. Thậy vậy, với x, y > 0 thì: 1x+y≤141x+1y⇔1x+y≤x+y4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x2+2xy+y2−4xy≥0 ⇔x2−2xy+y2≥0⇔(x−y)2≥0 (luôn đúng) Do đó: 1x+y≤141x+1y với x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)≤14(1a+c+1b+c)⇒aba+b+2c≤ab41a+c+1b+c Tương tự ta có: bcb+c+2a≤bc41b+a+1c+acac+a+2b≤ca41c+b+1a+b Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤ab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b =14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c) Do đó VT≤14VP (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu hỏi:

19/10/2022 53

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

$\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \Leftrightarrow \frac{1}{x + y} \leq \frac{x + y}{4 x y} \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

Do đó: $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$\frac{1}{a + b + 2 c} = \frac{1}{(a + c) + (b + c)} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) \Rightarrow \frac{a b}{a + b + 2 c} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c})$

Tương tự ta có: $\{\begin{cases} \frac{b c}{b + c + 2 a} \leq \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) \\ \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b}) \end{cases}$

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) + \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) + \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b})$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} [\frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c} + \frac{b c}{b + a} + \frac{b c}{c + a} + \frac{c a}{c + b} + \frac{c a}{a + b}] \\ = \frac{1}{4} [\frac{a b + b c}{a + c} + \frac{a b + c a}{c + b} + \frac{b c + c a}{b + a}] = \frac{1}{4} [\frac{b (a + c)}{a + c} + \frac{a (b + c)}{c + b} + \frac{c (b + a)}{b + a}] = \frac{1}{4} (a + b + c) \end{array}$

Do đó $V T \leq \frac{1}{4} V P$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 19/10/2022 94

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa $\{\begin{cases} x > y \\ x y = 1 \end{cases}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} .$

Xem đáp án » 19/10/2022 81

Câu 3:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 19/10/2022 77

Câu 4:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 72

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem đáp án » 19/10/2022 67

Câu 6:

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{400}} < 38$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 65

Câu 7:

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

Xem đáp án » 19/10/2022 65

Câu 8:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án » 19/10/2022 64

Câu 9:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 60

Câu 10:

Rút gọn biểu thức

$A = \sqrt{2} + \sqrt{18}$

Xem đáp án » 19/10/2022 58

Câu 11:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 58

Câu 12:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x \geq 3; y \geq 3.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 21 (x + \frac{1}{y}) + 3 (y + \frac{1}{x})$

Xem đáp án » 19/10/2022 56

Câu 13:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 19/10/2022 53

Câu 14:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 49

Câu 15:

Cho x, y là các số thực dương thỏa x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2 x^{2} - y^{2} + x + \frac{1}{x} + 1.$

Xem đáp án » 19/10/2022 47

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 15028 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 4066 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 3645 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 3590 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 3417 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 3372 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 3291 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 (có đáp án): Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

2 đề 3125 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

6 đề 2662 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Hình học có đáp án

7 đề 2329 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤14(a+b+c)

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab Chứng minh rằng: a4b2+1+b4a2+1≥12

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa x>yxy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2x−y.

Câu 3:

Cho biểu thức P=a4+b4−ab với a, b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 4:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ac=6. Chứng minh rằng: a3b+b3c+c3a≥3

Câu 6:

Chứng minh 12+13+...+1400<38.

Câu 7:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Cho x, y là hai số thực thỏa $\{\begin{cases} x > y \\ x y = 1 \end{cases}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} .$

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{400}} < 38$ .