Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z≥2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2x+yz+y2y+zx+z2z+xy.

Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0 Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2 ≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2 ⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z (*) Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2 ⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2 =2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z =2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673

Câu hỏi:

13/07/2024 82

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ với $a, b, c, x, y, z > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số $(\frac{a}{\sqrt{x}}; \sqrt{x}), (\frac{b}{\sqrt{y}}; \sqrt{y}), (\frac{c}{\sqrt{z}}; \sqrt{z})$

ta có $(\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z}) (x + y + z) = [{(\frac{a}{\sqrt{x}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{y}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{z}})}^{2}] [{(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} + {(\sqrt{z})}^{2}]$

$\geq {(\frac{a}{\sqrt{x}} . \sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{y}} . \sqrt{y} + \frac{c}{\sqrt{z}} . \sqrt{z})}^{2} = {(a + b + c)}^{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ ()

Dấu “=” xảy khi khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có $\sqrt{y z} \leq \frac{y + z}{2}; \sqrt{z x} \leq \frac{z + x}{2}; \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

$\Rightarrow T \geq \frac{x^{2}}{x + \frac{y + z}{2}} + \frac{y^{2}}{y + \frac{z + x}{2}} + \frac{z^{2}}{z + \frac{x + y}{2}}$

$= \frac{2 x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{2 y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{2 z^{2}}{x + y + 2 z}$

$= 2 (\frac{x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{z^{2}}{x + y + 2 z})$

Áp dụng bất đẳng thức () ta có

$T \geq 2 \frac{{(x + y + z)}^{2}}{4 (x + y + z)} = \frac{x + y + z}{2} = \frac{2019}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{2019}{2}$ khi x = y = z = 673

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 19/10/2022 116

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa $\{\begin{cases} x > y \\ x y = 1 \end{cases}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} .$

Xem đáp án » 19/10/2022 99

Câu 3:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 19/10/2022 94

Câu 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem đáp án » 19/10/2022 89

Câu 5:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 89

Câu 6:

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{400}} < 38$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 84

Câu 7:

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

Xem đáp án » 19/10/2022 84

Câu 8:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án » 19/10/2022 83

Câu 9:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án » 19/10/2022 77

Câu 10:

Rút gọn biểu thức

$A = \sqrt{2} + \sqrt{18}$

Xem đáp án » 19/10/2022 77

Câu 11:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 19/10/2022 73

Câu 12:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x \geq 3; y \geq 3.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 21 (x + \frac{1}{y}) + 3 (y + \frac{1}{x})$

Xem đáp án » 19/10/2022 71

Câu 13:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 19/10/2022 68

Câu 14:

Cho x, y là các số thực dương thỏa x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2 x^{2} - y^{2} + x + \frac{1}{x} + 1.$

Xem đáp án » 19/10/2022 67

Câu 15:

Giải bất phương trình

$7 x - 2 > 4 x + 3$

Xem đáp án » 19/10/2022 65

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 15276 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 5830 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 4792 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 4518 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 4375 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 3773 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 3651 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2 (có đáp án): Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

2 đề 3248 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)

22 đề 3163 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

6 đề 2920 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z≥2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2x+yz+y2y+zx+z2z+xy.

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab Chứng minh rằng: a4b2+1+b4a2+1≥12

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa x>yxy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2x−y.

Câu 3:

Cho biểu thức P=a4+b4−ab với a, b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ac=6. Chứng minh rằng: a3b+b3c+c3a≥3

Câu 5:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.

Câu 6:

Chứng minh 12+13+...+1400<38.

Câu 7:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Cho x, y là hai số thực thỏa $\{\begin{cases} x > y \\ x y = 1 \end{cases}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} .$

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{400}} < 38$ .