Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x³ + y³ + z³ – 3xyz = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2}{(x+y+z)}^2+4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

Ta có:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2

x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z

Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz $=\frac{t}{2}$ khi đó ta có

$P=\frac{1}{2}{(x+y+z)}^2+4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=\frac{t^2}{2}+\frac{8}{t}=\left(\frac{t^2}{2}+2\right)+\frac{8}{t}-2$

Áp dụng BĐT Cô si ta có: $\frac{t^2}{2}+2\ge 2\sqrt{\frac{t^2}{2}.2}=2t$ (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

$2t+\frac{8}{t}\ge 2\sqrt{2t.\frac{8}{t}}=8$ (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6