b) $BH=5cm,AH=12cm$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHB vuông tại H, ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2={12}^2+5^2=144+25=169$.

Do đó $AB=\sqrt{169}=13$ (cm).

Suy ra: $\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{12}{13}$.

Ta có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$.

$\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}=\frac{A{B}^2-A{H}^2}{A{H}^2.A{B}^2}=\frac{{13}^2-{12}^2}{{13}^2{.12}^2}=\frac{25}{24336}$.

Vậy $AC=\sqrt{\frac{24336}{25}}\approx \mathrm{31,2}$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H:

$H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2\approx {\mathrm{31,2}}^2-{12}^2=\mathrm{829,44}$.

Vậy $HC=\sqrt{\mathrm{829,44}}\approx \mathrm{28,8}$ (cm).

Ta có: $BC=BH+HC=5+\mathrm{28,8}=\mathrm{33,8}$ (cm).

Vậy: $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{13}{\mathrm{33,8}}$.