Diện tích hình nón, thể tích khối nón
-
155 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tam giác AOB vuông tại O. Quay tam giác quanh cạnh OA ta được hình nón có đường sinh và đường cao lần lượt là:
Quan sát hình vẽ ta thấy đường sinh là AB và đường cao AO.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2:
Cho hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại điểm O và góc giữa hai đường thẳng là \[\alpha ({0^0} < \alpha < {90^0}).\] Quay đường thẳng d′ quanh d thì ta được mặt nón có góc ở đỉnh bằng:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3:
Cho hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại điểm O và góc giữa hai đường thẳng là \[\alpha \]. Quay đường thẳng d′ quanh d thì số đo \[\alpha \] bằng bao nhiêu để mặt tròn xoay nhận được là mặt nón tròn xoay?
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d, d′ cắt nhau tại O và tạo thành góc \[\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\] Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh d thì đường thẳng d′ sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón).
Do đó điều kiện để có được mặt nón tròn xoay là góc \[{0^0} < \alpha < {90^0}\].
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4:
Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:
Gọi O là giao điểm của AD và BC.
- Quay tam giác vuông ABO quanh BO ta được một hình nón.
- Quay tam giác vuông DCO quanh CO ta được một hình nón.
Vậy có tất cả hai hình nón được tạo thành.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5:
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: \[{S_{xq}} = \pi rl\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r = 3cm và độ dài đường sinh 4cm là:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 7:
Cho hình nón bán kính đáy r và diện tích xung quanh Sxq. Độ dài đường sinh l của hình nón là:
Từ công thức \[{S_{xq}} = \pi rl\] ta có: \[l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 8:
Gọi r, l, h lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. Chọn mệnh đề đúng:
Quan sát hình vẽ ta thấy: l = AB, r = OB, h = AO.
Mà \[A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}\;\] nên \[{l^2} = {r^2} + {h^2}\;\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9:
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường cao h và độ dài đường sinh l là:
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 10:
Cho hình nón có các kích thước r = 1cm; l = 2cm với r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
Áp dụng công thức \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\] ta được:
\[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.2 + \pi {.1^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Cho hình nón có các kích thước r = 1; h = 2 với r,hr,h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
Ta có: \[{l^2} = {r^2} + {h^2} = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \]
Do đó \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5 + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi \]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 12:
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h là:
Công thức tính thể tích khối nón: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 13:
Thể tích khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l là:
Ta có:\[{l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \]
Do đó \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 14:
Thể tích khối nón có bán kính đáy r = 2cm và h = 3cm là:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15:
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy Sd và đường sinh l là:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 16:
Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc \(\widehat {BAO} = {30^0},AB = a.\) Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng:
Hình nón thu được có đường sinh l = AB = a; bán kính đáy
\[r = OB = AB.\sin {30^ \circ } = \frac{a}{2}\]và diện tích xung quanh là
\[{S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 17:
Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng \[9\pi \]. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 18:
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a = 3 . Tính độ dài đường cao của hình nón.
Độ dài đường cao của hình nón cũng chính là chiều cao của tam giác đều
\[ \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 19:
Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là \[2\varphi \] thỏa mãn
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là \[\Delta ABC\] cân tại A với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy của nón.
Gọi H là tâm đáy nón ⇒H là trung điểm \[BC,AH \bot BC\]Ta có \[HB = HC = 1,AH = 2\]. Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{2\varphi = \angle BAC \Rightarrow \varphi = \angle HAC}\\{AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt 5 }\\{\cos \varphi = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 20:
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là \[\Delta ABC\] với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.
Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1,O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1,D2 lần lượt là tiếp điểm của AC với (O1) và (O2).
Vì O1D1//O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:
\[ \Rightarrow \frac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \frac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {O_2}\] là trung điểm của
\[A{D_1} \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a\]
\[ \Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a\]
Xét tam giác vuông \[A{O_1}{D_1}\] có: \[A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}} = 4\sqrt 2 a\]Dễ thấy:
\[{\rm{\Delta }}A{O_1}{D_1} \sim {\rm{\Delta }}ACH\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \frac{{AH}}{{A{D_1}}} \Rightarrow HC = \frac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \frac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 21:
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \[3\pi {a^2}\] và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
Ta có: \[{S_{xq}} = \pi rl = 3\pi {a^2} = \pi al \Rightarrow l = 3a\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 22:
Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h(h > R). Tìm hh để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R}\\{V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)}\end{array}\]
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
\[f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)\]
\[ = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\]
\[ \Rightarrow f\prime (r) = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R)\prime \]
\[ = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + ({r^2}R)\prime \]
\[ = ({r^2})\prime \sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + 2rR\]
\[ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\]
\[ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\]
\[ = r(2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R)\]
\[\begin{array}{l}f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}\]
\[ \Leftrightarrow {r^2} = \frac{8}{9}{R^2} \to h = \frac{{4{\rm{R}}}}{3}.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 23:
Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 1350. Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{SAM}} = \frac{1}{2}SA.SM\sin \widehat {ASM}}\\{ = \frac{1}{2}S{A^2}\sin \widehat {ASM} \le \frac{1}{2}S{A^2}}\\{ \Rightarrow \max {S_{SAM}} = \frac{1}{2}S{A^2}}\end{array}\]
Dấu “=” xảy ra khi \[\sin \widehat {ASM} = 1 \Leftrightarrow \widehat {ASM} = {90^0}\]
Có 2 điểm M như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua AB).
Đáp án cần chọn là: C
Câu 24:
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số \(\frac{h}{r}\).
Theo đầu bài ta có bán kính của khối cầu và khối nón đều bằng r.
Từ dữ kiện đầu bài ta suy ra :\[{V_{non}} = \frac{3}{4}.{V_{cau}} \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{3}{4}.\frac{4}{3}\pi {r^3} \Leftrightarrow \frac{h}{r} = 3\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 25:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD,BC; AD = 3BC = 3a, AB = a,\(SA = a\sqrt 3 \). Điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng(ABCD).
Xét tam giác SAD vuông tại A có \[SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow \widehat {SDA} = {30^0} \Rightarrow \widehat {MAI} = {30^0}\]
Lại có tam giác SAI vuông tại A có\[SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow \widehat {SIA} = {60^0}\] nên tam giác AHI có\[\hat H = {90^0}\] hay \[AH \bot SI\]
Mà \[AH \bot IC\] do \[IC//BA \bot \left( {SAD} \right)\] nên \[AH \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\]Ngoài ra,\[AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\]
Mà\[AF \bot SC\] nên\[SC \bot \left( {AEFH} \right)\] và AEFH là tứ giác có \[\hat E = \hat H = {90^0}\] nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF.Gọi O là trung điểm AC thì OK//SC, mà\[SC \bot \left( {AEFH} \right)\] nên \[OK \bot \left( {AEFH} \right)\] hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF.
Ta tính AF,OK.
Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên
\[AF = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }};OK = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}.\frac{{C{A^2}}}{{CS}} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]
Vậy thể tích \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 26:
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Kéo dài CM cắt DA tại E. Quay hình thang vuông AMCD quanh trục AD ta được hình nón cụt như hình vẽ.
Quay tam giác EDC quanh trục ED ta được hình nón.
Dễ thấy \[{V_{nc}} = {V_1} - {V_2}\] V1V1 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy DC = 2DC = 2 và V2 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy AM = 1
Có\[\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AM}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EA = AD = 2 \Rightarrow ED = 4\]
\[ \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi D{C^2}.ED = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\]
\[{V_2} = \frac{1}{3}\pi A{M^2}EA = \frac{1}{3}\pi {.1^2}.2 = \frac{{2\pi }}{3}\]
Vậy \[V = {V_1} - {V_2} = \frac{{16\pi }}{3} - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 27:
Cho tam giác ABC đều, có diện tích bằng s1 và AH là đường cao. Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có diện tích xung quanh bằng s2. Tính \(\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}}\).
Giả sử tam giác ABC đều cạnh a \[ \Rightarrow {s_1} = {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có đường sinh\[l = AB = a\] bán kính đáy \[r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\] do đó diện tích xung quanh của hình nón bằng: \[{s_2} = \pi rl = \pi .\frac{a}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\]
Vậy \[\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{\pi {a^2}}}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\pi }}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 28:
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = 2. Biết diện tích xung quanh của hình nón là \[2\sqrt 5 \pi \]. Tính thể tích khối nón.
Ta có : \[{S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow 2\sqrt 5 \pi = \pi .2l \Leftrightarrow l = \sqrt 5 \]
Lại có\[{l^2} = {R^2} + {h^2} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {2^2} + {h^2} \Leftrightarrow {h^2} = 1 \Leftrightarrow h = 1\]
Vậy thể tích khối nón là : \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.1 = \frac{4}{3}\pi \]
Đáp án cần chọn là: C