Thứ năm, 28/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

  • 186 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chọn công thức đúng:

Xem đáp án
Công thức đúng là \[\smallint udv = uv - \smallint vdu\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 2:

Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:

Xem đáp án

Ta có: \[u = g\left( x \right) \Rightarrow du = g'\left( x \right)dx\]

\[dv = h\left( x \right)dx \Rightarrow v = \smallint h\left( x \right)dx\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).

Xem đáp án

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x + 1}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - \smallint f\left( x \right)dx + C\]

\[ \Rightarrow I = \smallint f\left( x \right)dx = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - F\left( x \right) + C.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln3x}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{3}{{3x}}dx}\\{v = \frac{1}{3}{x^3}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = \frac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \smallint \frac{1}{3}{x^3}.\frac{3}{{3x}}dx = \frac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \smallint \frac{1}{3}{x^2}dx = \frac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \frac{1}{9}{x^3} + C\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 2x + 3}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \smallint (2x + 3){e^x}dx = (2x + 3){e^x} - \smallint {e^x}2dx = (2x + 3){e^x} - 2{e^x} = (2x + 1){e^x}\]

Khi đó\[a = 2,b = 1\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 6:

Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:

Xem đáp án

\[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{{e^x}}}dx = \smallint x{e^{ - x}}dx\]

Đặt

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = {e^{ - x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - {e^{ - x}}}\end{array}} \right. \Rightarrow F(x) = - x{e^{ - x}} + \smallint {e^{ - x}}dx + C\\ = - x{e^{ - x}} - e - x + C = - (x + 1){e^{ - x}} + C = - \frac{{x + 1}}{{{e^x}}} + C.\end{array}\)

\[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số

 \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{C = 0}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Tìm nguyên hàm F(x) của \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}.\] biết F(0)=1.

Xem đáp án

\[F\left( x \right) = \smallint \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx = \smallint \left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx = \smallint {2^x}{e^{ - x}}dx - \smallint {e^{ - x}}dx\]

\[ = \smallint {2^x}{e^{ - x}}dx + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {2^x}}\\{dv = {e^{ - x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = {2^x}ln2dx}\\{v = - {e^{ - x}}}\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + ln2\smallint {2^x}{e^{ - x}}dx + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + ln2.I + {C_2}\\ \Leftrightarrow (ln2 - 1)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = \frac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{ln2 - 1}} + {C_2}.\end{array}\]

\[ \Rightarrow F(x) = \frac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{ln2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = \frac{{{2^x}}}{{(ln2 - 1){e^x}}} + \frac{1}{{{e^x}}} + C\]

\[ \Rightarrow F(0) = \frac{1}{{ln2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]

\[ \Rightarrow F(x) = \frac{{{2^x}}}{{(ln2 - 1){e^x}}} + \frac{1}{{{e^x}}} - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]

\[ = \frac{1}{{ln2 - 1}}{\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x} - \frac{1}{{ln2 - 1}}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 8:

\[\smallint x\sin x\cos xdx\]bằng:

Xem đáp án

\[I = \smallint x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\smallint x\sin 2xdx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = sin2xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{{cos2x}}{2}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( { - x.\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\smallint \cos 2xdx} \right) + C\]

\[ = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{x\cos 2x}}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right) + C\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Tính \[I = \smallint \cos \sqrt x dx\] ta được:

Xem đáp án

Đặt \[\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\smallint t\cos tdt.\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = t}\\{dv = costdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dt}\\{v = sint}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = 2\left( {t\sin t - \smallint sintdt + C} \right) = 2\left( {t\sin t + \cos t + C} \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 10:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:

Xem đáp án

Ta có \[F\left( x \right) = \smallint x.\cos xdx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = sinx}\end{array}} \right. \Rightarrow F(x) = xsinx - \smallint sinxdx + C = xsinx + cosx + C.\)

\[F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow 0\sin 0 + \cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x + \cos x\]

Ta có:

\[F\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = x\sin x + \cos x = F\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right)\] là hàm chẵn.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\] thỏa mãn F(0)=0. Tính \[F(\pi )?\]

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{1}{{co{s^2}x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = tanx}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow F(x) = xtanx - \smallint tanxdx + C = xtanx - \smallint \frac{{sinx}}{{cosx}}dx + C\]

\[ = xtanx + \smallint \frac{{d(cosx)}}{{cosx}} + C = xtanx + ln|cosx| + C.\]

\[ \Rightarrow F(0) = C = 0 \Rightarrow F(\pi ) = 0\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 12:

Tính \[I = \smallint x{\tan ^2}xdx\] ta được:

Xem đáp án

\[I = \smallint x{\tan ^2}xdx = \smallint x\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \smallint x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \smallint xdx = {I_1} - {I_2}\]

Ta có:\[{I_2} = \smallint xdx = \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2},{I_1} = \smallint x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{1}{{co{s^2}x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = tanx}\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \smallint \tan xdx + {C_1} = x\tan x - \smallint \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx + {C_1}}\\{ = x\tan x + \smallint \frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}} + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.}\\{ \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - \frac{{{x^2}}}{2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - \frac{{{x^2}}}{2} + C.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx\]  là:

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}\\{ \Rightarrow I = \smallint \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx}\end{array}\]

Đặt\[t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\] khi đó ta có:\[I = \smallint t\ln tdt\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = lnt}\\{dv = tdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = \frac{{{t^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{1}{2}\smallint tdt + C = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{{{t^2}}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{2}{(sinx + cosx)^2}ln(sinx + cosx) - \frac{{{{(sinx + cosx)}^2}}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{2}(si{n^2}x + co{s^2}x + sin2x)ln(sinx + cosx) - \frac{{1 + sin2x}}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln{(sinx + cosx)^2} - \frac{{sin2x}}{4} - \frac{1}{4} + {C_1}\]

\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln(1 + sin2x) - \frac{{sin2x}}{4} + C.\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:

Xem đáp án

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(x + \sqrt {{x^2} + 1} )}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx}\\{v = x}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{\frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{v = x}\end{array}} \right.dx = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\[ \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \smallint \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx + {C_1}.\]

Đặt\[t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx\]

\[ \Rightarrow \smallint \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \smallint \frac{{tdt}}{t} = \smallint dt = t + {C_2} = \sqrt {{x^2} + 1} + {C_2}\]

Khi đó ta có:\[ \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 15:

Tính \[I = \smallint {e^{2x}}\cos 3xdx\] ta được:

Xem đáp án

Đặt

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = cos3xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = \frac{{sin3x}}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}{e^{2x}}sin3x - \frac{2}{3}\smallint {e^{2x}}sin3xdx + {C_1}.\)

Xét nguyên hàm\[\smallint {e^{2x}}\sin 3xdx\] đặt

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {e^{2x}}}\\{db = sin3xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{da = 2{e^{2x}}}\\{b = - \frac{{cos3x}}{3}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \smallint {e^{2x}}\sin 3xdx = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}\smallint {e^{2x}}\cos 3x + {C_1} = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}I + {C_2}\]

Do đó ta có 

\[\begin{array}{*{20}{l}}{I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}I + {C_2}} \right) + {C_1}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{13}}{9}I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x + C}\\{ \Leftrightarrow I = \frac{1}{{13}}{e^{2x}}\left( {3\sin 3x + 2\cos 3x} \right) + C.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:

Xem đáp án

Ta có:

\[I = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{\frac{{x{e^x} + 1}}{{{e^x}}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \smallint \frac{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx.\]

Đặt

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x{e^x}}\\{dv = \frac{{(x + 1){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \frac{{d(x{e^x} + 1)}}{{x{e^x} + 1}}}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = ({e^x} + x{e^x})dx = (x + 1){e^x}dx}\\{v = ln|x{e^x} + 1|}\end{array}} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có: \[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx + C.\]

Đặt\[t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\]

\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx = \smallint \ln \left| t \right|dt\]

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln|t|}\\{dv = dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = t}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| t \right|dt = \ln \left| t \right|.t - \smallint dt + C = \ln \left| t \right|.t - t + C\]

\[ = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C.\]

Vậy\[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C\]

\[ = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Tính \[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\]?

Xem đáp án

Ta có:\[\frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]

\[ \Rightarrow \smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx\,\,\left( 1 \right)\]

Ta tính\[\smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\] bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{{d({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra 

\[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + C.\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:

Xem đáp án

Vì \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) nên

\[{\left( {x{e^x}} \right)^\prime } = f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\prime (x) = - {e^{ - x}}(1 - x) - {e^{ - x}} = - e - x(2 - x) = (x - 2){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f\prime (x){e^x} = (x - 2){e^{ - x}}.{e^x} = x - 2\\ \Rightarrow F(x) = \smallint f(x)dx = \smallint (x - 2)dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C\\F(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 1\\ \Rightarrow F( - 1) = \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} - 2( - 1) + 1 = \frac{7}{2}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{l}F\prime (x) = f(x)\\ \Leftrightarrow f\prime (x) - {e^x} - 1 = f(x)\\ \Leftrightarrow f\prime (x) - f(x) = {e^x} + 1\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f\prime (x) - {e^{ - x}}.f(x) = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow [{e^{ - x}}.f(x)]\prime = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \smallint [{e^{ - x}}.f(x)]\prime dx = \smallint (1 + {e^{ - x}})dx\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f(x) = x - {e^{ - x}} + C\\ \Leftrightarrow f(x) = x.{e^x} - 1 + C.{e^x}\end{array}\]

Thay x=0 ta có: \[f\left( 0 \right) = - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = x.{e^x} - 1 + 2{e^x} = (x + 2){e^x} - 1\\ \Rightarrow \smallint f(x)dx = \smallint [(x + 2){e^x} - 1]dx\\ = \smallint (x + 2){e^x}dx - \smallint dx\\ = (x + 2){e^x} - \smallint {e^x}dx - x + C\\ = (x + 2){e^x} - {e^x} - x + C\\ = (x + 1){e^x} - x + C\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:

Xem đáp án

Vì\[F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\]  là một nguyên hàm của\[2020x.{e^x}\] nên

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow 2020{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = x.{e^x}}\end{array}\]

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx = \smallint x.{e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \smallint {f^{2019}}\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right] = x.{e^x} - \smallint {e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{f^{2020}}\left( x \right)}}{{2020}} = x.{e^x} - {e^x} + C}\\{ \Leftrightarrow {f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x} + 2020C}\end{array}\]

Có \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 0 = 2020C \Leftrightarrow C = 0\] do đó\[{f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x}\]

\[ \Rightarrow I = \smallint {f^{2020}}\left( x \right)dx = \smallint 2020\left( {x - 1} \right){e^x}dx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x - 1}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - \smallint {e^x}dx + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - {e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 2} \right){e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Bắt đầu thi ngay