Các dãy số có giới hạn 0 là:${u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }},{u_n} = \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}},{u_n} = 0$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ở đáp án C có$\lim {u_n} = \lim \frac{{\sqrt[3]{n}}}{2} = + \infty$

Định lý 1: Giả sử $\lim {u_n} = L$Khi đó:

i) $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|$và$\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}$

ii) Nếu${u_n} \ge 0$với mọi n thì$L \ge 0$và$\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L$

Từ định lý trên ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

Giả sử$\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M$và c là một hằng số. Khi đó:

$\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M,\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M,\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L$

Ta có:$\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\lim \sqrt[3]{n} = + \infty ,\lim \frac{1}{n} = 0$

Vậy chỉ có đáp án D là sai.

Ta có:${n^3} - 2n + 1 = {n^3}\left( {1 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)$

Vì$\lim {n^3} = + \infty$ và$\lim \left( {1 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1 >0$ nên$\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right) = + \infty$

Bước 1:

$\lim \frac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} = \lim \frac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$

$= \lim \frac{{2.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$

Bước 2:

$= \frac{{2.0 - 3 + 5.0}}{{3.0 + 9}} = \frac{{ - 3}}{9} = - \frac{1}{3}.$

$\lim \frac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}} = \lim \frac{{\frac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\frac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$

$= \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}} = \frac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}} = \frac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$

Cách 1:

$\begin{array}{l}lim\frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}\\ = lim\frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {2n - 1} \right)}}\\ = lim\frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} } \right)\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1\end{array}$

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

$\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} - \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \lim \frac{{1 - 3}}{2} = - 1$

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right).\left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}}$

$= \lim \frac{{{n^2} - n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} = \lim \frac{{ - n}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} = \lim \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{{ - 1}}{2} = - \frac{1}{2}.$

${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{n + 1 - n}}{{n.\left( {n + 1} \right)}}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$

$= 1 - \frac{1}{{n + 1}}$

$\Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$

$\lim {u_n} = \lim \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}} = \lim \frac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$

$= \lim \frac{{\frac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3} + 5n - 1}}{{{n^6}}}}}}} = \lim \frac{{ - 6 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^5}}} - \frac{1}{{{n^6}}}}}}} = - \infty .$

Ta có$1,\;a,\;{a^2},\;...,\;{a^n}$ là một cấp số nhân có công bội a

$\Rightarrow 1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.$

 Tương tự:  $1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}$

$\Rightarrow \lim I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\frac{{1 - b}}{{1 - {b^{n + 1}}}}} \right) = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}.\frac{{1 - b}}{{1 - a}}} \right) = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.$

(Vì$\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1 \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0$)

${u_2} = \sqrt {1.2.3.4 + 1} = 5,{u_n} >0,\forall n = 1;2;...$

Ta có:

${u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}({u_n} + 1)({u_n} + 2)({u_n} + 3) + 1}$

$= \sqrt {(u_n^2 + 3{u_n})(u_n^2 + 3{u_n} + 2) + 1}$

$= \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n})}^2} + 2(u_n^2 + 3{u_n}) + 1}$

$= \sqrt {{{(u_n^2 + 3{u_n} + 1)}^2}} = u_n^2 + 3{u_n} + 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = u_n^2 + 3{u_n} + 2 = ({u_n} + 1)({u_n} + 2)\\ \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{{({u_n} + 1)({u_n} + 2)}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 2}} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}\end{array}$

Do đó: 

$\begin{array}{l}\\{v_n} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \frac{1}{{{u_i} + 2}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left( {\frac{1}{{{u_i} + 1}} - \frac{1}{{{u_{i + 1}} + 1}}} \right)\end{array}$

$= \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}}$

Xét hiệu${u_{n + 1}} - {u_n} = u_n^2 + 3{u_n} + 1 - {u_n} = {\left( {{u_n} + 1} \right)^2} >0$

$\Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$là dãy tăng.

Giả sử

$\lim {u_{n + 1}} = \lim {u_n} = a >0 \Rightarrow a = {a^2} + 3a + 1 \Rightarrow {a^2} + 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \lim {u_n} = + \infty$$\Rightarrow \lim {v_n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.$

Bước 1:

Vì $\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0$

Bước 2:

Nên$\lim \left( {\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right) = 2.0 + 3.0 = 0$

Bước 1:

$\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}$

Bước 2:

$= \lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{ - 3 + 0}}{{2 + 0 - 0}} = \frac{{ - 3}}{2}$

Bước 1:

$\lim \frac{{n + 1}}{{2n - 3}} = \lim \frac{{n\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 - \frac{3}{n}} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2 - \frac{3}{n}}}$

Bước 2:

$= \frac{{1 + 0}}{{2 - 0}} = \frac{1}{2}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn $- \infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = - \infty$viết tắt là$\lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty$ hoặc$\lim {u_n} = - \infty$

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{S}}_1} = {a^2}\\{{\rm{S}}_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \cdot \frac{1}{2}\\{{\rm{S}}_3} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \cdots \\{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = {a^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\end{array}$

Có${S_1};{S_2};{S_3}; \ldots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu:${S_1} = {a^2}$

- Công bội:$q = \frac{1}{2}$

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Do đó:$S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{a^2}$