Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO

ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Cấp số cộng

  • 244 lượt thi

  • 19 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]xác định bởi \({u_3} = - 2\)và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in {N^*}\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Xem đáp án

\[{u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\] là CSC có công sai\[d = 3.\]

\[{u_3} = {u_1} + 2d \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8\]

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là

\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \[{u_2} = 2017\;\] và \[{u_5} = 1945.\].  Tính \[{u_{2018}}\] .

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} = 2017}\\{{u_5} = 1945}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + d = 2017}\\{{u_1} + 4d = 1945}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2041}\\{d = - 24}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d\]

\[ = 2041 + 2017( - 24) = - 46367\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Cho cấp số cộng \[6;x; - 2;y\]. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Xem đáp án
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 2 = 2x}\\{x + y = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = - 6}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} + {u_5} = 5}\\{{u_3}.{u_5} = 6}\end{array}} \right.\). Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} + {u_5} = 5}\\{{u_3}.{u_5} = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình

\[{X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = 3}\\{X = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} = 3}\\{{u_5} = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} = 2}\\{{u_5} = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

TH1 : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} = 3}\\{{u_5} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + 2d = 3}\\{{u_1} + 4d = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 4}\\{d = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

TH2 : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} = 2}\\{{u_5} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + 2d = 2}\\{{u_1} + 4d = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{d = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_1} = 4}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện ba số \[\frac{1}{{x + y}},\frac{1}{{y + z}},\frac{1}{{z + x}}\;\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{z + x}} = 2\frac{1}{{y + z}}\\ \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right)\\ \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\end{array}\]

Vậy ba số\[{y^2},{x^2},{z^2}\]theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có 88 số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_8} = 24 = {u_1} + 7d}\end{array}} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: 6,9,12,15,18,21.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 7:

Nghiệm của phương trình 1+7+13+…+x=280 là:

Xem đáp án

Ta thấy tổng\[1 + 7 + 13 + \ldots + x\] là tổng của  cấp số cộng với\[{u_1} = 1,d = 6\]

Giả sử x là số hạng thứ n, khi đó\[x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6\] và\[\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 7 + 13 + \ldots + x = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280}\\{ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560}\\{ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10}\end{array}\]

Vậy\[x = 1 + 9.6 = 55\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 8:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có công sai d = 2 và \[u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\] đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)?\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {{\left( {{u_1} + 2} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 4} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 6} \right)}^2} = 3u_1^2 + 24{u_1} + 56}\\{ = 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56 = 3{{\left( {{u_1} + 4} \right)}^2} + 8 \ge 8}\end{array}\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi\[{u_1} + 4 = 0 \Rightarrow {u_1} = - 4\]

Số hạng tổng quát\[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 4 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 6\]

Nếu\[{u_n} = 2018 \Rightarrow 2n - 6 = 2018 \Leftrightarrow n = 1012\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Cho cấp số cộng \[\left( {{x_n}} \right)\]có \[{x_3} + {x_{13}} = 80\].  Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó?

Xem đáp án

Ta có

\[{x_3} + {x_{13}} = 80 \Leftrightarrow {x_1} + 2d + {x_1} + 12d = 80 \Leftrightarrow 2{x_1} + 14d = 80\]

\[{S_{15}} = \frac{{15\left( {2{x_1} + 14d} \right)}}{2} = \frac{{15.80}}{2} = 600\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Biết rằng tồn tại các giá trị của \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\] để ba số \[1 + sinx,si{n^2}x,1 + sin3x\;\]lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x.

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{l}1 + sinx + 1 + sin3x = 2si{n^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + sinx + 3sinx - 4si{n^3}x = 2si{n^2}x\\ \Leftrightarrow 4si{n^3}x + 2si{n^2}x - 4sinx - 2 = 0\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx = \pm 1}\\{sinx = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx = 0}\\{sinx = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\\begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array}\end{array}} \right.\,\,\,\,(k \in Z)\)

\[ + )x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2}}\\{x = \frac{{3\pi }}{2}}\end{array}} \right.\]

\[ + )x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\]

\[ + )x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{6}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{2} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6} = 5\pi \]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là:

Xem đáp án

Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là a,b,c(a

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = {c^2}}\\{a + c = 2b}\\{\frac{{a + b + c}}{3} = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = {c^2}}\\{a + c = 2b}\\{a + b + c = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = {c^2}}\\{a + c = 2b}\\{3b = 18}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 6}\\{{a^2} + 36 = {c^2}}\\{a = 12 - c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 6}\\{a = 12 - c}\\{144 - 24c + {c^2} + 36 = {c^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 6}\\{c = \frac{{15}}{2}}\\{a = \frac{9}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

\[ \Rightarrow d = b - a = 6 - \frac{9}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 12:

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là 5 hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5 hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

Xem đáp án

Gọi \[{u_n}\] là số hạt dẻ ở ô thứ n . Khi đó ta có\[{u_1} = 7\] và\[{u_{n + 1}} = {u_n} + 5,\forall n \ge 1.\]

Dãy số\[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng với\[{u_1} = 7\] và công sai d=5 nên ta có

\[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{n\left[ {2.7 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} = \frac{{5{n^2} + 9n}}{2}\]

Theo giả thiết ta có\[{S_n} = 25450 \Rightarrow \frac{{5{n^2} + 9n}}{2} = 25450 \Leftrightarrow n = 100\]

Vậy bàn cờ có 100 ô.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 13:

Cho cấp số cộng có tổng của 4 số hạng liên tiếp bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

Xem đáp án

Gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là\[u,u + d,u + 2d,u + 3d\] Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u + u + d + u + 2d + u + 3d = 22}\\{{u^2} + {{(u + d)}^2} + {{(u + 2d)}^2} + {{(u + 3d)}^2} = 166}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4u + 6d = 22}\\{4{u^2} + 12ud + 14{d^2} = 166}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2u + 3d = 11}\\{2{u^2} + 6ud + 7{d^2} = 83}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{{11 - 3d}}{2}}\\{\frac{{9{d^2} - 66d + 121}}{2} + 6\frac{{11 - 3d}}{2}d + 7{d^2} = 83( * )}\end{array}} \right.\end{array}\)

\[\begin{array}{l}( * ) \Leftrightarrow 9{d^2} - 66d + 121 + 66d - 18{d^2} + 14{d^2} = 166\\ \Leftrightarrow 5{d^2} = 45 \Leftrightarrow d = \pm 3\end{array}\]

\[d = 3 \Rightarrow u = \frac{{11 - 3.3}}{2} = 1 \Rightarrow \] 4 số cần tìm là  1, 4, 7, 10

\[d = - 3 \Rightarrow u = \frac{{11 - 3\left( { - 3} \right)}}{2} = 10 \Rightarrow \] 4 số cần tìm là 10,7,4,1.10,7,4,1.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 15:

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \[\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }},\frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\] lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}}\\{ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} }\\{ \Leftrightarrow a + c = 2b}\end{array}\]

Khi đó a,b,c lập thành một cấp số cộng.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \[{x^3} - 3m{x^2} + 2m(m - 4)x + 9{m^2} - m = 0\;\]?

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt\[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có\[{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = 3m\]

Vì\[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành một cấp số cộng nên

\[{x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\]

Thay\[{x_2} = m\] vào phương trình ban đầu ta được

\[{m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}(m - 4) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)

Thử lại:

Khi m=0 , phương trình trở thành\[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]  phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m=1 , phương trình trở thành\[{x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\] Dễ thấy −2,1,4−2,1,4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d=3.

Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì mm nguyên.

Khi m=0 ta có phương trình\[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\] phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m=1 phương trình trở thành \[{x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\] Dễ thấy −2,1,4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d=3 .

Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 17:

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \[{x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\], tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

Đặt\[t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\] khi đó phương trình trở thành\[{t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\](*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime >0}\\{S >0}\\{P >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25 - 2{m^2} - 7m >0}\\{10 >0}\\{2{m^2} + 7m >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)

Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là\[{t_1},{t_2}\,\,({t_1} < {t_2})\] Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau\[ - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \]

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì

\[ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\]

Mà theo định lí Vi-et ta có\[{t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\]

Lại có\[{t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - \frac{9}{2}}\end{array}} \right.(tm)\]

Do đó\[{1^3} + {\left( { - \frac{9}{2}} \right)^3} = - \frac{{721}}{8}\]


Câu 18:

Cho cấp số cộng 2;5;8;11;14... Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Xem đáp án

\[{u_1} = 2;{u_2} = 5\]

Vì đây là cấp số cộng nên công sai\[d = {u_2} - {u_1} = 3\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng. Hỏi theo hợp đồng tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu?

Xem đáp án

Tháng thứ hai người đó nhận được số tiền là: \[6.000.000 + 200.000 = 6.200.000\] đồng.

Tháng thứ ba người đó nhận được số tiền là:\[6.000.000 + 2 \times 200.000 = 6.400.000\]

đồng.

Tháng thứ nn người đó nhận được số tiền là:\[6.000.000 + \left( {n - 1} \right) \times 200.000\] đồng.

⇒ Tháng thứ 7 người đó nhận được số tiền là\[6.000.000 + 6 \times 200.000 = 7.200.000\] đồng.

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay