Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân
-
293 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx}\\{v = g(x)}\end{array}} \right.\) khi đó
\[I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2:
Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2xdx}\\{v = sinx}\end{array}} \right.\)khi đó\[I = {x^2}sinx\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xsinxdx} \]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3:
Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g(x)}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\prime (x)dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx\]
\( \Leftrightarrow \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. = 3\)
Mặt khác\(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx = \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\left| {_0^1} \right. \Rightarrow I = 3\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 4:
Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)
Vì \[{x^2}\] là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \smallint f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x = {x^2}.\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\) khi đó
\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx = f(x){e^{2x}}\left| {_0^1} \right. - 2\int\limits_0^1 {f(x){e^{2x}}dx} \)
Suy ra\[I = {e^2}f(1) - f(0) - 2{x^2}\left| {_0^1} \right. = 2 - 0 - 2 = 0\]
Vậy\[I = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 5:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x + lnx}\\{dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^3}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{x + 1}}{x}dx}\\{v = - \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó\[I = - \frac{{x + lnx}}{{2{{(x + 1)}^2}}}\left| {_1^2} \right. + \int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{x}.\frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}} dx\]
\[ = - \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{{\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]
\[ = - \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x.\]
\( = - \frac{{2 + ln2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}(ln|x| - ln|x + 1|)\left| {_1^2} \right.\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{72}} - \frac{1}{{18}}ln2 + \frac{1}{2}(ln2 - ln3 + ln2)\\ = \frac{1}{{72}} + \frac{{17}}{{18}}ln2 - \frac{1}{2}\ln 3\\ = a + b.ln2 - c.ln3\end{array}\)
Vậy\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{72}}}\\{b = \frac{{17}}{{18}}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{2}:\frac{1}{{72}} = 36\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :
Ta có :\[{\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\]
\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\frac{x}{{\cos x}}.x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{x}{{cosx}}}\\{dv = \frac{{xcosx}}{{{{(xsinx + cosx)}^2}}}dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{xsinx + cosx}}{{co{s^2}x}}dx}\\{v = \frac{1}{{xsinx + cosx}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(I = - \frac{x}{{cosx}}.\frac{1}{{xsinx + cosx}}\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{co{s^2}x}}} \)
\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\frac{1}{{\frac{\pi }{4}\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + tanx\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right.\)
\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)}} + 1 = \frac{{ - 2\pi }}{{\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = \frac{{4 - \pi }}{{4 + \pi }} \Rightarrow m = 4\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 7:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}\], tổng m+n
Đặt
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(3sinx + cosx)}\\{dv = \frac{{dx}}{{si{n^2}x}}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{3cosx - sinx}}{{3sinx + cosx}}dx}\\{v = - cotx - 3 = - \frac{{3sinx + cosx}}{{sinx}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[I = [ - (cotx + 3)ln(3sinx + cosx)]\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3cosx - sinx}}{{sinx}}} dx\]
\[ = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d(sinx)}}{{sinx}}} .} \]
\[ = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {dx + 3ln|sinx|\left| {_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right.} \]
\[\begin{array}{l} = 4.ln2\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4} - 3.ln\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2 - 3ln3 - \frac{\pi }{4} + 3ln\sqrt 2 = 15.ln\sqrt 2 - 3.ln3 - \frac{\pi }{4}\end{array}\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 15}\\{n = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow m + n = 12\)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 8:
Tích phân: \[I = \mathop \smallint \limits_1^e 2x(1 - \ln x)\,dx\] bằng
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 1 - lnx}\\{dv = 2xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = - \frac{{dx}}{x}}\\{v = {x^2}}\end{array}} \right.\)
\[I = {x^2}(1 - lnx)\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e { - xdx = - 1 + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {_1^e} \right. = - 1 + \left( {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{2}} \right)} = \frac{{{e^2} - 3}}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x\]
Dùng máy tính kiểm tra từng đáp án hoặc:
Đặt\[u = \ln x,dv = xdx \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x},v = \frac{{{x^2}}}{2}\]
\(I = \frac{{{x^2}lnx}}{2}\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {\frac{x}{2}} dx = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{4}\left| {_1^e} \right. = \frac{{{e^2}}}{2} - \left( {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 10:
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{{2^{1000}}} \frac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln x}\\{dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{dx}}{x}}\\{v = - \frac{1}{{x + 1}}}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = - \frac{{lnx}}{{x + 1}}\left| {_1^{{2^{1000}}}} \right. + \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\frac{1}{{x + 1}}} .\frac{{dx}}{x}\\ = - \frac{{\ln {2^{1000}}}}{{{2^{1000}} + 1}} + \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx\\ = - \frac{{1000ln2}}{{{2^{1000}} + 1}} + \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|\left| {_1^{{2^{1000}}}} \right.\\ = - \frac{{1000ln2}}{{{2^{1000}} + 1}} + \ln \frac{{{2^{1000}}}}{{{2^{1000}} + 1}} - \ln \frac{1}{2}\\ = - \frac{{1000ln2}}{{{2^{1000}} + 1}} + \ln \frac{{{2^{1001}}}}{{{2^{1000}} + 1}}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 11:
Biết rằng\[\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\], trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:
Đặt\[f\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\]
Ta có
\[f'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x\]
\[ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x\]
Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số \[{e^{2x}}\cos x\], điều kiện là\[f\prime (x) = {e^{2x}}cos3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + 3b = 1}\\{2b - 3a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{2}{{13}}}\\{b = \frac{3}{{13}}}\end{array} \Rightarrow a + b = \frac{5}{{13}}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 12:
Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} .f'\left( x \right)dx = 10\)và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\)Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)
Đặt \[u = x + 1;dv = f'(x)dx\] thì \[du = dx;v = f(x)\]
Ta có:
\[\int\limits_0^1 {(x + 1)f\prime (x)dx = 10 \Leftrightarrow (x + 1)f(x)\left| {_0^1} \right.} - \int\limits_0^1 {f(x)dx = 10 = 2f(1) - f(0) - } \int\limits_0^1 {f(x)dx} \]
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx = - 8.} \)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 13:
Cho hàm số y=f(x)thỏa mãn hệ thức \[ \Rightarrow \smallint f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \smallint {\pi ^x}.\cos xdx\]. Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Đặt : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = sinxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx}\\{v = - cosx}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \smallint f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \smallint f'(x).\cos xdx\]
Nên suy ra\[f'(x) = {\pi ^x} \Rightarrow f(x) = \smallint {\pi ^x}dx = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14:
Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_0^1 x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\] với \[a,b,c \in Z\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng
\[\begin{array}{l}u(x) = x \Rightarrow u\prime (x) = 1\\v\prime (x) = cos2x \Rightarrow v(x) = \frac{{sin2x}}{2}\end{array}\]
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {xcos2xdx = \frac{x}{2}} sin2x\left| {_0^1} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {sin2xdx = \frac{x}{2}sin2x} \left| {_0^1} \right. + \frac{{cos2x}}{4}\left| {_0^1} \right.\)
\( = \frac{1}{2}sin2 + \frac{1}{4}cos2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(2sin2 + cos2 - 1)\)
\[ \Rightarrow a = 2;b = 1;c = - 1\]
Khi đó\[a - b + c = 2 - 1 - 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15:
Giả sử tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.\]. Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :
Đặt
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln{{(2x + 1)}^{2017}}}\\{dv = xdx}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{2017.2.{{(2x + 1)}^{2016}}}}{{{{(2x + 1)}^{2017}}}}dx = \frac{{4034}}{{2x + 1}}dx}\\{v = \frac{{{x^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)
\(I = ln{(2x + 1)^{2017}}.\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^4} \right. - \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{{4034}}{{2x + 1}}dx} \)
\[ = \ln {(2.4 + 1)^{2017}}.\frac{{{4^2}}}{2} - 0 - 2017\mathop \smallint \nolimits_0^4 \frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}dx\]
\[ = 8\ln {9^{2017}} - 2017\mathop \smallint \nolimits_0^4 (\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{{\frac{1}{4}}}{{2{\rm{x}} + 1}})dx\]
\[ = 8ln{9^{2017}} - \frac{{2017}}{2}.\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^4} \right. + \frac{{2017}}{4}x\left| {_0^4} \right. - \frac{{2017}}{4}\int\limits_0^4 {\frac{1}{2}.\frac{1}{{2x + 1}}d(2x + 1)} \]
\[ = 8ln{9^{2017}} - \frac{{2017}}{4}{.4^2} + \frac{{2017}}{4}4 - \frac{{2017}}{8}ln|2x + 1|\left| {_0^4} \right.\]
\[ = 8ln{9^{2017}} - 6051 - \frac{{2017}}{8}.(ln9 - ln1)\]
\[ = 8ln{9^{2017}} - 6051 - \frac{{2017}}{8}.ln9 = \frac{{127071}}{4}.ln3 - 6051\]
\[ \Rightarrow b + c = 127075\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 16:
Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho \[n\ln n - \int\limits_1^n {\ln xdx} \] có giá trị không vượt quá 2017
\[I = \mathop \smallint \nolimits_1^n \ln xdx\]
Đặt \[\ln x = u;dv = dx\] Suy ra\[\frac{1}{x}dx = du;v = x\]
\[I = (xlnx)\left| {_1^n} \right. - \int\limits_1^n {\frac{x}{x}} dx = nlnn - n + 1\]
Biểu thức ban đầu sẽ là: n−1
Để\[n - 1 \le 2017\] thì\[n \le 2018\] và n nguyên dương
Nên sẽ có 2018 giá trị của n
Đáp án cần chọn là: B
Câu 17:
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi \], với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.
Đặt :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = cos2xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{1}{2}.sin2x}\end{array}} \right.\)
Suy ra: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.cosxdx = (x.\frac{1}{2}.sin2x)} \left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {sin2xdx} \)
\( = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}cos2x\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. = - \frac{1}{4} + \frac{\pi }{8}\)
\[ \Rightarrow a = - \frac{1}{4};b = \frac{1}{8} \Rightarrow S = a + 2b = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 18:
Biết tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\] (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = {e^{2x}}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \frac{{x{e^{2x}}}}{2}\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} dx = \left( {\frac{{x{e^{2x}}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right)\left| {_0^1} \right. = \frac{{{e^2}}}{4} + \frac{1}{4}\)
\[ \Rightarrow a = \frac{1}{4};b = \frac{1}{4} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 19:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^x}\sin x\]. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn \[I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + a}}{b}\]
Chọn kết luận đúng:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^x}}\\{dv = sinxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = {e^x}dx}\\{v = - cosx}\end{array}} \right.\)
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}sinxdx = - {e^x}cosx} \left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}cosxdx = 1 + } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}cosxdx} \)
Đặt\({\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^x}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right.^{}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = {e^x}dx}\\{v = sinxdx}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}cosxdx = {e^x}sinx} \left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}sinxdx = {e^{\frac{\pi }{2}}} - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}sinxdx = {e^{\frac{\pi }{2}}} - I} \)
Do đó
\(I = = 1 + {e^{\frac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\frac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + 1}}{2}\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)
Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 20:
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5\] với \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Tính tổng a+b+c.
\[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^1 xdx + \mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt {{x^2} + 15} dx\]
\[{I_1} = \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{1}{2}{x^2}\left| {_0^1} \right. = \frac{1}{2}\]
\({I_2} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} } dx = x\sqrt {{x^2} + 15} \left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {x.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \)
\[ = 4 - \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx = 4 - \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} dx + \int\limits_0^1 {\frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} } } \]
\( \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} dx\)
Đặt
\[x + \sqrt {{x^2} + 15} = t \Rightarrow \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} \right)dx = dt \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} = \frac{{dt}}{t}\]
Khi đó:
\(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} dx = \int\limits_{\sqrt {15} }^5 {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right|\left| {_{\sqrt {15} }^5} \right. = ln5 - ln\sqrt {15} = \frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 3\)
\[ \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15.\left( {\frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 3} \right) \Leftrightarrow {I_2} = 2 + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3\]
\[I = {I_1} + {I_2} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3 = \frac{5}{2} + \frac{{15}}{4}\ln 5 - \frac{{15}}{4}\ln 3 \Rightarrow a + b + c = \frac{5}{2} + \frac{{15}}{4} - \frac{{15}}{4} = \frac{5}{2}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 21:
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:
Vì f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên\[\left[ { - 1;1} \right]\] nên\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\]
\[ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \frac{{43}}{{15}}\]
Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[I = xf(x)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {f(x)dx = f(1) - \int\limits_0^1 {f(x)dx = 5 - \frac{{43}}{{15}} = \frac{{32}}{{15}}} } \]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 22:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\]thì\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\] bằng:
Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\]
Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi }\end{array}} \right.\) khi đó ta có
\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( t \right)\cos \left( t \right)2tdt = \mathop \smallint \limits_0^\pi 2f\left( x \right)\cos x.xdx\]
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^\pi xf'\left( x \right)\sin xdx = 5\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = xsinx}\\{f\prime (x)dx = dv}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = (sinx + xcosx)du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\\ \Leftrightarrow (xsinx.f(x))\left| {_0^\pi } \right. - \int\limits_0^\pi {[f(x)sinx + xf(x)cosx]dx = 5} \end{array}\]
\( \Leftrightarrow - \int\limits_0^\pi {f(x)sinxdx - \int\limits_0^\pi {xf(x)cosxdx = 5} } \)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 20 - \frac{I}{2} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{I}{2} = - 25\\ \Leftrightarrow I = - 50\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 23:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right],\]thỏa mãn \[f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;\] và \[\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2\]. Giá trị \(2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx\) bằng
Ta có:\[\mathop \smallint \limits_1^3 \left( {4 - x} \right)f\left( x \right)dx = 4\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx - \mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx\]
Đặt\[t = 4 - x \Rightarrow dt = - dx\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow t = 3}\\{x = 3 \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[\mathop \smallint \limits_1^3 \left( {4 - x} \right)f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_3^1 tf\left( {4 - t} \right)dt = \mathop \smallint \limits_1^3 tf\left( {4 - t} \right)dt = \mathop \smallint \limits_1^3 tf\left( t \right)dt = \mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = 4\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx - \mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx}\\{ \Leftrightarrow 2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 24:
Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:
Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}\]
Đặt\[t = \frac{x}{2} \Rightarrow dt = \frac{1}{2}dx \Leftrightarrow dx = 2dt\] Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 \Rightarrow t = 2}\\{x = 7 \Rightarrow t = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:\[I = 2\mathop \smallint \limits_2^{\frac{7}{2}} f\left( t \right)dt\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(t)}\\{dv = dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (t)dt}\\{v = t - \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[I = 2\left( {\left( {t - \frac{7}{2}} \right)f(t)\mid _2^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {t - \frac{7}{2}} \right)} f\prime (t)dt} \right)\]
\(I = 2\left( {\frac{7}{2}f\left( 0 \right) - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)f'\left( x \right)dx} } \right)\)
\(I = 2\left( {\frac{7}{2}f\left( 2 \right) - \int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right).\frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}dx} } \right)\)
\(I = - 2\int\limits_2^{\frac{7}{2}} {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)} .\frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}dx\)
\(I = \frac{{236}}{{15}}\)
\[ \Rightarrow a = 236,b = 15\]
Vậy\[a + b = 236 + 15 = 251\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 25:
Cho hàm số f(x) có \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\] và \[f\prime (x) = xsinx\]. Giả sử rằng \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\] (với a,b,c là các số nguyên dương, \(\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó a+b+c bằng:
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx = xsinxdx}\\{v = sinx}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {cosx.f(x)dx = sinx.f(x)\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xsi{n^2}xdx} \)
\[ = sin\frac{\pi }{2}.f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\frac{{1 - cos2x}}{2}} dx\]
\[ = 2 - \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xcos2xdx} } } \right)\]
\[\begin{array}{l} = 2 - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}} - I} \right.} \right)\\ = 2 - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{8} - I} \right)\\ = 2 - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{I}{2}\end{array}\]
Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos 2xdx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = cos2xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{{sin2x}}{2}}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:
\[I = x.\frac{{sin2x}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {sin2xdx} \]
\[I = \frac{\pi }{2}.\frac{{sin\pi }}{2} - 0 + \frac{1}{2}.\frac{{cos2x}}{2}\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\]
\[I = \frac{1}{4}(cos\pi - cos0)\]
\[I = \frac{1}{4}( - 1 - 1) = - \frac{1}{2}\]
Do đó\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = 2 - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\]
\[ \Rightarrow a = 7,\,\,b = 4,\,\,c = 16\]
Vậy\[a + b + c = 7 + 4 + 16 = 27\]Đáp án cần chọn là: D
Câu 26:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;\]thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\], \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)
Xét tích phân: \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx}\\{v = - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{2} = \frac{{x - 1}}{{2\left( {x + 1} \right)}}}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \frac{{x - 1}}{{2(x + 1)}}f\left( x \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{2(x + 1)}}f'\left( x \right)} dx\\ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}f\left( 0 \right) - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right)} dx\\ \Leftrightarrow 4ln2 - 2 = \frac{1}{2}.2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right)} dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right)} dx = 6 - 8ln2\end{array}\)
Xét\({\int\limits_0^1 {\left( {f\prime (x) + k\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 0\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{[f\prime (x)]}^2}dx + 2k} \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} f'\left( x \right)dx + {k^2}\int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)}^2}} dx\)
\[ \Leftrightarrow 12 - 16ln2 + 2k.(6 - 8ln2) + {k^2}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} dx = 0\]
\[ \Leftrightarrow 12 - 16ln2 + 2k.(6 - 8ln2) + {k^2}\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{4}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)} dx = 0\]
\[ \Leftrightarrow 12 - 16ln2 + 2k.(6 - 8ln2) + {k^2}\left( {x - 4ln|x + 1| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)\left| {_0^1} \right. = 0\]
\[ \Leftrightarrow 12 - 16ln2 + 2k.(6 - 8ln2) + {k^2}(1 - 4ln2 - 2 + 4) = 0\]
\[ \Leftrightarrow (3 - 4ln2){k^2} - 4(3 - 4ln2)k + 4(3 - 4ln2) = 0\]
\[ \Leftrightarrow {k^2} - 4k + 4 = 0 \Leftrightarrow {(k - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow k = 2\]
Khi đó ta có\[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {f'\left( x \right) - 2.\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)^2}dx = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2.\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)dx = 2\smallint \frac{{x - 1}}{{x + 1}}dx\]
\[ = 2\smallint \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right)dx = 2\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right) + C\]
Có\[f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 2\left( {0 - 2\ln 1} \right) + C = 2 \Leftrightarrow C = 2\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = 2\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right) + 2 = 2x - 4\ln \left| {x + 1} \right| + 2\]
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx = \int\limits_0^1 {[2x - 4ln|x + 1| + 2]dx} } \)
\[ = ({x^2} + 2x)\left| {_0^1} \right. - 4\int\limits_0^1 {ln|x + 1|dx = 3 - 4J} \]
Ta có:\[J = \mathop \smallint \limits_0^1 \ln \left| {x + 1} \right|dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \ln \left( {x + 1} \right)dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(x + 1)}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{{x + 1}}dx}\\{v = x + 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow J = (x + 1)ln(x + 1)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {dx} \]
\[ \Rightarrow J = 2ln2 - 1.ln1 - x\left| {_0^1} \right.\]
\[ \Rightarrow J = 2ln2 - 1\]
Vậy\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3 - 4\left( {2\ln 2 - 1} \right) = 7 - 8\ln 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 27:
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:
Ta có: \[x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2}.f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\]
Lấy tích phân tư -1 đến 0 hai vế phương trình ta có:
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\,\,\left( * \right)\]
Xét\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx\]
Đặt\[t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{dt}}{3}\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = - 1}\\{x = 0 \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có:\[{I_1} = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( t \right)dt = \frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét \[{I_2} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx\]
Đặt\[u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow u = 0}\\{x = 0 \Rightarrow u = - 1}\end{array}} \right.\) khi đó ta có\[{I_2} = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^{ - 1} f\left( u \right)du = - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\]
Xét \[{I_3} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 x{e^{{x^2}}}dx\]
Đặt\[v = {x^2} \Rightarrow dv = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dv\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow v = 1}\\{x = 0 \Rightarrow v = 0}\end{array}} \right.\) khi đó ta có
\({I_3} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^v}dv = } \frac{1}{2}{e^v}\left| {_0^1} \right. = \frac{1}{2} - \frac{e}{2} = \frac{{1 - e}}{2}\)
Thay tất cả vào (*) ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{3}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx - \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = \frac{{1 - e}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3\left( {e - 1} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 28:
Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 2 \right) = 1,\;\int\limits_0^1 {f(2x)dx = 2} \]. Tích phân \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)} dx\) bằng
Bước 1: Sử dụng tích phân từng phần.
Ta có \[A = \mathop \smallint \nolimits_0^2 xf'\left( x \right)dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = u}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{dx = du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
Khi đó\[A = x.f(x)\left| {_0^2} \right. - \int\limits_0^2 {f(x)dx = 2f\left( 2 \right) - \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx} \]
Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Xét\[B = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {2x} \right)dx\]
Đặt\[t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\]
Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có\[B = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 2 \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 4\]
Vậy \[A = 2.1 - 4 = - 2\]