50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề số 18)

Câu 1:

Từ một tấm tôn có kích thước 90cm x 3m, người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD có hình dưới. Tính thể tích lớn nhất của máng xối.

A. $40500 \sqrt{6} c m^{3} .$

B. $40500 \sqrt{5} c m^{3} .$

C. $202500 \sqrt{3} c m^{3} .$

D. $40500 \sqrt{2} c m^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A D + B C) C H = \frac{1}{2} (2 B C + 2 H D) C H = (30 + 30 \cos α) 30 \sin α = 900 (\sin α + \frac{\sin 2 α}{2})$

xét hàm số $y = \sin α + \frac{\sin 2 α}{2}$

$y' = \cos α + \cos 2 α = 2 \cos^{2} α + \cos α - 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos α = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 60^{0}$

$y_{(0)} = 0, y_{(\frac{π}{2})} = 1, y_{(60^{0})} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow M a x \{S_{A B C D}\} = 900 \frac{3 \sqrt{3}}{4} = 675 \sqrt{3} (c m^{2})$

Vậy thể tích lớn nhất của máng xối là $V = 675 \sqrt{3} .300 = 202500 \sqrt{3} (c m^{3})$

Câu 2:

Tìm số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều.

A.4

B.9

C.3

D.6

Xem đáp án

Đáp án D

Hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Câu 3:

Cho a là số dương khác 1. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1.$

B. Hai đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$

C. Hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ có cùng tập giá trị.

D. Hai đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đều có đường tiệm cận.

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án C sai vi hàm $a^{x}$ có tập giá trị là $ℝ^{+}$ còn hàm $\log_{a} x$ có tập giá trị là $ℝ$

Câu 4:

Tìm tập xác định của hàm số $y = x^{(\sin 2018 π)}$

A. $ℝ \ \{0\} .$

B. $[0; + \infty)$

C. $ℝ$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $\sin 2018 π = 0$ . Điều kiện để hàm số có nghĩa là $x \neq 0$

Câu 5:

Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' Cạnh bên AA'=a, ABC là tam giác vuông tại A có $B C = 2 a, A B = a \sqrt{3} .$ Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng $(A' B C) .$

A. $\frac{a \sqrt{21}}{7} .$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{21} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

D. $\frac{a \sqrt{7}}{21} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC khi đó $B C ⊥ (A' A H)$ , trong $Δ A' A H$ kẻ đường cao AK thì $A K ⊥ (A' B C)$ ta có: $A C^{2} = 4 a^{2} - 3 a^{2} = a^{2}$

$\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A' A^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A' A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}}$

Câu 6:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có $\overset{⏜}{A S C} = \overset{⏜}{C S B} = 60 °, \overset{⏜}{A S C} = 90 °,$ $S A = S B = a, S C = 3 a$ Tính thể tích của khối chóp S.ABC?

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{8} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Công thức tính thể tích hình chóp tam giác biết độ dài các cạnh bên $a, b, c$ và các góc tạo bởi các cạnh bên là $α, β, γ$ như sau:

$V = \frac{a b c}{6} \sqrt{1 - \cos^{2} α - \cos^{2} β - \cos^{2} γ + 2 \cos α \cos β \cos γ}$

$= \frac{3 a^{3}}{6} \sqrt{1 - \cos^{2} 60 - \cos^{2} 60 - \cos^{2} 90 + 2 \cos 60 \cos 60 \cos γ 90} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Câu 7:

Tìm tập xác định của hàm số $y = {(2 x - 4)}^{- 8}$

A. $D = ℝ .$

B. $D = ℝ \ \{0\} .$

C. $D = ℝ \ \{2\} .$

D. $D = (2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow (2 x - 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

Câu 8:

Tính đạo hàm của hàm số $y = {(2 + 3 \cos 2 x)}^{4} .$

A. $y' = 12 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} \sin 2 x .$

B. $y' = - 12 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} \sin 2 x .$

C. $y' = - 24 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} \sin 2 x .$

D. $y' = 24 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} \sin 2 x .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$y' = 4 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} (2 + 3 \cos 2 x)' = 4 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} .3.2 (- \sin 2 x) = - 24 {(2 + 3 \cos 2 x)}^{3} \sin 2 x$

Câu 9:

Hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(0; 1)$

D. $(1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

Đk xác định là $(2 x - x^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2$ , $y' = \frac{2 - 2 x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} < 0 \Rightarrow 1 < x < 2$

Câu 10:

Cho hàm $y = (m - 1) x^{3} + (m - 1) x^{2} + x + m .$ Tìm m để hàm số đồng biến trên R

A. $m < 1 \lor m \geq 4.$

B. $1 < m < 4.$

C. $1 \leq m \leq 4.$

D. $1 < m \leq 4.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = 3 (m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 1$ với $m = 1 \Rightarrow y' = 1 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên R . Xét với $m \neq 1$

Để hàm số đồng biến trên R thì

$\{\begin{cases} m - 1 > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ {(m - 1)}^{2} - 3 (m - 1) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ (m - 1) (m - 4) \leq 0 \end{cases} \Rightarrow 1 < m \leq 4$

cộng thêm với giá trị m=1 ta có tập hợp m cần tìm là $1 \leq m \leq 4$

Câu 11:

Một người đàn ông muốn chèo thuyền từ vị trí X tới vị trí Z về phía hạ lưu bờ đối diện càng nhanh càng tốt, trên một dòng sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến H rồi sau đó chạy đến Z, hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến Z, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm Y giữa H và Z và sau đó chạy đến Z. Biết anh ấy chèo thuyền với vận tốc 6 km/h, chạy với vận tốc 8 km/h, quãng đường HZ = 8 km và tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến Z.

A. $\frac{9}{\sqrt{7}} .$

B. $\frac{\sqrt{73}}{6} .$

C. $1 + \frac{\sqrt{7}}{8} .$

D. $\frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $H Y = x (0 \leq x \leq 8)$ khi đó thời gian người đó đến Z là: $f (x) = \frac{1}{6} \sqrt{9 + x^{2}} + \frac{1}{8} (8 - x)$

$f' = \frac{x}{6 \sqrt{9 + x^{2}}} - \frac{1}{8} = \frac{4 x - 3 \sqrt{9 + x^{2}}}{24 \sqrt{9 + x^{2}}} \Rightarrow f' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow M i n (f) = M i n \{f (0); f (8); f (\frac{9}{\sqrt{7}})\} = M i n \{\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{73}}{6}; \frac{\sqrt{7}}{8} + 1\} = 1 + \frac{\sqrt{7}}{8}$

Câu 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên đoạn [2;3]

A. $\min_{[2; 3]} y = - 3.$

B. $\min_{[2; 3]} y = 2.$

C. $\min_{[2; 3]} y = 4.$

D. $\min_{[2; 3]} y = 3.$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó

$\Rightarrow \underset{[2; 3]}{\min (y)} = \min \{y (2); y (3)\} = \min \{3; 2\} = 2$

Câu 13:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABCcó thể tích là $a^{3}, A B = a .$ . Tính theo a khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)

A. $2 a \sqrt{3} .$

B. $4 a \sqrt{3} .$

C. $4 a \sqrt{6} .$

D. $a \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Diện tích tam giác đều có cạnh là a bằng $a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$

khoảng cách từ S tới $(A B C) = \frac{3 V}{d t_{A B C}}$ $= \frac{3 a^{3}}{a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}} = 4 a \sqrt{3}$

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .

A. $V = \frac{2}{3} .$

B. $V = \frac{1}{6} .$

C. $V = \frac{1}{3} .$

D. $V = \frac{4}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

$\frac{V_{S E B D}}{V_{S A B C D}} = \frac{V_{S E B D}}{2 V_{S B C D}} = \frac{1}{2} \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S E B D} = \frac{1}{3} V_{S A B C D} = \frac{1}{3}$

Câu 15:

Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 x^{2} - x + 1}}{2 x + 1} .$

A. $y = - \frac{1}{2} .$

B. $y = 1.$

C. $y = 2.$

D. $y = 1, y = - 1.$

Xem đáp án

Đáp án D

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - x + 1}}{2 x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}} = 1$

$\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - x + 1}}{2 x + 1} = \lim_{x \to + \infty} - \frac{\sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}} = - 1$

Câu 16:

So sánh a,b biết ${(\sqrt{5} - 2)}^{- a} > {(\sqrt{5} + 2)}^{b}$

A. a=b

B. a<b

C. a>b

D. $a \geq b .$

Xem đáp án

Đáp án C

${(\sqrt{5} - 2)}^{- a} > {(\sqrt{5} + 2)}^{b} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} - 2)}^{- a} {(\sqrt{5} - 2)}^{b} > {(\sqrt{5} + 2)}^{b} {(\sqrt{5} - 2)}^{b} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} - 2)}^{b - a} > 1$

do $\sqrt{5} - 2 < 1$ $\Rightarrow b - a < 0 \Rightarrow a > b$

Câu 17:

Gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . Tìm m để d song song với đường thẳng $Δ : y = 2 m x - 3$

A. m=1

B. $m = \frac{1}{4} .$ C

C. m=-1

D. $m = - \frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x$ chia y cho y' ta được $y = \frac{1}{3} (x - 1) y' - 2 x + 2$ nên đường thẳng d có PT: $y = - 2 x + 2$ . Để $d / / Δ \Leftrightarrow 2 m = - 2 \Rightarrow m = - 1$

Câu 18:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R , có đồ thị (C)như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tổng các giá trị cực trị của hàm số bằng 7

B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

C. Đồ thị (C) không có điểm cực đại nhưng có hai điểm cực tiểu là (-1;3) và (1;3)

D. Đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Xem đáp án

Đáp án D

Đáp án A sai vì tổng các giá trị cực trị = 3+4+3=10

Đáp án B sai vì hàm số tiến ra $+ \infty$

Đáp án C sai vì hàm số có điểm cực đại là $(0; 4)$

Câu 19:

Cho a , b , c là các số dương $(a, b \neq 1) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log_{a^{α}} b = α \log_{a} b (α \neq 0)$

B. $\log_{a} (\frac{b}{a^{3}}) = \frac{1}{3} \log_{a} b .$

C. $a^{\log_{b} a} = b .$

D. $\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{a} b .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a} = \log_{b} c \log_{a} b$

Câu 20:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} (2 x - 1) .$

A. $y' = \frac{1}{2 x - 1}$

B. $y' = \frac{2}{(2 x - 1) \ln 3}$

C. $y' = \frac{2}{2 x - 1}$

D. $y' = \frac{1}{(2 x - 1) \ln 3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = \frac{1}{(2 x - 1) \ln 3} (2 x - 1)' = \frac{2}{(2 x - 1) \ln 3}$

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \ln 2017 - \ln \frac{x + 1}{x} .$

Tính tổng $S = f' (1) + f' (2) + f' (3) + ... + f' (2018) .$

A. $S = \frac{4037}{2019} .$

B. $S = \frac{2018}{2019} .$

C. $S = \frac{2017}{2018} .$

D. $S = 2018.$

Xem đáp án

Đáp án B

ta có $f' (x) = - \frac{x}{(x + 1)} \frac{- 1}{x^{2}} = \frac{1}{(x + 1) x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$

Câu 22:

Cho hai số thực m, n thỏa mãn n<m. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} > {(9 \sqrt{3} + 11 \sqrt{2})}^{\frac{n}{6}} .$

B. ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} \leq {(9 \sqrt{3} + 11 \sqrt{2})}^{\frac{n}{6}} .$

C. ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} < {(9 \sqrt{3} + 11 \sqrt{2})}^{\frac{n}{6}} .$

D. ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} = {(9 \sqrt{3} + 11 \sqrt{2})}^{\frac{n}{6}} .$

Xem đáp án

Đáp án A

${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} > {(9 \sqrt{3} + 11 \sqrt{2})}^{\frac{n}{6}} \Leftrightarrow {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{- m}{2}} {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{n}{2}} > {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{\frac{n}{2}} {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{n}{2}}$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{\frac{n - m}{2}} > 1$ do $0 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1 \Rightarrow \frac{n - m}{2} < 0 \Leftrightarrow m > n$

Câu 23:

Trong các mặt của khối đa diện, số cạnh cùng thuộc một mặt tối thiểu là

A.5

B.4

C.3

D.2

Xem đáp án

Đáp án C

Khối đa diện có các mặt là các đa giác có số cạnh tối thiểu là ba

Câu 24:

Cho lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 296cm . Tính thể tích khối lăng trụ

A.128 $c m^{2} .$

B.64 $c m^{2} .$

C.32 $c m^{2} .$

D.60 $c m^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.

Gọi a là độ dài một cạch thì tổng diện tích các mặt $S = 6 a^{2} = 96 \Rightarrow a = 4 (c m)$

thể tích lăng trụ là $V = a^{3} = 4^{3} = 64 (c m^{3})$

Câu 25:

Các trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của

A. Hình lập phương.

B. Hình bát diện đều

C. Hình tứ diện đều

D. Hình hộp chữ nhật.

Xem đáp án

Đáp án C

Tứ diện đều có 6 cạnh tương ứng có 6 trung điểm là các đỉnh của hình bát diện đều.

Câu 26:

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} . \sqrt[6]{x}, x > 0$

A. $P = x^{\frac{2}{9}} .$

B. $P = x^{\frac{1}{8}} .$

C. $P = x^{2} .$

D. $P = \sqrt{x} .$

Xem đáp án

Đáp án D

$P = x^{\frac{1}{3}} . \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{3}} . x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Câu 27:

Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện ?

A. Hình trụ

B. Hình lập phương.

C. Hình chóp

D. Hình bát diện đều.

Xem đáp án

Đáp án A

Hình trụ không phải hình đa diện mà là hình tròn xoay.

Câu 28:

Cho $a \log_{6} 3 + b \log_{6} 2 + c \log_{6} 5 = a,$ với a , b và c là các số hữu tỷ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. c=a

B.a=b

C. $a = b = c \neq 0.$

D. b=c

Xem đáp án

Đáp án B

$a \log_{6} 3 + b \log_{6} 2 + c \log_{6} 5 = a \Leftrightarrow \log_{6} 3^{a} 2^{b} 5^{c} = \log_{6} 6^{a} \Leftrightarrow \log_{6} 2^{b - a} 5^{c} = 0$

$2^{b - a} {.5}^{c} = 1$

$5^{c} = 2^{a - b} \Leftrightarrow c = (a - b) \log_{5} 2$

do c hữu tỷ $\Rightarrow a = b$

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, $A B = a, B C = a \sqrt{3,}$ biết SA=a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng $(α)$ đi qua A , vuông góc với SC tại H , cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{30} .$

B. $\frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{60} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{60} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{10} .$

Xem đáp án

Đáp án C

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt[]{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$

$S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}$

$S H = \frac{S A^{2}}{S C} = \frac{a^{2}}{a \sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$

$S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

$Δ S H K ~ Δ S B C \Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S C} \Rightarrow S K = \frac{S H . S C}{S B} = \frac{a . a \sqrt{5}}{\sqrt{5} . a \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \frac{V_{S . A H K}}{V_{S . A B C}} = \frac{S H}{S C} \frac{S K}{S B} = \frac{a}{\sqrt{5} a \sqrt{5}} \frac{a}{\sqrt{2} a \sqrt{2}} = \frac{1}{10} \Rightarrow V_{S . A H K} = \frac{1}{10} V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . d t_{A B C} = \frac{1}{10} . \frac{1}{3} a . \frac{1}{2} a . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{60}$

Câu 30:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hình hai mươi mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt

B. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt

C. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt

D. Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt.

Xem đáp án

Đáp án D

Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt.

Câu 31:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a và thể tích khối chóp bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$ Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{6} .$

D. $a \sqrt{6} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi M là trung điểm BC ; Gọi d là khoảng cách từ A tới (SBC)

$S O = \frac{3 V_{S . A B C D}}{d t_{A B C D}} = \frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{6 a^{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$S M = \sqrt{S O^{2} + M O^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$d t_{S B C} = \frac{1}{2} S M . B C = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow d = \frac{3 V_{A . S B C}}{d t_{S B C}} = \frac{3 V_{S . A B C D}}{2 d t_{S B C}} = \frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2.6. a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 32:

Cho $\ln 2 = a,$ tính $\lim_{x \to 1} \frac{\log_{2} x}{\ln x} .$

A. $\frac{1}{a - 2} .$

B. $\frac{1}{a - 3} .$

C. $\frac{a}{2} .$

D. $\frac{1}{a} .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\underset{x \to 1}{L i m} \frac{\log_{2} x}{\ln x} \overset{(L')}{=} \frac{\frac{1}{x \ln 2}}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{a}$

Câu 33:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f' (x) = x {(x + 2)}^{2} (x - 3) .$ Hàm số y=f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 2

C.1

D.3

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số có hai cực trị tại $x = 0$ và $x = 3$

Câu 34:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 4

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng −1

C. Hàm số đạt cực đại tại x=-2

D. Hàm số có đúng một cực trị.

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số đạt cực đại tại x=-2 với GTCD = 4. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 với GTCT = -1.

Câu 35:

Cho a là số thực dương khác 1. Tính $\log_{\sqrt{a}} a .$

A.2

B.-2

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{\sqrt{a}} a = \log_{a^{\frac{1}{2}}} a = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_{a} a = 2$

Câu 36:

Hàm số $y = x + \sqrt{16 - x^{2}}$ có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là N . Tính tích M,N

A. $16 \sqrt{2} .$

B.0

C.-16

D. $- 16 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án D

ĐK xác định của hàm số là $- 4 \leq x \leq 4$

$y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}} - x}{\sqrt{16 - x^{2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2}$

Các giá trị tại biên và điểm cực trị là

$\{\begin{cases} y (- 4) = - 4 \\ y (4) = 4 \\ y (2 \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow M . N = 4 \sqrt{2} . (- 4) = - 16 \sqrt{2}$

Câu 37:

Thể tích khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $\sqrt{2}$ là:

A. $V = \frac{1}{12} .$

B. $V = \frac{\sqrt{2}}{3} .$

C. $V = \frac{1}{6} .$

D. $V = \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta tính trên trường hợp tổng quát tứ diện ABCD đều cạnh a

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} D H . d t Δ A B C$ với H là trực tâm tam giác đều ABC

Ta có $A M = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ; $A H = \frac{2}{3} A M = \frac{1}{\sqrt{3}} a$

$D H = \sqrt{A D^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} a$

$d t Δ A B C = \frac{1}{2} A M . B C = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} a . a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} D H . d t Δ A B C$ $= \frac{1}{3} \frac{\sqrt{6}}{3} a . \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ với $a = \sqrt{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3}$

Câu 38:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ có đồ thị (C) . Gọi A, B là giao điểm của (C) và trục hoành. Số điểm $M \in (C)$ không trùng với A và B sao cho $\overset{⏜}{A M B} = 90 °$ là:

A.2

B.0

C.3

D.1

Xem đáp án

Đáp án A

Xét PT:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5 = 0 \Leftrightarrow (x + 5) {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 5 \end{array} \Rightarrow A (1; 0), B (- 5; 0)$

$M (x; y) \in (C) \Rightarrow \vec{A M} = (x - 1; y), \vec{B M} = (x + 5; y)$ điều kiện góc $A M B = 90^{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x + 5) + y_{}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x + 5) + {(x - 1)}^{4} {(x + 5)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x + 5) [1 + {(x - 1)}^{3} {(x + 5)}^{}] = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow 1 + {(x - 1)}^{3} (x + 5) = 0$ ( do $x \neq 1, x \neq - 5$ )

Xét hàm số $f (x) = 1 + {(x - 1)}^{3} (x + 5)$ có:

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} (x + 5) + {(x - 1)}^{3} = {(x - 1)}^{2} (4 x + 14)$

Dễ thấy hàm số có một cực tiểu duy nhất $x = - \frac{7}{2}$ với GTCT là y<0 . Do vậy PT f(x)=0 có hai nghiệm hay tồn tại hai điểm M thỏa mãn điều kiện.

Câu 39:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

A. $y = x^{3} - x^{2} + 2 x + 3.$

B. $y = x^{3} - x^{2} - 3 x + 1.$

C. $y = \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} - 2.$

D. $y = \frac{x - 1}{x - 2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $y' = 3 x^{2} - 2 x + 2 = 2 x^{2} + {(x - 1)}^{2} + 1 \geq 1$ với mọi $x \in ℝ$

Câu 40:

Tính tổng diện tích các mặt của một khối bát diện đều cạnh a .

A. $2 a^{2} \sqrt{3} .$

B. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{16} .$

C. $8 a^{2} \sqrt{3} .$

D. $8 a^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích của tam giác đều có cạnh là a bằng $a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$ Ta có $S = 8. a^{2} \frac{\sqrt[]{3}}{4} = 2 a^{2} \sqrt{3}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = x^{3} + (1 - 2 m) x^{2} + 2 (2 - m) x + 4.$ Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

A. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array} .$

B. $- 2 < m < 2.$

C. $[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ - \frac{5}{2} \neq m \leq - 2 \end{array} .$

D. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ - \frac{5}{2} \neq m < - 2 \end{array} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành PT $y = 0$ có ba nghiệm phân biệt. Xét PT

$\begin{array}{l} x^{3} + (1 - 2 m) x^{2} + 2 (2 - m) x + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{3} + x^{2}) - (2 m x^{2} + 2 m x) + (4 x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} - 2 m x + 4) = 0 \end{array}$

Để PT này có ba nghiệm phân biệt thì

$\{\begin{cases} Δ' = m^{2} - 4 > 0 \\ {(- 1)}^{2} - 2 m . (- 1) + 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) \\ m \neq \frac{- 5}{2} \end{cases}$

Câu 42:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 2} ?$

A. $x - 2 = 0$

B. $y - 2 = 0$

C. $2 y - 1 = 0$

D. $2 x - 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 1}{x - 2} = 2 \Rightarrow$ đường thẳng $y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 43:

Với giá trị nào của m thì hàm số $y = \frac{m x - 1}{x + m}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{3}$ trên $[0; 2] .$

A. m=1

B. m=3

C.m=-3

D.m=-1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = \frac{m^{2} + 1}{{(x + m)}^{2}} > 0$ với $\forall x \in T X D$ . Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{3}$ trên $[0; 2]$ điều kiện cần và đủ là $y_{(2)} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2 m - 1}{2 + m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 1$

Câu 44:

Tính đạo hàm cấp 2018 của hàm số $y = e^{2 x} .$

A. $y^{(2018)} = 2^{2017} . e^{2 x} .$

B. $y^{(2018)} = 2^{2018} . e^{2 x} .$

C. $y^{(2018)} = e^{2 x} .$

D. $y^{(2018)} = 2^{2018} . x e^{2 x} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 2 e^{2 x}; y'' = 2^{2} e^{2 x}; ...; y^{(2018)} = 2^{2018} e^{2 x}$

Câu 45:

Cho hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 3 x + m}{x - m}$ có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị của m để (C) không có tiệm cận đứng.

A. m=0 hoặc m=1

B.m=2

C.m=0

D.m=1

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số không có tiệm cận đứng $\Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x + m = 0$ có nghiệm

$\Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 m + m = 0 \Leftrightarrow m (m - 1) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \end{array}$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên

Phương trình có nghiệm y= f(x)iệm duy nhất khi và chỉ khi:

A. $m \leq - 3$ hoặc $m \geq 3$

B. $- 3 < m < 3.$

C. $m < - 3$ hoặc $m > 3.$

D. $- 3 \leq m \leq 3.$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa trên BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow - 3 < m < 3$

Câu 47:

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = 3 c m, B C = 4 c m,$ $S C = 5 c m$ . Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Các mặt (SAB) và (SAC)tạo với nhau một góc $α$ sao cho $α = \frac{3}{29}$ . Tính thể tích khối chóp SABCD.

A.16 $c m^{2} .$

B. $15 \sqrt{29} c m^{2} .$

C.20 $c m^{2} .$

D. $18 \sqrt{5} c m^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi chiều cao của hình chóp là $h \Rightarrow h < S C = 5 c m$

Câu 48:

Tính thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' biết độ dài đoạn thẳng AC=2a.

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

B. $2 a^{3} \sqrt{2} .$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $A C = 2 a \Rightarrow$ cạnh của hình lập phương là $\sqrt{2} a$ $\Rightarrow V_{A B C D . A' B' C' D'} = {(\sqrt{2} a)}^{3} = 2 \sqrt{2} a^{3}$

Câu 49:

Tìm m để hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1) .$

A. $- 2 < m < - 1.$

B. $m > 1.$

C. $- 2 < m \leq - 1.$

D. $m < 1.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = \frac{m^{2} - 4}{{(x + m)}^{2}}$ để hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ thì điều kiện tương đương là $\{\begin{cases} m^{2} - 4 < 0 \\ - m \geq 1 \end{cases} \Rightarrow - 2 < m \leq - 1$

Câu 50:

Rút gọn biểu thức $A = (a - 4) {(\frac{a}{4 - a})}^{\frac{1}{2}} + {[a (4 - a)]}^{\frac{1}{2}}$ với $0 < a < 4.$

A. $A = \sqrt{a (4 - a)} .$

B. $A = 1.$

C. $A = 2 \sqrt{a (4 - a)} .$

D. $A = 0.$

Xem đáp án

Đáp án D

$A = (a - 4) {(\frac{a}{4 - a})}^{\frac{1}{2}} + {[a (4 - a)]}^{\frac{1}{2}} = - (4 - a) {(\frac{a}{4 - a})}^{\frac{1}{2}} + {[a (4 - a)]}^{\frac{1}{2}} = - {(4 - a)}^{\frac{1}{2}} {(a)}^{\frac{1}{2}} + {[a (4 - a)]}^{\frac{1}{2}} = 0$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải

Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề số 18)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan