Đáp án C

Ta có 14 = 7.2; 21 = 7.3.

BCNN(14; 21) = 7.2.3 = 42.

Khi đó 42:14 = 3; 42:21 = 2, ta được: 

$$\begin{gathered} \frac{5}{14}=\frac{5.3}{14.3}=\frac{15}{42}; \\ \frac{4}{21}=\frac{4.2}{21.2}=\frac{8}{42} \end{gathered}$$ 

Vậy hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{15}{42}$ và $\frac{8}{42}$

Đáp án B

Mẫu chung là BCNN(7, 11) = 77. Khi đó: 

$\frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{7.7}{11.7}+\frac{5.11}{7.11}=\frac{49}{77}+\frac{55}{77}=\frac{104}{77}$

Đáp án B

Ta có: 84 = $2^2$.3.7;  70 = 2.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: $2^2$.3.5.7.

Do đó BCNN(84, 70) = $2^2$.3.5.7.

Khi đó x = 2, y = 1, z = 1, t = 1.

Vậy x.y.z.t = 2.1.1.1 = 2.

Đáp án A

Ta có tích hai số đúng bằng tích của BCNN và ƯCLN.

Nên số còn lại là: ($2^3.3.5^3.2^2.5$) : ($2^2$.3.5) = ($2^5.3.5^4$) : ($2^2$.3.5) 

= ($2^5 : 2^3$).(3 : 3).($5^4$ : 5) = $2^2.1.5^3$.

Vậy số cần tìm là: $2^2.1.5^3$.

Đáp án A

+) Ta có ƯCLN(15,17) = 1 nên $\frac{15}{17}$ là phân số tối giản. Do đó A đúng.

+) Ta có 25 = $5^2$; 15 = 3.5 

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 3.$5^2$.

BCNN(15, 25) = 3.52 = 3.25 = 75. Do đó B sai.

+) $\frac{5}{12}+\frac{7}{15}=\frac{5.5}{12.5}+\frac{7.4}{15.4}$$=\frac{25}{60}+\frac{28}{60}$$=\frac{53}{60}$. Do đó C sai.

Suy ra D sai.

+) Nhân lần lượt 6 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… ta được: 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54;… 

Do đó: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42, 48; 54, ...}

+) Nhân lần lượt 9 với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… ta được: 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, …

Do đó: B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, ...}

Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42, 48; 54, ...}

           B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, ...}

Các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9 là: 0; 18; 36; 54; ….

Do đó: BC(6; 9) = {0; 18; 36; 54, ...}.

Ta có: BC(6; 9) = {0; 18; 36; 54, ...}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6; 9) là 18.

Vì 36 ⁝ 9 nên BCNN(36, 9) = 36.

a) Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

B(8) = {0; 16; 24; 32; 40; 48; 56;…}

Các số 0; 24; 48; … vừa là bội của 6, vừa là bội của 8 nên

BC(6,8) = {0; 24; 48;…}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 6 và 8 là 24 nên

BCNN(6, 8) = 24.

b) Vì 72 ⁝ 8 và 72 ⁝ 9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72.

Vì sau ít nhất một số tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng nên số tháng cần tìm chính là BCNN(6; 9)

Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

           B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63;…}

Các số 0; 18; 36; 54; … vừa là bội của 6, vừa là bội của 9 nên

BC(6,9) = {0; 18; 36; 54;…}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 6 và 9 là 18 nên

BCNN(6, 9) = 18.

Tháng bảo dưỡng lần tiếp theo là tháng 11 năm sau

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa thì hai máy được bảo dưỡng cùng một tháng.

Ta có: 9 = $3^2$; 15 = 3.5.

+) Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 5.

+) Số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(9, 15) = $3^2$. 5 = 45.

+) Phân tích 15 và 54 ra thừa số nguyên tố: 15 = 3. 5;  54 = 2. $3^3$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó: BCNN(15; 54) = 2.$3^3$.5 = 270

Do đó BC(15; 54) = B(270) = {0; 270; 540; 810; 1080; ...} nên bội chung nhỏ hơn 1000 của 15 và 54 là 0; 270; 540; 810.

Ta có: 9 = $3^2$; 10 = 2. 5; 15 = 3.5.

Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 2 và 5.

Số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(9, 10, 15) = 2.$3^2$.5 = 90.

Do đó cứ sau 90 phút thì ba xe lại xuất bến cùng một lúc.

Đổi 90 phút = 1 giờ 30 phút

Từ 10 giờ 35 phút thì sau 10 giờ 35 phút + 1 giờ 30 phút = 12 giờ 05 phút các xe xuất bến cùng một lúc

Tương tự như vậy thì 10 giờ 35 phút đến 22 giờ các xe xuất bến cùng một lúc vào các giờ: 12 giờ 05 phút; 13 giờ 35 phút; 15 giờ 05 phút; 16 giờ 35 phút; 18 giờ 05 phút; 

19 giờ 35 phút; 21 giờ 05 phút.

Ta có: 9 = $3^2$; 15 = 3.5 nên BCNN(9, 15) = $3^2$.5 = 45.

Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 45. Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{7}{9}=\frac{7.5}{9.5}=\frac{35}{45} \\ \frac{4}{15}=\frac{4.3}{15.3}=\frac{12}{45} \end{gathered}$$

(1) a) $\frac{5}{12}$ và $\frac{7}{15}$

Ta có: 12 = $2^2$.3; 15 = 3.5 nên BCNN(12, 15) = $2^2$.3.5 = 60

Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 60. Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{5}{12}=\frac{5.5}{12.5}=\frac{25}{60} \\ \frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60} \end{gathered}$$

b)$\frac{2}{7}; \frac{4}{9}$ và $\frac{7}{12}$

Ta có: 7 = 7; 9 = $3^2$; 12 = $2^2$.3 nên BCNN(7, 9, 12) = $2^2.3^2.7$ = 252.  Ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số trên là 252

$$\begin{gathered} \frac{2}{7}=\frac{2.36}{7.36}=\frac{72}{252} \\ \frac{4}{9}=\frac{4.28}{9.28}=\frac{112}{252} \\ \frac{7}{12}=\frac{7.21}{12.21}=\frac{147}{252} \end{gathered}$$

(2) a) $\frac{3}{8}+\frac{5}{24}$

Vì 24 ⁝ 8 nên BCNN(8, 24) = 24. Do đó ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là 24:

$$\begin{gathered} \frac{3}{8}=\frac{3.3}{8.3}=\frac{9}{24} \\ \frac{3}{8}+\frac{5}{24}=\frac{9}{24}+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24} \\ =\frac{14}{24}=\frac{14:2}{24:2}=\frac{7}{12} \end{gathered}$$

b) $\frac{7}{16}-\frac{5}{12}$;

Ta có: 16 = $2^4$; 12 = $2^2$.3 nên BCNN(16, 12) = $2^4$.3 = 48. Do đó ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là 48

a) Ta có BCNN(5; 7) = 5. 7 = 35 nên 

BC(5; 7) = B(35) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210; ...}

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175.

b) Ta có: 3 = 3; 4 = $2^2$; 10 = 2. 5.

Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(3, 4, 10) = $2^2$.3.5 = 60.

BC(3; 4; 10) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

a) 2.$3^3$ và 3.5

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 1 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN cần tìm là 2.$3^3$.5 = 270.

b) 2.5.$7^2$ và 3.$5^2$.7        

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 5 và 7; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 2, số mũ lớn nhất của 7 là 2

Vậy BCNN cần tìm là 2.3.$5^2.7^2$ = 7 350.

a) 30 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5; 45 = $3^2$.5

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và 5; thừa số nguyên tố riêng là 2

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = 2.$3^2$.5 = 90.

b) 18, 27 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

18 = 2.$3^2$;  27 = $3^3$;  45 = $3^2$.5

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = 2.$3^3$.5 = 270.

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 và a ⋮ 28 và a ⋮ 32

Do đó a là BCNN(28; 32)

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

28 = $2^2$.7; 32 = $2^5$

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 2; thừa số nguyên tố riêng là 7

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 5, số mũ lớn nhất của 7 là 1

nên a = BCNN(28; 32) = $2^5$.7 = 224

Vậy số tự nhiên a cần tìm là 224.

Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ.

Nên số học sinh của lớp 6A là BC(3; 4; 9) 

Ta có: 3 = 3; 4 = $2^2$; 9 = $3^2$

Ta thấy thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố chung

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 2

Khi đó: BCNN(3; 4; 9) = $2^2.3^2$ = 36

Do đó BC(3; 4; 9) = B(36) = {0; 36; 72; ...}

Mà số học sinh lớp 6A từ 30 đến 40 nên số học sinh lớp 6A là 36.

Vậy số học sinh lớp 6A là 36 học sinh.

Vì số cây hai đội trồng được như nhau mà mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây.

Nên số cây mỗi đội trồng được là BC(8; 11)

BCNN(8; 11) = 8 . 11 = 88

Do đó số cây mỗi đội trồng là BC(8; 11) = B(88) ={0; 88; 176; 264; ...}

Mà số cây trong khoảng từ 100 đến 200 nên số cây mỗi đội trồng được là 176 cây.

Vậy số cây mỗi đội đã trồng là 176 cây.

Số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là BCNN(2, 7) 

BCNN(2, 7) = 2.7 = 14 

Vậy sau ít nhất 14 ngày thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm.

a) Ta có: 12 = $2^2$.3; nên BCNN(12, 15) = $2^2$.3.5 = 60. Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$$\begin{gathered} \frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60} \\ \frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60} \end{gathered}$$

b) Ta có: 10 = 2.5; 4 = $2^2$; 14 = 2. 7 nên BCNN(10, 4, 14) = $2^2$.5.7 = 140. Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 140

$$\begin{gathered} \frac{7}{10}=\frac{7.14}{10.14}=\frac{98}{140} \\ \frac{3}{4}=\frac{3.35}{4.35}=\frac{105}{140} \\ \frac{9}{14}=\frac{9.10}{14.10}=\frac{90}{140} \end{gathered}$$

a) Ta có: 11 = 11; 7 = 7 nên BCNN(11, 7) = 11.7 = 77. Ta có thể chọn mẫu chung là 77.

$$\begin{gathered} \frac{7}{11}=\frac{7.7}{11.7}=\frac{49}{77} \\ \frac{5}{7}=\frac{5.11}{7.11}=\frac{55}{77} \\ \frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{49}{77}+\frac{55}{77}=\frac{104}{77} \end{gathered}$$

b) Ta có: 20 = $2^2$.5; 15 =3.5 nên BCNN(20,15) = $2^2$.3.5 = 60. Ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$$\begin{gathered} \frac{7}{20}=\frac{7.3}{20.3}=\frac{21}{60} \\ \frac{2}{15}=\frac{2.4}{15.4}=\frac{8}{60} \\ \frac{7}{20}-\frac{2}{15}=\frac{21}{60}-\frac{8}{60}=\frac{13}{60} \end{gathered}$$

Ta có B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; 240; 270; …}

B(45) = {0; 45; 90; 135; 180; 225; 270; …}

BC(30, 45) = {0; 90; 180; 270; …}.

BCNN(30, 45) = 90.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó. 

Nếu a $⋮$b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có: 

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

a) Vì 36 $⋮$12 nên BCNN(12, 36) = 36;

b) Vì 124 là bội của 1 nên BCNN(1; 124) = 124.

Ta có 21 = 3.7; 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(21, 14) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 12 = $2^2$.3; 24 = $2^3$.3; 30 = 2.3.5.

BCNN(12, 24, 30) = $2^3$.3.5 = 120.

BC(12, 24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}.

a) Ta có 12 = $2^2$.3; 15 = 3.5.

BCNN(12, 15) = $2^2$.3.5 = 60.

Ta có: 60:12 = 5; 60:15 = 4. Khi đó:

$\frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$ và $\frac{4}{15}=\frac{4.4}{15.4}=\frac{16}{60}$

b) Ta có: 7 = 7; 21 = 3. 7; 14 = 2.7.

BCNN(7, 21, 14) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 42:7 = 6; 42:21 = 2; 42:14 = 3. Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{2}{7}=\frac{2.6}{7.6}=\frac{12}{42} \\ \frac{5}{21}=\frac{5.2}{21.2}=\frac{10}{42} \\ \frac{8}{14}=\frac{8.3}{14.3}=\frac{24}{42} \end{gathered}$$

a) Ta có: 27 = $3^3$; 36 = $2^2.3^2$.

Khi đó BCNN(27, 36) = $3^3.2^2$ = 27.4 = 108.

Vậy BCNN(27, 36) = 108.

b) Ta có 49 = 72; 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(49, 14) = $7^2$.2 = 49.2 = 98.

Vậy BCNN(49, 14) = 98.

Vì số học sinh của lớp 6A và 6B xếp thành 3 hàng, 5 thàng hay 6 hàng đều vừa đủ nghĩa là số học sinh của hai lớp 6A và 6B chia hết cho 3 , 5 và 6 hay số học sinh của lớp 6A và 6B là bội chung của 3, 5 và 6.

Ta có: 3 = 3, 6 = 2.3, 5 = 5.

BCNN(3, 5, 6) = 2.3.5 = 30.

BC(3, 5, 6) = B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; …}.

Suy ra x ∈ {0; 30; 60; 90; 120; …}.

Biết số học sinh của hai lớp từ 70 đến 100 học sinh nên số học sinh hai lớp là 90.

Vậy số học sinh của hai lớp 6A và 6B là 90 học sinh.

a)

$$\begin{gathered} \frac{7}{11}+\frac{5}{3}=\frac{7.3}{11.3}+\frac{5.11}{3.11}=\frac{21}{33}+\frac{55}{33} \\ =\frac{21+55}{33}=\frac{76}{33} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{2}{15}-\frac{1}{20}=\frac{2.4}{15.4}-\frac{1.3}{20.3}=\frac{8}{60}-\frac{3}{60} \\ =\frac{5}{60}=\frac{1}{12} \end{gathered}$$

Đáp án D

Vì $\mathrm{a}⋮12$  và $\mathrm{a}⋮36$ nên a là bội chung của 12 và 36.

Mà a là số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất nên a chính là BCNN(12, 36).

Đáp án D

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

3 – Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

2 – Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

1 – Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Đáp án C

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Đáp án A

Nếu $\mathrm{x}⋮\mathrm{a}, \mathrm{x}⋮\mathrm{b}$ thì x $\in$BC(a, b).

Đáp án D

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với  mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Đáp án B

Trong tập hợp BC(4, 6) ta thấy bội chung nhỏ nhất khác 0 là 12.

Nên BCNN(4, 6) = 12.

Đáp án B

Nếu $20⋮\mathrm{a}$  và $20⋮\mathrm{b}$  thì 20 là bội chung của a và b.

Đáp án D

Nếu 30 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 30  a và 30  b thì 30 là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Đáp án B

Ta có: m = 3.$5^2$ và n = $5^2$.7.

Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là: $5^2$. 

ƯCLN(m, n) = $5^2$ = 25.

Đáp án D

Ta có m = $2^2$.3.5 và n = 2.$3^2$.5

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: $2^2.3^2$.5 = 180.

BCNN(m, n) = 180.

Đáp án C

Ta có: 15 = 3.5; 25 = $5^2$.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 3.52.

BCNN(15, 25) = 3.$5^2$ = 3.25 = 75.

BC(15, 25) = B(75) = {0; 75; 150; 225; …}.

Đáp án C

Ta có: 3 = 3; 4 = $2^2$; 7 = 7.

Khi đó BCNN(3, 4, 7) = 3.$2^2$.7 = 84.

Suy ra BC(3, 4, 7) = B(84) = {0; 84; 168; 252; …}.

Bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 7 là 0; 84; 168.

Đáp án C

Vì $\mathrm{a}⋮28$  và $\mathrm{a}⋮32$  nên a là BC(28, 32).

Mà a là nhỏ nhất nên a là BCNN(28, 32).

Ta có: 28 = $2^2$.7; 32 = $2^5$.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: $2^5$.7.

BCNN(28, 32) = $2^5$.7 = 32.7 = 224.

Vậy a = 224.