a) Ta có: 27 = $3^3$; 123 = 3.41

+) Thừa số nguyên tố chung là 3

+) Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên ƯCLN(27, 123) = 3. Do đó phân số $\frac{27}{123}$ chưa tối giản.

$\frac{27}{123}=\frac{27:3}{123:3}=\frac{9}{41}$. Ta được $\frac{9}{41}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(9, 41) = 1.

b) Ta có: 33 = 3.11; 77 = 7.11

+) Thừa số nguyên tố chung là 11

+) Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1 nên ƯCLN(33, 77) = 11. Do đó phân số $\frac{33}{77}$ chưa tối giản.

$\frac{33}{77}=\frac{33:11}{77:11}=\frac{3}{7}$. Ta được $\frac{3}{7}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(3, 7) = 1.

Đáp án C

${12}^2$ : 6 + 2.7 

= 144 : 6 + 2.7

= 24 + 14

= 38.

Ta có:

Vậy 38 = 2.19.

a) Ta có: 12 = $2^2$.3;  16 = $2^4$ nên BCNN(12, 16) = $2^4$.3 = 48 nên ta có thể chọn mẫu chung là 48.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{5}{12}=\frac{5.4}{12.4}=\frac{20}{48} \\ \frac{3}{16}=\frac{3.3}{16.3}=\frac{9}{48} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{5}{12}+\frac{3}{16}=\frac{20}{48}+\frac{9}{48}=\frac{29}{48}$

b) Ta có: 15 = 3.5; 9 = $3^2$ nên BCNN(15, 9) = $3^2$.5 = 45 nên ta có thể chọn mẫu chung là 45.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{4}{15}=\frac{4.3}{15.3}=\frac{12}{45} \\ \frac{2}{9}=\frac{2.5}{9.5}=\frac{10}{45} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{4}{15}-\frac{2}{9}=\frac{12}{45}-\frac{10}{45}=\frac{2}{45}$

Đáp án D

Ta có 15 = 3.5; 9 = $3^2$; 27 = $3^3$.

BCNN(15, 9, 27) = $3^3$.5 = 135.

Khi đó: 135:15 = 9; 135:9 = 15; 135:27 = 5. Ta được:

$$\begin{gathered} \frac{13}{15}=\frac{13.9}{15.9}=\frac{117}{135} \\ \frac{4}{9}=\frac{4.15}{9.15}=\frac{60}{135} \\ \frac{5}{27}=\frac{5.5}{27.5}=\frac{25}{135} \end{gathered}$$ 

Vậy các phân số sau quy đồng là: $\frac{117}{135}; \frac{60}{135}$ và $\frac{25}{135}$

Đáp án C

Ta có: 24 = 3.$2^3$; 18 = 2.$3^2$.

BCNN(24, 18) = $2^3.3^2$ = 72.

Khi đó BC(24, 18) = B(72) = {0; 72; 144; 216; 288; …}.

Đáp án C

Số cần tìm là số chia hết cho 5 nên y = 0 hoặc y = 5.

+) Với y = 0 thì số đã cho là $\overline{2\mathrm{x}570}$, ta có: 2 + x + 5 + 7 + 0 = 14 + x.

Để số đã cho chia hết cho 3 thì 14 + x chia hết cho 3.

Khi đó x $\in$ {1; 4; 7}

+) Với y = 5 thì số đã cho là  , ta có: 2 + x + 5 + 7 + 5 = 18 + x.

Để số đã cho chia hết cho 3 thì 17 + x chia hết cho 3.

Khi đó x $\in$ {1; 4; 7; 9}.

Vậy có tất cả 7 cặp x và y thỏa mãn điều kiện.

Đáp án B

Ta có: m = 2.$3^2.5^2$ và n = $2^3.3.5^4$.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ nhỏ nhất là: 2.3.$5^2$ = 150.

Vậy ƯCLN(m, n) = 150.

Đáp án A

Vì $6⋮\left(\mathrm{n}+1\right)$ nên n + 1 thuộc Ư(6).

Lấy 6 chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 6, ta thấy 6 chia hết cho 1; 2; 3; 6.

Khi đó Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

Suy ra n + 1 thuộc {1; 2; 3; 6}.

Hay n thuộc {0; 1; 2; 5}.

Đáp án C

Vì số học sinh của khối 6 khi xếp thành 10; 12 và 15 hàng đều vừa đủ nên số học sinh khối 6 chia hết cho 10; 11 và 15. Hay học sinh khối 6 là bội chung của 10; 11 và 15.

Ta có: 10 = 2.5; 11 = 11; 15 = 3.5

Tích các thừa số chung và riêng là: 2.3.5.11.

Khi đó BCNN(10, 11, 15) = 2.3.5.11 =  330.

Suy ra BC(10, 11, 15) = B(330) = {0; 330; 660; 990; …}..

Vì số học sinh khối 6 trong khoảng từ 500 đến 700 học sinh nên số học sinh khối 6 là 660 học sinh.

Đáp án D

Khoảng cách giữa hai đợt bác ấy sẽ làm hai việc sẽ là bội chung của 3 và 6.

Ta có 3 = 3; 6 = 2.3.

Khi đó BCNN(3, 6) = 6.

Nghĩa là cứ 6 tháng 1 thì bác sẽ làm hai việc cùng một lúc.

Đợt vừa rồi là tháng 4 thì lần gần nhất tiếp theo là 4 + 6 = 10.

Vậy vào tháng 10 thì bác ấy sẽ vừa thay dầu và vừa xoay lốp ô tô.

Số túi quà nhiều nhất mà Mai chia được là ƯCLN(12, 18, 30)

Ta có: 12 = $2^2$.3

           18 = 2.$3^2$

           30 = 2.3.5

+) Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 4 là 1

Do đó: ƯCLN(12, 18, 30) = 2.3 = 6

Vậy Mai có thể chia được nhiều nhất 6 túi quà.

Số tháng ít nhất tiếp theo mà bác Nam làm hai việc đó cùng một tháng là BCNN(3, 6)

Vì ⁝3 nên BCNN(3, 6) = 6

Do đó sau 6 tháng nữa bác sẽ làm hai việc cùng một tháng.

Nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì gần nhất lần tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 4 + 6 = 10.

Vậy lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 10.

Vì mỗi số nguyên tố chỉ có ước là 1 và chính nó mà 79 và 97 là hai số nguyên tố khác nhau nên ƯCLN(79, 97) = 1 và BCNN(79, 97) = 79.97 = 7 663.

ƯCLN ($3^{\mathrm{a}}.5^2$; $3^3.5^{\mathrm{b}}$). BCNN = ($3^{\mathrm{a}}.5^2$; $3^3.5^{\mathrm{b}}$) = ($3^3.5^3$).($3^4.5^3$)

= ($3^3.3^4$).($5^2.5^3$) = $3^{3+4}.5^{2+3}$ = $3^7.5^5$

Tích của 2 số đã cho: ($3^{\mathrm{a}}.5^2$).($3^3.5^{\mathrm{b}}$) = ($3^{\mathrm{a}}.3^3$).($5^2.5^{\mathrm{b}}$) = $3^{\mathrm{a}+3}.5^{\mathrm{b}+2}$

Ta có tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của hai số ấy nên:

$3^7.5^5$= $3^{\mathrm{a}+3}.5^{\mathrm{b}+2}$. Do đó: a + 3 = 7 ⇒ a = 7 – 3 = 4

và  b + 2 = 5 ⇒ b = 5 -2

Vậy a = 4 và b = 3.

Giả sử có a con vịt.

Theo các dữ kiện đề bài cho:

Hàng 2 xếp vẫn chưa vừa nghĩa là a là số lẻ ⇒ a + 1 ⋮ 2 (1)

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 1 con nghĩa là (a – 1) ⋮ 3 (2)

Hàng xếp 5 thiếu 1 con mới đầy nghĩa là (a + 1) ⋮ 5 (3)

Xếp thành hàng 7, đẹp thay nghĩa là a ⋮ 7 (4)

Số vịt chưa đến 200 con nghĩa là a < 200.

Từ (1) và (3) suy ra (a + 1) ∈ BC(2; 5) = B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; …}.

a ⋮ 7 nên a + 1 chia 7 dư 1.

Các số là bội của 10, chia 7 dư 1 là 50; 120; 190; 260; …

Mà a + 1 ≤ 200 nên a + 1 = 50; 120 hoặc 190.

– Trường hợp 1: a + 1 = 50 thì a = 49 ⋮ 7 (t/m (4))

a – 1 = 48 ⋮ 3 (t/m (2)).

Vậy a = 49 (thỏa mãn).

– Trường hợp 2: a + 1= 120

Suy ra a = 119, suy ra a – 1 = 118 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

– Trường hợp 3: a + 1 = 190

Suy ra a = 189, suy ra a – 1 = 188 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

Vậy số vịt là 49 con.

a) Vì 10 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 2.

Do đó để x – 10 chia hết cho 2 thì x phải chia hết cho 2.

Mà x ∈ {25; 36; 1024; 2013; 2151}

Suy ra  x ∈ {36; 1024}.

Vậy  x ∈ {36; 1024}.

Vậy x ∈ {36; 1024} thì x – 10 chia hết cho 2.

b) Vì 12 chia hết cho 3

Vậy  x ∈ {36; 2013; 2151} thì x + 12 chia hết cho 3.

c) 50 có chữ số tận cùng là 0 nên 50 chia hết cho 5 

Để x + 50 chia hết cho 5 thì x phải chia hết cho 5.

Mà x ∈ { 25; 36; 1024; 2013; 2151}.

Suy ra x = 25.

Vậy x = 25 thì x + 50 chia hết cho 5. 

d) Vì 27 chia hết cho x 

Để x + 27 chia hết cho 9 thì x phải chia hết cho 9.

Ta có 2 + 5 = 7 không chia hết 9 nên 25 không chia hết cho 9;

3 + 6 = 9 chia hết cho 9 nên 36 chia hết cho 9;

1 + 0 + 2 + 4 = 7 không chia hết cho 9 nên 1024 không chia hết cho 9;

2 + 0 + 1 + 3 = 6 không chia hết cho 9 nên 2013 chia hết cho 9;

2 + 1 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 9 nên 2151 chia hết cho 9.

Suy ra x ∈ {36; 2151} .

Vậy x ∈ {36; 2151} thì x + 27 chia hết cho 9.

a) 54 = $3^3$.2, 72 = $3^2.2^3$

ƯCLN(54, 72) = $3^2$.2 = 9.2 = 18.

BCNN(54, 72) = $3^3.2^3$ = 216.

b) 70 = 2.5.7, 105 = 3.5.7.

ƯCLN(70, 105) = 5.7 = 35.

BCNN(70, 105) = 2.3.5.7 = 210.

a) $\frac{11}{25}-\frac{9}{35}=\frac{11.7}{25.7}-\frac{9.5}{35.5}$$=\frac{77}{175}-\frac{45}{175}$$=\frac{32}{175}$;

b) $\frac{4}{16}+\frac{1}{36}=\frac{4.9}{16.9}+\frac{1.4}{36.4}$$=\frac{36}{144}+\frac{4}{144}$$=\frac{40}{144}$.

Đáp án D

Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là: 0; 2; 4; 6; 8.

Trong các số đã cho các số chia hết cho:112; 256; 20 134.

Vậy có 3 số trong các số đã cho chia hết cho 2.

Đáp án D

Vì 12 = 3.4 nên 12 chia hết cho 3.

Do đó để x – 12 chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3.

Trong các số ta thấy 84 là thỏa mãn chia hết cho 3 vì 8 + 4 = 12 chia hết cho 3.

Đáp án B

Ta có 2 + 3 + * + 5 = 10 + *.

Để số đã cho chia hết cho 9 thì 10 + * phải chia hết cho 9.

Nên * thuộc {8; 17; 26; …}.

Mà * là chữ số nên * = 8.

Đáp án A

Số 11 234 005 có tận cùng là chữ số 5 nên số này chia hết cho 5.

Đáp án B

Dựa vào bảng số nguyên tố cuối sách giáo khoa, ta có: 113 và 811 là hai số nguyên tố.

Vậy có 2 số nguyên tố trong các số đã cho.

Đáp án D

Ta có:

Vậy 204 = $2^2$.3.17.

Đáp án C

Ta có 12 760 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5; 

105 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5.

Vậy 12 760 – 105 chia hết cho 5.

Đáp án C

Hợp số là các số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

Đáp án A

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất các bội chung của các số đó.

Đáp án B

Ta có: 

Đáp án C

Vì $\mathrm{x}⋮5$ và $\mathrm{x}⋮7$  nên x là bội chung của 5 và 7.

Do 5 và 7 là hai số nguyên tố nên BCNN(5, 7) = 5.7 = 35.

Suy ra BC(5, 7) = { 0; 35; 70; 105; …}.

Vì x là bội chung của 5 và 7 nên x $\in$ BC(5, 7) = { 0; 35; 70; 105; …}.

Mà 0 < x ≤ 70 nên x $\in${ 0; 35; 70}.

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn điều kiện.

Đáp án B

Ta có:

Vậy 120 = $2^3$.3.5.

a) x - 12 chia hết cho 2

Vì 12 chia hết cho 2 nên x chia hết cho 2 do đó x tận cùng là số chẵn

Mà x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020}

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 108, 1 234, 2 020.

b) x - 27 chia hết cho 3;

Vì 27 chia hết cho 3 nên x chia hết cho 3 do đó tổng các chữ số của x chia hết cho 3

Mà x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020}

Ta thấy: 5 + 0 = 5 $\cancel{⋮}$ 3 nên 50 $\cancel{⋮}$ 3

1 + 0 + 8 = 9 $⋮$ 3 nên 108 $⋮$ 3

1 + 8 + 9 = 18 $⋮$ 3 nên 189 $⋮$ 3

1+ 2 + 3 + 4 = 10 $\cancel{⋮}$ 3 nên 1 234 $\cancel{⋮}$ 3

2 + 0 + 1 + 9 = 12 $⋮$ 3 nên 2 019 $⋮$ 3

2 + 0 + 2 + 0 = 4 $\cancel{⋮}$ 3 nên 2 020 $\cancel{⋮}$ 3

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189, 2 019.

c) x + 20 chia hết cho 5;

Vì 20 chia hết cho 5 nên x chia hết cho 5 do đó x có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Mà x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020}

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 2 020.

d) x + 36 chia hết cho 9

Vì 36 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9 do đó tổng các chữ số của x chia hết cho 9

Mà x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020}

Ta thấy: 5 + 0 = 5 $\cancel{⋮}$ 9 nên 50 $\cancel{⋮}$ 9

 1 + 0 + 8 = 9 $⋮$ 9 nên 108 $⋮$ 9;

1 + 8 + 9 = 18 $⋮$ 9 nên 189 $⋮$ 9;

1 + 2 + 3 + 4 = 10 $\cancel{⋮}$ 9 nên 1 234 $\cancel{⋮}$ 9;

2 + 0 + 1 + 9 = 12 $\cancel{⋮}$ 9 nên 2 019 $\cancel{⋮}$ 9;

2 + 0 + 2 + 0 = 4 $\cancel{⋮}$ 9 nên 2 020 $\cancel{⋮}$ 9

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189.

Đáp án A

Ta có 128 = $2^7$; 36 = $2^2.3^2$.

Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là: $2^2$.

Vậy ƯCLN(128; 36) = $2^2$.

a) ${14}^2 + 5^2 + 2^2$ = 196 + 25 + 4 = 225 

Phân tích 225 ra thừa số nguyên tố:

Vậy ${14}^2 + 5^2 + 2^2$ = 225 = $3^2.5^2$

b) 400 : 5 + 40 = 80 + 40 = 120

Phân tích 120 ra thừa số nguyên tố

Vậy 400 : 5 + 40 = 120 =  $2^3$.3.5.

Đáp án B

+) Xét A = 2.7.12 + 49.53:

Vì 2.7.12 chia hết cho 7, 49.53 = 7.7.53 chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7. 

Vậy A có một ước khác 1 và chính nó nên A là hợp số.

+) Xét B = 3.4.5 + 2 020.2 021. 2022

Ta có: 3.4.5 = 3.2.2.5 chia hết cho 2, 2 020.2 021.2 022 chia hết cho 2 nên B chia hết cho 2.

Vậy B có một ước nữa khác 1 và chính nó nên B là hợp số.

a) Ta có: 21 = 3.7; 98 = 2.$7^2$

+) Thừa số nguyên tố chung là 7, thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3

+) Số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 nên ƯCLN(21, 98) = 7

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 7 là 2 nên BCNN(21, 98) = 2.3.$7^2$ = 294

Vậy ƯCLN(21, 98) = 7; BCNN(21, 98) = 2.3.$7^2$ = 294.

b) Ta có: 36 = $2^2.3^2$; 54 = 2.$3^3$

+) Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố riêng

+) Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2 nên ƯCLN(36, 54) = 2.$3^2$ = 18

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 3 nên BCNN(36, 54) = 2.$3^2$ = 108

Vậy ƯCLN(36, 54) =  2.$3^2$ = 18; BCNN(36, 54) = 2.$3^2$ = 108.

Đáp án A

Ta có: 14 = 2.7, 21 = 3.7.

BCNN(14, 21) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 42:14 = 3; 42:21 = 2. Khi đó:

$\frac{9}{14}+\frac{8}{21}=\frac{9.3}{14.3}+\frac{8.2}{21.2}$$=\frac{27}{42}+\frac{16}{42}$$=\frac{43}{42}$