1. 135 : 9 = 15

Từ đó ta có: 135 : (-9) = -15;

(-135) : (-9) = 15

2. a) (-63) : 9 = - (63 : 9) = -7;

b) (-24) : (-8) = 24 : 8 = 3.

a) Ta có các ước nguyên dương của 9 là: 1; 3; 9

Do đó tất cả các ước của -9 là: -9; -3; -1; 1; 3; 9

b) Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6… ta được các bội dương của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…

Do đó các bội của 4 là …; -24; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…

Vậy các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20 là -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16.

Bạn Tròn tìm được hai số nguyên khác nhau mà $\mathrm{a}⋮\mathrm{b}$ và  $\mathrm{b}⋮\mathrm{a}$ là hai số đối nhau.

Ví dụ 1: Hai số là 3 và - 3  

Ví dụ 2: Hai số 12 và - 12           

Vậy tổng quát với mọi số nguyên a khác 0. Số đối của a là - a và ta có:

Suy ra a chia hết cho – a và ngược lại (-a) chia hết cho a.

a) 297 : (-3) = - (297 : 3) = - 99

b) (-396) : (-12) = 396 : 12 = 33

c) (-600) : 15 = - (600 : 15) = - 40.

a) * Tìm các ước của 30:

Ta có: 30 = 2.3.5

Các ước nguyên dương của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Do đó tất cả các ước của 30 là:  -30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

* Tìm các ước của 42:

Ta có: 42 = 2. 3. 7

Các ước nguyên dương của 42 là: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

Do đó tất cả các ước của 42 là: -42; -21; -14; -7; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

* Tìm các ước của – 50:

Ta có 50 = 2.$5^2$

Các ước nguyên dương của 50 là: 1; 2; 5; 10; 25; 50

Do đó tất cả các ước của - 50 là: -50; -25; -10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10; 25; 50

b) Các ước chung nguyên dương của 30 và 42 là: 1; 2; 3; 6

Do đó các ước chung của 30 và 42 là:  -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6. 

Vì x là số nguyên chia hết cho 4 nên x là bội của 4.

Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6… ta được các bội dương của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…

Do đó các bội của 4 là: …; -24; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24

Mà các bội của 4 lớn hơn hoặc bằng - 16 và nhỏ hơn 20 là -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16

Vậy M = {-16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16}.

Ta có: 15 = 3. 5

Các ước nguyên dương của 15 là: 1; 3; 5; 15

Do đó tất cả các ước của 15 là: -15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15

Nhận thấy: (- 5) + 1 = - (5 – 1) = - 4;

(-1) + (- 3) = - (1 + 3) = - 4

Vậy hai ước có tổng bằng 4 là – 5 và 1 hoặc – 1 và – 3.

Giả sử a và b là hai số nguyên cùng chia hết cho -3. Khi đó có hai số nguyên p và q sao cho a = (- 3).p và b = (- 3). q.

+) Ta có: a + b = (-3). p + (- 3). q = (-3). (p + q)

Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p + q) ⁝ (- 3) hay (a + b) ⁝ (- 3)

 +) Ta có: a - b = (-3). p - (- 3). q = (-3). (p - q) 

Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p - q) ⁝ (- 3) hay (a - b) ⁝ (- 3)

Vậy nếu hai số cùng chia hết cho – 3 thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho – 3.

Tổng quát: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho một số nguyên c (c   0) thì tổng (hay hiệu) của chúng cũng chia hết cho c.

Ta có thể chứng minh kết luận trên như sau:

Giả sử a ⁝ c và b ⁝ c có nghĩa là a = cp và b = cq (với p, q  ).

Suy ra a + b = cp + cq = c. (p + q).

Vì c ⁝ c nên [c. (p + q)] ⁝ c

Vậy (a + b) ⁝ c.

a) Vì 27 = 9.3 nên 27 chia hết cho 3. Do đó a đúng.

b) Vì 28 = 14.2 nên 28 chia hết cho 14. Do đó b sai.

c) Vì 135 = 15.9 nên 135 chia hết cho 15. Do đó c đúng.

a) Ta có các ước dương của 6 là: 1; 2; 3; 6.

Do đó tất cả các ước của 6 là: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.

Ta có các ước dương của 9 là: 1; 3; 9.

Do đó tất cả các ước của 9 là: 1; -1; 3; -3; 9; -9.

b) Lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3; 4; …, ta được các bội dương của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …Do đó bội của 8 là: 0; 8; -8; 16; -16; 24; -24; 32; -32; …

Vì 12  x nên x thuộc Ư(12) 

Ư(12) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12}.

Mà -6 ≤ x < 2 nên x ∈ {-6; -4; -2; -1; 1}

Bằng cách liệt kê các phần tử, ta viết M = {-6; -4; -2; -1; 1}.

a) Ư(21) = {1; -1; 3; -3; 7; -7; 21; -21};

Ư(35) = {1; -1; 5; -5; 7; -7; 35; -35}.

b) Ư(30) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 5; -5; 6; -6; 10; -10; 15; -15; 30; -30};

Ư(42) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6; 7; -7; 14; -14; 21; -21; 42; -42};

ƯC(30, 42) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}.

Đáp án B

Ta có 64:(-8) = -8.

Đáp án A

Vì (-10): 2 = -5 nên -10 chia hết cho 2, do đó -10 là một bội của 2.

Đáp án D

Các ước nguyên dương của 5 là 1; 5.

Do đó các ước nguyên âm của 5 là -1; -5

Vậy Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}.

Đáp án A

Trong 3 phút, tàu lặn xuống 12 m hay tàu lặn được: - 12 m

Một phút tàu lặn được: (-12) : 3 = - 4 m.

Vậy mỗi phút tàu lặn xuống thêm được 4 m.

Đáp án D

Trong một phút máy đã làm thay đổi được: -12 : 6 = -$2^0\mathrm{C}$.

Vậy trung bình một phút máy đã làm thay đổi nhiệt độ được -$2^0\mathrm{C}$.

Đáp án A

(-132).(-98):11

= 12 936:11

= 1 176.

Đáp án D

[(-9).(-9).(-9) + $9^3]:8^{10}$

= $[-9^3 + 9^3]:8^{10}$

= 0: $8^{10}$ = 0.

Đáp án A

(- 24).x = - 120

x = (- 120):(- 24) 

x = 5

Vậy x = 5.

Đáp án B

Ta nhân 5 với các số tự niên …; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

Suy ra B(5) = {…; -10; -5; 0; 5; 25;…}.

Đáp án C

Sau 7 ngày nhiệt độ thay đổi: (– 39) – (–25) = – 39 + 25  = $-{14}^0\mathrm{C}$

Do đó sau 7 ngày nhiệt độ giảm ${14}^0\mathrm{C}$.

Trung bình mỗi ngày nhiệt độ giảm: 14 : 7 = $2^0\mathrm{C}$

Hay nhiệt độ trung bình mỗi ngày thay đổi $-2^0\mathrm{C}$

Vậy trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi $-2^0\mathrm{C}$.

Đáp án B

Ta có: (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > 0 mà – 134 < 0 nên (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > -134.

Vậy (9 876 – 6 789).(9 876 + 6 789) > -134 hay X  > Y.

Đáp án C

100 : (x – 7) = 1

x – 7 = 100:1

x – 7 = 100

x = 100 + 7

x = 107.

Vậy x = 107.

Đáp án A                                      

(5x – 10) : ($77{\mathrm{x}}^2$ + 1) = 0

TH1: 5x – 10 = 0

5x = 10

x = 10:5

x = 2.

TH2: $77{\mathrm{x}}^2$ + 1 = 0 

$77{\mathrm{x}}^2$ = -1 (vô lí).

Vậy x = 2.

Đáp án C

Một năm có 12 tháng được chia làm 4 quý, trong đó:

Quý I gồm tháng 1, tháng 2, tháng 3;

Quý II gồm tháng 4, tháng 5, tháng 6;

Quý III gồm tháng 7, tháng 8, tháng 9;

Quý IV gồm tháng 10, tháng 11, tháng 12.

Số ${\mathrm{m}}^3$ nước của nhà bác Long đã sử dụng trong ba tháng cuối năm (hay trong quý IV) là: 

37 – 22 = 15 (số).

Mỗi ${\mathrm{m}}^3$ nước có giá tiền là: 90 000:15 = 6 000 (m3).

Số ${\mathrm{m}}^3$ nước bác Long đã sử dụng trong tháng 10 là: 26 – 22 = 4 (m3).

Số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 10 năm 2020 là:

4.6 000 = 24 000 (đồng).

Số ${\mathrm{m}}^3$ nước bác Long đã sử dụng trong tháng 11 là: 31 – 26 = 5 (m3).

Số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 11 năm 2020 là:

5.6 000 = 30 000 (đồng).

Vậy số tiền nước mà bác Long phải trả của tháng 10 và tháng 11 năm 2020 lần lượt là 24 000 đồng và 30 000 đồng.

Đáp án C

Vì  a ⋮ b và b ⋮ a. 

Vì a chia hết cho b nên a là bội của b mà b cũng chia hết cho a nên b là bội của a.

Suy ra a = b hoặc a = -b (a, b ≠ 0)

Mà a và b là hai số nguyên khác nhau  nên a = - b hay a và b là số đối của nhau.

Đáp án A

Ta có: Một quý sẽ gồm có 3 tháng.

Trong một tháng số tiền lãi của bác Ba: 60:3 = 20 (triệu đồng)

Trong một tháng số tiền lỗ của bác Tư: 12:3 = 4 (triệu đồng)

Vậy bình quân trong một tháng số tiền lãi/lỗ của mỗi người là:

Bác Ba lãi: 20 triệu đồng (Có 20 triệu đồng).

Bác Tư lỗ: 4 triệu đồng (Có - 4 triệu đồng).

Đáp án C

Số tiền bác Toàn được nhận là: 40.100 000 + 35.50 000 – 15.30 000 – 10.70 000

= 4 000 000 + 1 750 000 – 450 000 – 700 000 = 4 600 000 (đồng).

Tổng số sản phẩm bác Toàn làm được là: 40 + 35 + 15 + 10 = 100 (sản phẩm).

Do đó bác Toàn được thưởng trung bình mỗi sản phẩm là: 

4 600 000:100 = 46 000 (đồng).

Vậy bác Toàn được thưởng trung bình 46 000 đồng trên mỗi sản phẩm.

Đáp án C

Giả sử Nam tặng 169 quyển truyện được nhiều nhất cho n bạn. Không có hai bạn nào nhận được số quyển truyện bằng nhau, nên để chia được cho nhiều bạn nhất thì phải chia cho từng bạn số quyển truyện tương ứng là: 1; 2; 3; 4; 5; …; n – 1; n.

Tổng số quyển truyện của n bạn trên là:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n - 1 + n = $\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$ (quyển)

Nếu n ≥ 18 thì $\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}\ge \frac{18\left(18+1\right)}{2}$=171>169. Mà bạn Nam chỉ có 169 quyển truyện nên bạn Nam có thể tặng nhiều nhất cho 17 bạn.

Vậy bạn Nam có thể chia 169 quyển truyện cho nhiều nhất 17 bạn.

Đáp án C

b) Vì x chia hết cho 18 nên x thuộc tập B(18) = {…; -36; -18; 0; 18; 36; 54; …}.

Mà x là số nguyên dương nên x ∈ {18; 36; 54; …}

Vậy x ∈ {18; 36; 54; …}.

Đáp án B

Ta có 2x – 3 = 2x + 2 – 5 = 2(x + 1) – 5 

Vì 2x – 3 là bội của x + 1 nên 2x – 3 chia hết cho x + 1.
 Mà 2(x + 1) chia hết cho x + 1 nên 5 phải chia hết cho x + 1 hay x + 1 thuộc Ư(5) = {1; -1; 5; -5}.

Suy ra x ∈ {0; -2; 4; -6}.

Vậy x ∈ {0; -2; 4; -6}.