+) Vì 24 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Do đó: Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

+) Vì 28 chia hết cho các số: 1; 2; 4; 7; 14; 28

Do đó: Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}.

Ta có: Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

           Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Các số vừa là ước của 24, vừa là ước của 28 là: 1; 2; 4.

Vậy ƯC(24; 28) = {1; 2; 4}.

Ta có: ƯC(24; 28) = {1; 2; 4}

Số lớn nhất trong ƯC(24; 28) là 4.

Vì 90 ⁝ 10 nên ta có ƯCLN(90, 10) = 10.

Ta có: 12 ⁝ 3, 15 ⁝ 3  hay 3 ∈ Ư(12); 3 ∈ Ư(15)

Nên 3 ∈ ƯC(12; 15) do đó bố chia được số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng màu xanh và bóng màu đỏ.

Vậy bố có thể thực hiện phép chia này.

a) Để số học sinh nam và nữ trong các nhóm đều bằng nhau nên số nhóm chính là ước chung của 36 và 40

Gọi x là số nhóm học sinh chia được (nhóm)

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}

Do đó ƯC(36; 40) = {1; 2; 4}

Số học sinh nam và nữ trong mỗi nhóm được cho như bảng dưới đây:

Vậy có thể chia được 1 nhóm; 2 nhóm hoặc 4 nhóm.

b) Số nhóm chia được nhiều nhất là ƯCLN(36; 40)

Vì ƯC(36; 40) = {1; 2; 4} nên ƯCLN(36; 40) = 4.

Vậy có thể chia nhiều nhất 4 nhóm học sinh.

+) Phân tích các số 45, 150 ra thừa số nguyên tố:

       45 = $3^2$.5

      150 = 2.3.$5^2$

+) Các thừa số nguyên tố chung là: 3; 5

+) Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 và số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên 

ƯCLN(45, 150) = 3. 5 = 15

Vậy ƯCLN(45, 150) = 3. 5 = 15.

Phân tích các số 36 và 84 ra thừa số nguyên tố ta được:

36 = $2^2.3^2$;

84 = $2^2$.3.784;

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 36 và 84. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên ƯCLN(36, 84) = $2^2$.3 = 12

Vậy ƯCLN(36, 84) = 12.

Vì trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng nên số hàng dọc là ƯC(24; 28; 36).

Mặt khác để xếp được nhiều nhất số hàng dọc thì số hàng dọc là ƯCLN(24; 28; 36)

Ta có:

24 = $2^3.3$

28 = $2^2.7$

36 = $2^2.3^2$

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung của 24; 28 và 36. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 nên ƯCLN(24; 28; 36) = $2^2$ = 4

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Vì ƯCLN(75; 105) = 15 nên ƯC(75, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Vậy ƯC(75, 105) = {1; 3; 5; 15}.

a) Vì mỗi em mua một vé nên giá vé tính theo nghìn đồng chính là 

ƯC(56 000; 28 000; 42 000; 98 000)

Ta có: 56 000 = $2^6.5^3.7$

           28 000 = $2^5.5^3.7$

           42 000 = $2^4.3.5^3.7$

           98 000 = $2^4.5^3.7^2$

Ta thấy 2; 5 và 7 là các thừa số nguyên tố chung của 56 000; 28 000; 42 000; 98 000. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 4, số mũ nhỏ nhất của 5 là 3, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 nên 

ƯCLN (56 000; 28 000; 42 000; 98 000) = 24.53.7 = 14 000

ƯC(56 000; 28 000; 42 000; 98 000) = Ư(14 000) 

Do giá vé tính theo đơn vị nghìn đồng nên giá vé chỉ có thể là: 1 000; 2 000; 7 000 đồng.

Mà giá vé lớn hơn 2000 đồng nên giá vé là 7 000 đồng.

b) Tổng số tiền cô Lan thu được thừ thứ Hai đến thứ Năm là:

56 000 + 28 000 + 42 000 + 98 000 = 224 000 (đồng)

Số học sinh tham gia chuyến đi là:

224 000 : 7 000 = 32 (học sinh)

Vậy giá vé là 7 000 đồng và có 32 học sinh tham gia chuyến đi.

Ta có: 16 = 24 ; 10 = 2.5

+) Thừa số nguyên tố chung là: 2 với số mũ nhỏ nhất là 2 nên ƯCLN(16, 10) = 2

Do đó phân số $\frac{16}{10}$ chưa là phân số tối giản nên:

$\frac{16}{10}=\frac{16:2}{10:2}=\frac{8}{5}$ . Ta có $\frac{8}{5}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(8, 5) = 1.

a) Ta có: 90 = 2.$3^3$.5;  27 = $3^3$

+) Thừa số nguyên tố chung là: 3 với số mũ nhỏ nhất là 2 nên ƯCLN(90, 27) = 32 = 9

Do đó $\frac{90}{27}$ không là phân số tối giản.

Ta có $\frac{90}{27}=\frac{90:9}{27:9}=\frac{10}{3}$ . Ta được $\frac{10}{3}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(10, 3) = 1.

b) Ta có: 50 = 2.$5^2$ ; 125 = $5^3$

+) Thừa số nguyên tố chung là: 5 với số mũ nhỏ nhất là 2 nên ƯCLN(50, 125) = $5^2$ = 25

Do đó $\frac{50}{125}$ không là phân số tối giản

Ta có $\frac{50}{125}=\frac{50:25}{125:25}=\frac{2}{5}$ . Ta được $\frac{2}{5}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(2, 5) = 1.

a) Phân tích các số 30 và 45 ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5;      45 = 32.5

+) Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 3 và 5.

+) Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1. Khi đó:

 ƯCLN(30, 45) = 3.5 = 15. Ta được ƯC(30; 45) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Vậy ƯC(30; 45) = {1; 3; 5; 15}.

b) Phân tích các số 42 và 70 ra thừa số nguyên tố:

42 = 2.3.7;       70 = 2.5.7;

+) Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 2 và 7.

+) Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1. Khi đó:

 ƯCLN(42, 70) = 2.7 = 14. Ta được ƯC(42; 70) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

Vậy ƯC(42; 70) = {1; 2; 7; 14}.

a) Phân tích các số 40 và 70 ra thừa số nguyên tố ta được:

40 = 23.5;

70 = 2.5.7

Ta thấy 2 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của 40 và 70. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên ƯCLN(40, 70) = 2. 5 = 10

Vậy ƯCLN(40, 70) = 10.

b) Phân tích các số 55 và 77 ra thừa số nguyên tố ta được:

55 = 5. 11;

77 = 7. 11                          

Ta thấy 11 thừa số nguyên tố chung của 55 và 77. Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1 nên ƯCLN(55, 77) = 11

Vậy ƯCLN(40, 70) = 11.

a) $2^2$.5 và 2. 3. 5

Ta thấy 2 và 5 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 và số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên

ƯCLN cần tìm là 2.5 = 10.

b) $2^4$.3; $2^2.3^2$.5  và $2^4$.11

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 nên ƯCLN cần tìm là $2^2$ = 4

a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố

Ta có:

 Do đó: a = 72 = $2^3.3^2$.

Lại có:

 Vậy b = 96 = $2^5$.3.

b) Ta thấy 2 và 3 là các thừa số chung của 70 và 96. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3 và số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên

ƯCLN(72; 96) = $2^3$. 3 = 24

ƯC(a, b) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

a) Ta có:

50 = 2.$5^2$; 85 = 5.17

+) Thừa số nguyên tố chung là 5 với số mũ nhỏ nhất là 1 nên ƯCLN(50, 85) = 5.  

Do đó $\frac{50}{85}$ không là phân số tối giản.

$\frac{50}{85}=\frac{50:5}{85:5}=\frac{10}{17}$ . Ta được $\frac{10}{17}$ là phân số tối giản vì ƯCLN(10, 17) = 1.

b) Ta có:

23 = 23; 81 = $3^4$

Nên 23 và 81 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(23, 81) = 1.  

Do đó $\frac{23}{81}$ là phân số tối giản.

Có nhiều ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là hợp số, chẳng hạn ta có hai ví dụ sau:

+) 6 và 35

Vì 6 = 2.3; 35 = 5.7. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 6 chia hết cho 2 nên 6 là hợp số; 35 chia hết cho 5 nên 35 là hợp số.

+) 10 và 27

Vì 10 = 2.5; 27 = 33. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 10 chia hết cho 2 nên 10 là hợp số; 27 chia hết cho 3 nên 27 là hợp số.

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

a) ƯC(24; 30) = {1; 2; 3; 6}

b) ƯCLN(24; 30) = 6.

Nhận xét: 

- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Nếu a $⋮$ b thì ƯCLN(a, b) = b.

- Số 1 chỉ có 1 ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có: 

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

a) Vì 180 $⋮$ 18 nên ƯCLN(180, 18) = 18.

b) Ta có: ƯCLN(13, 1) = 1.

Ta có: 140 = $2^2$.5.7;  168 = $2^3$.3.7.

Các thừa số chung: 2, 7.

Vậy ƯCLN(140, 168) = $2^2$.7 = 4.7 = 28.

a) ƯCLN(12, 46) = 2.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 12 và 46, ta được:

$\frac{12}{46}=\frac{12:2}{46:2}=\frac{6}{23}$;

b) ƯCLN(35,45) = 5.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 35 và 45, ta được:

$\frac{35}{45}=\frac{35:5}{45:5}=\frac{7}{9}$;

c) ƯCLN(102, 54) = 6.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 102 và 54, ta được:

$\frac{102}{54}=\frac{102:6}{54:6}=\frac{17}{9}$

a) 132 = $2^2$.3.11;            36 = $2^2.3^2$.

b) ƯCLN(132, 36) = $2^2$.3 = 12.

ƯC(132, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Tất cả các phân số đã cho đều chưa tối giản.

a) Vì 150$⋮$50 nên ƯCLN(150, 50) = 50.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 50, ta được:

$\frac{150}{50}=\frac{150:50}{50:50}=\frac{3}{1}=3$

b) Ta có: 90 = 2.$3^2$.5; 27 = $3^3$.

ƯCLN(90,27) = $3^2$ = 9.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 9, ta được:

$\frac{90}{27}=\frac{90:9}{27:9}=\frac{10}{3}$

c) Ta có: 34 = 2.17; 255 = 3.5.17.

ƯCLN(34, 255) = 17.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 17, ta được:

$\frac{34}{255}=\frac{34:17}{255:17}=\frac{2}{15}$

d) Ta có: 88 = 23.11, 121 = ${11}^2$

ƯCLN(88, 121) = 11.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho 11, ta được:

$\frac{88}{121}=\frac{88:11}{121:11}=\frac{8}{11}$.

Đáp án A

Các phần tử chung của tập Ư(8) và Ư(20) là: 1; 2; 4.

Do đó ƯC(8; 20) = {1;2;4}.

Đáp án C

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó, không nhất thiết là chỉ có số 1. Do đó A sai.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung cuả các số đó. Do đó B sai, C đúng, D sai.

Đáp án D

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 là: 

3 – Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

1 – Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

2 – Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Thứ tự đúng là: 3 – 1 – 2.

Đáp án A

Vì 90 = 9.10 nên 90 chia hết cho 10. Do đó ƯCLN(90; 10) = 10.

Đáp án C

Phân số $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.

Đáp án C

Tập ƯC(24; 28) = {1; 2; 4}.

Mà 4 là số lớn nhất trong tập này nên ƯCLN(24, 28) = 4.

Đáp án D

Ta có ƯCLN(a, b, 1) = 1 với a, b là các số tự nhiên.

Vậy ƯCLN(72, 63, 1) = 1.

Đáp án D

Muốn tìm tập hợp ước chung chung của hai hay nhiều số tự nhiên, ta có hai cách để tìm như sau:

Cách 1. 

- Tìm ƯCLN của các số đó.

- Tìm các ước của ƯCLN đó.

- Kết luận tập hợp ƯC là tập các ước của ƯCLN.

Cách 2. 

- Liệt kê tập hợp ước của các số.

- Tìm các phần tử chung của các tập hợp đó.

- Tập hợp ƯC là tập các phần tử chung đó.

Vậy cả A và B đều đúng.

Đáp án C

Nếu 9 là số lớn nhất sao cho $\mathrm{a}⋮9$ và $\mathrm{b}⋮9$ thì 9 là ước chung lớn nhất của a và b.

Đáp án B

Nếu $\mathrm{a}⋮7$  và $\mathrm{b}⋮7$ thì 7 là ước chung của a và b.

Đáp án D

Ta có: 36 = 22.32; 84 = 22.3.7.

Tích các nhân tử chung với số mũ nhỏ nhất là: 22.3.

 ƯCLN(36, 84) = 22.3 = 12.

Đáp án C

Ta có: 114 = $2^2.29$; 36 = $2^2.3^2$.

ƯCLN(114, 36) = $2^2$ = 4.

Khi đó: $\frac{116}{36}=\frac{116:4}{36:4}=\frac{29}{9}$

Đáp án C

Lần lượt chia 15 cho các số tự nhiên từ 1 đến 15 ta thấy 15 chia hết cho các số 1; 3; 5 và 15.

Suy ra Ư(15) = {1; 3; 5;15}.

Ta có: ƯC(15, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

Đáp án B

Ta có: 56 = 23.7; 140 = 22.5.7; 168 = 23.3.7.

Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là: 22.7.

Vậy ƯCLN(56, 140, 168) = 22.7 = 28.

Đáp án D

Ta có: 

+) Xét phân số: $\frac{12}{144}$ 

Ta có 12 = $2^2$.3; 144 = $2^4.3^2$ nên Ư CLN(12, 144) = $2^2$.3 = 12 nên phân số này không tối giản.

+) Xét phân số: $\frac{97}{27}$ 

Vì 97 là số nguyên tố, 27 = $3^3$ nên ƯCLN(97, 27) = 1.

Do đó phân số này tối giản.

+) Xét phân số: $\frac{6}{13}$ 

Ta có 6 = 2.3; 13 = 13 (do 13 là số nguyên tố) nên ƯCLN(6, 13) = 1.

Do đó đây là phân số tối giản.

+) Xét phân số: $\frac{23}{81}$ 

Ta có: 23 = 23; 81 = $3^4$ nên ƯCLN(23, 81) = 1.

Do đó đây là phân số tối giản.

+) Xét phân số $\frac{256}{32}$ 

Ta có 256 = $2^8$; 32 = $2^5$ nên Ư CLN(256, 32) = $2^5$ = 32.

Do đó đây không phải phân số tối giản.

Vậy có 3 phân số tối giản trong dãy phân số đã cho.

Đáp án C

Ta có $48⋮\mathrm{a}$; $72⋮\mathrm{a}$ nên a là ước chung của 48 và 72

Mà a lớn nhất nên a chính là ƯCLN(48, 72) 

Ta có 48 = $2^4$.3; 72 = $2^3.3^2$.

ƯCLN(48, 72) = $2^3$.3 = 24.

Vậy a = 24.

Đáp án D

+) Ta có 35 = 5.7, 21 = 3.7 

Nên ƯCLN(35, 21) = 7. Do đó A đúng.

+) Ta có 72 = 23.32; 90 = 2.32.5.

ƯCLN(72, 90) = 2.32 = 18. Do đó B đúng.

Suy ra C đúng.

Vậy D sai.

Đáp án D

Số bút chì trong mỗi hộp là như nhau nên số bút trong mỗi hộp chính là ước chung của 25 và 20.

Ta có 25 = 52; 20 = 22.5

Khi đó ƯCLN(25, 20) = 5.

ƯC(25, 20) = Ư(5) = {1;5}.

Mà mỗi hộp đều có từ hai chiếc bút trở lên nên số bút trong mỗi hộp là 5.

Đáp án A

Các số tự nhiên có ƯCLN là 17 nên các số đó là bội của 17.

Muốn tìm bội của 17, ta nhân lần lượt 17 với các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …

B(17) = {0; 17; 34; 51; 68; …}.

Mà các số tự nhiên cần tìm khác 0 và không vượt quá 60 nên các số đó là: 17; 34 và 51.

Đáp án B

+) Lấy 10 chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 10 ta thấy 10 chia hết cho 1; 2; 5; 10.

Các ước của 10 không kể chính nó là: 1; 2 và 5.

Ta có: 1 + 2 + 5 = 8 (khác 10).

Vậy 10 không phải là số hoàn hảo.

+) Lấy 28 chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 28 ta thấy 28 chia hết cho 1; 2; 4; 7; 14; 28.

Các ước của 28 không kể chính nó là: 1; 2; 4; 7; 14.

Ta có: 1 + 2 + 4 + 7 + 14  = 28.

Vậy 28 là số hoàn hảo.

+) Lấy 49 chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta thấy 49 chia hết cho 1; 7; 49.

Các ước của 49 không kể chính nó là: 1; 7.

Ta có 1 + 7 = 8 (khác 49) 

Vậy 49 không phải số hoàn hảo.