Bài tập Tổ Hợp - Xác Suất cơ bản nâng cao có lời giải chi tiết (P1)
-
3129 lượt thi
-
25 câu hỏi
-
40 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:
Đáp án C
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân
Để chọn được nhóm có một bạn nam và một bạn nữ ta làm như sau:
Khi đó, số cách chọn hai bạn sao cho có một bạn nam và một bạn nữ là:
Câu 2:
Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình có nghiệm bằng
Đáp án B
Phương pháp:
Phương trình có nghiệm
Gọi A là biến cố:
"Phương trình có nghiệm"
Câu 3:
Một tổ có 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Giáo viên cần chọn ngẫu nhiên hai bạn hát song ca. Tính xác suất P để hai học sinh được chọn là một cặp song ca nam nữ.
Đáp án B
Câu 4:
Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
Đáp án B
Câu 6:
Thầy Tuấn có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Toán , 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phầnt hưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại thầy Tuấn còn đủ 3 môn
Đáp án B
Gọi biến cố A: “Số cuốn sách còn lại của thầy Tuấn có đủ cả ba môn”.
Khi đó ta có biến cố: : “Số cuốn sách còn lại của thầy Tuấn không có đủ cả 3 môn”.
Câu 7:
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức ta có hệ số của số hạng chứa bằng 792. Giá trị của m là:
Đáp án A
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có , các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A
Phương pháp:
+) Chứng minh hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
+) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S, tính AC.
+) Tính BD.
+) Sử dụng công thức tính thể tích
Cách giải:
Vì SA = SB = SD = a nên hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Do tam giác ABD cân tại A
Dễ dàng chứng minh được:
vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có
Ta có
Dấu “=” xảy ra
Câu 9:
Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?
Đáp án A
Do đó ta có cặp 2 tập hợp không giao nhau (chứa cả cặp tập hợp rỗng).
Số cách chọn tập là cách chọn.
Số cách chọn tập là cách chọn.
số cặp 2 tập hợp khác rỗng không giao nhau thực sự là
Do (X;Y) và (Y;X) là trùng nhau nên số cặp 2 tập hợp không giao nhau thực sự là
Câu 10:
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của .
Đáp án C
Phương pháp:
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
Cách giải
Ta có :
Để có số hạng không chứa x trong khai triển thì:
Vậy hệ số cần tìm là
Câu 11:
Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được tính từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta : “Con hãy hô câu thần chú Xác suất, xác suất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà”. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài là 2 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để có dố đoạn 3 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn gần với giá trị nào trong các giá trị dưới đây ?
Đáp án D
Phương pháp
+) Gọi số đoạn có chiều dài 2 đốt là x và số đoạn có chiều dài 5 đốt là y, lập hệ phương trình giải tìm x, y trong trường hợp , suy ra kết quả thuận lợi cho biến cố “số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn”.
+) Tính số bộ số (x;y) thoả mãn 2x + 5y = 100 2x + 5y =10 , suy ra số phần tử của không gian mẫu.
+) Tính xác suất của biến cố.
Cách giải
Gọi số đoạn có chiều dài 2 đốt là x và số đoạn có chiều dài 5 đốt là y, ta có hệ phương trình
Gọi A là biến cố số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đoạn” .
Xét các bộ số (x,y) thoả mãn 2x + 5y =100 ta có bảng sau:
Câu 12:
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức (với ) là:
Đáp án C
Phương pháp
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức:
Câu 13:
Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên:
Đáp án A
Phương pháp
Sử dụng quy tắc nhân và tổ hợp
Cách giải:
Chọn 1 kĩ sư là tổ trưởng trong 3 kĩ sư nên ta có 3 cách chọn
Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân nên có 7 cách chọn
Chọn 3 công nhân trong 6 công nhân còn lại làm tổ viên nên có cách chọn
Như vậy có: 3.7. = 420 cách chọn theo yêu cầu bài toán
Câu 14:
Cho tập . Lập từ x số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là:
Đáp án D
Do X có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên A chia hết cho 9, lại có (9;11) = 1 nên A chia hết cho 9999.
Ta có:
Có 8 cách chọn . Với mỗi sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho
Có 8 cách chọn . Với mỗi sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho
Có 8 cách chọn . Với mỗi sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho
Có 8 cách chọn . Với mỗi sẽ cho 1 cách chọn cho duy nhất cho
Câu 15:
Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có An và Bình, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để An và Bình đứng cạnh nhau là
Đáp án C
Xếp ngẫu nhiên học sinh thành một hàng có 10!
Gọi biến cố A : “Xếp học sinh thành một hàng sao cho An và Bình đứng cạnh nhau”.
Xem An và Bình là nhóm X .
Xếp X và học sinh còn lại có 9! cách.
Hoán vị An và Bình trong X có 2! cách.
Câu 16:
Cho tập hợp . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu bằng
Đáp án B
Khi đó
- Số cách chọn chữ số có 5 cách chọn vì .
- Số cách chọn chữ số có 5 cách chọn vì .
- Số cách chọn chữ số có cách chọn vì và .
Do đó tập có 5.5.4 = 100 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên1 số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố "Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu". Khi đó ta có các bộ số là hoặc thỏa mãn biến cố và cứ mỗi bộ thì có 4 cách chọn nên có tất cả số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Câu 17:
Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì có địa chỉ khác nhau. Gọi A là biến cố “có ít nhất một lá thư đến đúng người nhận”, khi đó bằng
Đáp án D
Câu 18:
Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.
Đáp án C
Câu 19:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
Đáp án C
Lời giải :
+ Mỗi số có 2 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số là chỉnh hợp chập 2 của 5
Câu 20:
Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Đáp án A
Giải.
Số cách lập là 4.3.2.1 = 24.
Câu 21:
Gọi là đa giác đều 4n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm và X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập X. Biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông thuộc tập X là . Giá trị của n là
Đáp án C
Gọi là biến cố: “Chọn được tam giác vuông”
Đa giác đều 4n đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm có 2n đường chéo qua tâm .
Mỗi tam giác vuông tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm và một đỉnh trong đỉnh còn lại.
Suy ra số tam giác vuông được tạo thành là
Câu 22:
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.
Đáp án A
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi ”.
Thì biến cố là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi ”
Buộc các số lại thì ta còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số đứng đầu là 1.2.1 = 2 cách