IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Vecto trong không gian - Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Vecto trong không gian - Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Chủ đề 1: Vectơ trong không gian

  • 294 lượt thi

  • 48 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABCD. Chứng minh rằng AC+BD=AD+BC=2MN

Xem đáp án
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng vectơ AC (ảnh 1)

Ta có AC+BD=AD+BC

ACAD=BCBD

DC=DC(đẳng thức này đúng).

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh ABCD

nên AM+BM=0NC+ND=0

Do đó AD+BC=AM+MN+NB+BM+MN+ND

=AM+BM+NB+ND+2MN=2MN

Vậy AC+BD=AD+BC=2MN


Câu 3:

Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC .

Xem đáp án

Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các vectơ luôn có độ dài bằng độ dài của vectơ BC là BC,CB,AD,DA,A'D',D'A',B'C',C'B'


Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh SA+SC=SB+SD

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.  a) Chứng minh vectơ SA + vectơ SC (ảnh 1)

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là trung điểm của mỗi đường chéo AC BD.

Do đó SA+SC=2SO  và SB+SD=2SO

Vậy SA+SC=SB+SD


Câu 5:

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA2+SC2=SB2+SD2
Xem đáp án

b) Ta có SA2=SO+OA2=SO2+OA2+2SO.OA ,

SC2=SO+OC2=SO2+OC2+2SO.OC

Suy ra SA2+SC2=2SO2+OA2+OC2+2SOOA+OC

=2SO2+OA2(vì OA  OC  là hai vectơ đối nhau nên OA+OC=0)

=2SO2+OA2

Tương tự SB2+SD2=2SO2+OB2

ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB

Suy ra SA2+SC2=SB2+SD2


Câu 6:

Cho tứ diện ABCD. Gọi MN lần lượt là các điểm trên các cạnh ADBC sao cho AM=2MD,BC=3NC . Chứng minh ba vectơ AB,CD,MN  đồng phẳng.

Xem đáp án
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM = 2MD (ảnh 1)

Ta có MN=MA+AB+BN2MN=2MD+DC+CN

Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN=MA+2MD+BN+2CN+AB+2DC

Do MA+2MD=0, BN+2CN=0 nên MN=13AB23CD

Vậy AB,CD,MN đồng phẳng.


Câu 7:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' AA'=a,AB=b,AC=c . Hãy phân tích các vectơ B'C,BC'  qua các vectơ a,b,c.

Xem đáp án
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có vectơ AA' = vectơ a, vectơ AB = vectơ b, vectơ AC = vectơ c. Hãy (ảnh 1)

Ta có B'C=B'B+BC=AA'+ACAB=ab+c

BC'=BC+CC'=ACAB+AA'=ab+c


Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm MN sao cho MS=2MANC=2NB. Chứng minh rằng ba vectơAB,MN,SC đồng phẳng.

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho vectơ MS = -2 vectơ MA và vectơ NC = -2 vectơ NB (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có MS+2MA=0;CN+2BN=0

Lại có MN=MS+SC+CN2MN=2MA+AB+BN

Cộng vế theo vế ta được 3MN=MS+2MA+CN+2BN+SC+2AB=SC+2AB

Vậy AB,MN,SC  đồng phẳng.


Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC' , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3 .

Xem đáp án

Từ giả thiết ta suy ra SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC'

Gọi G là trọng tâm của tam giác ΔABC. Ta có SA+SB+SC=3SG

GA'B'C'SG=x.SA'+y.SB'+z.SC' với x+y+z=1

3SG=3x.SA'+3y.SB'+3z.SC' với x+y+z=1

a.SA'+b.SB'+c.SC'=3x.SA'+3y.SB'+3z.SC'

a3x.SA'+b3y.SB'+c3z.SC'=0

a3x=b3y=c3z=0 (do SA',SB',SC'  không đồng phẳng)

+) Nếu GA'B'C'  ta có a3x=b3y=c3z=0  (với x+y+z=1 ).

Do đó a+b+c=3

+) Nếu a+b+c=3 , ta đặt x=a3,y=b3,z=c3  thì

x+y+z=a+b+c3=1 và a3x=b3y=c3z=0

Do đó GA'B'C'


Câu 10:

Cho tứ diện ABCD, MN là các điểm lần lượt thuộc ABCD sao cho MA=2MB,ND=2NC ; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD,MN,BC  sao cho IA=k.ID,JM=k.JN,KB=k.KC . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Xem đáp án
Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho vectơ MA = -2 vectơ MB (ảnh 1)

Ta có MA=2MB  nên với điểm O bất kỳ thì OM=OA+2OB3

Tương tự, ta chỉ ra được

ON=OD+2.OC3,OI=OAk.OD1k,OK=OBk.OC1k,OJ=OMk.ON1k

Ta có OJ=11k.13OA+2OBk.OD2k.OC

=11k.131kOI+21kOK

=13OI+2OK=13OI+23OK

Suy ra 13OIOJ+23OKOJ=013JI+23JK=0IJ=2JK

Suy ra I, J, K thẳng hàng.


Câu 11:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA',CB'D' . Chứng minh các điểm A,G,G',C'  thẳng hàng.

Xem đáp án
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA', CB'D'. Chứng (ảnh 1)

Đặt AB=a,AD=b,AA'=c

Ta có AC'=a+b+c  (quy tắc hình hộp).

Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG=13AB+AD+AA'=13a+b+c

AG'=13AC+AB'+AD'=13a+b+a+c+b+c=23a+b+c

Vậy AC'=3AG=32AG'  nên các điểm A,G,G',C'  thẳng hàng.


Câu 12:

Cho bốn vectơ a,b,c,d bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Với ABC là tam giác đều ta có AB=AC  nhưng ABAC  AB-AC  nên B sai.


Câu 14:

Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn S=12AB2.AC22kAB.AC2 ?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

S=12AB.AC.sinA=12.AB2.AC2sin2A=12AB2.AC21cos2A

=12AB2.AC2AB2.AC2cos2A=12AB2.AC2AB.AC2

Vậy k=12


Câu 15:

Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án D

A sai vì AB+CD=AC+DBCA+AB+BD=DCCD=DC(sai)

B sai vì AB+BD=AB+CDACAB=CD+DBBC=CB(sai)

C sai vì AD+BC=AB+DCADAB=DC+CBBD=DB(sai)

D đúng vì BA+CD=BD+CABABD=DC+CADA=DA  (đúng)


Câu 16:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có AB=3ACBA=3CABA=3CA3CA . Từ đó phương án A sai.

Ta có AB=3ACCBCA=3CACB=4CA2AC . Từ đó phương án B sai.

Ta có AB=2AC+5ADAB,AC,AD  đồng phẳng A,B,C,D  đồng phẳng (C đúng).

Phương án D sai vì nếu B là trung điểm của đoạn thẳng AC thì AB=BC  mà BC12BC .


Câu 17:

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
Xem đáp án

Chọn đáp án A

+) SB+SD=SA+SCSBSA=SCSDAB=DCABCD  là hình bình hành (A đúng).

+) AB=CD  ta phải suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành chứ không phải ABCD (B sai).

+) C sai vì AB+BC+CD+DA=0  đúng với mọi vị trí của A, B, C, D .

+) D sai vì với AB+AC=AD  thì AD là đường chéo của hình bình hành ABCD.


Câu 18:

Cho a=3,b=5 , góc giữa a  b  bằng 1200. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: a+b2=a2+b2+2a.b.cosa,b=32+52+2.3.5.cos120°=19

Suy ra a+b=19


Câu 19:

Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có O là trọng tâm tam giác ΔBCD  nên BO+CO+DO=0  (1)

Ta có: AO=AB+BO;AO=AC+CO;AO=AD+DO

Từ (1) suy ra 3AO=AB+AC+ADAO=13AB+AC+AD=13AB+13AC+13AD

Suy ra OA=13AB13AC13AD  (2)

AM=12AD  (3)

Từ (2) và (3) suy ra OM=OA+AM=13AB13AC13AD+12AD=13AB13AC+16AD


Câu 20:

Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

C sai vì chỉ cần ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.


Câu 21:

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

A, B sai vì OM=OBMB  và O,M,B,A  thẳng hàng mà O là điểm bất kì.

C đúng vì OM=kOA+1kOBOMOB=kOAOBBM=k.BA

D sai vì OM=OA+OBOAMB  là hình bình hành. Khi đó MAB .


Câu 22:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị AB.C'A'  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có: AB=A'B'AB.C'A'=A'B'.A'C'=a22cosπ4=a2


Câu 23:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án D

A sai khi a,b  có giá cùng nằm trong (P), còn c có giá song song với (P)

B sai với ba vectơ a,0,c ta có 0=0.a+0.c thì a,0,c đồng phẳng nhưng c=m.a+n.0 chỉ đúng khi a và c cùng phương với nhau.

C sai vì với 3 vectơ d,a,b khác 0 đồng phẳng với nhau ta có d=ma+nb.

Khi đó d=(m1)a+nb+a

Đặt c=a thì d=(m1)a+nb+c nhưng a,b,c lại đồng phẳng với nhau.

Vậy cả ba khẳng định trên đều sai.


Câu 24:

Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Phương án D sai do đẳng thức AB+BC+CD+DA=0  luôn đúng với vị trí bất kì trong không gian của bốn điểm A,B,C,D  nên không đủ điều kiện để khẳng định A,B,C,D  đồng phẳng.


Câu 25:

Cho tứ diện SABC. Đặt SA=a,SB=b,SC=c . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho NC=3NB . Phân tích vectơ MN  theo ba vectơ a,b  c  ta được
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: AC2=AC2=BCBA2=BC22BA.BC+BA2BA.BC=12BA2+BC2AC2


Câu 26:

Cho tứ diện ABCD. Đặt AB=a,AC=b,AD=c. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND=2NC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO  theo ba vectơ a, b c  ta có
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD. Đặt vectơ AB = vectơ A, vectơ AC = vectơ b, vectơ AD = vectơ c. Gọi M là trung (ảnh 1)

Ta có AO=12AM+AN , trong đó AM=12a ;

AN=AC+CN=AC+13CD=AC+13ADAC=23b+13c

Vậy AO=1212a+23b+13c=14a+13b+16c

Câu 27:

Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P=MA2+MB2+MC2  đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Gọi G là trọng tâm ΔABC thì G cố định và GA+GB+GC=0

Ta cos: P=MG+GA2+MG+GB2+MG+GC2

=3MG2+2MG.GA+GB+GC+GA2+GB2+GC2

=3MG2+GA2+GB2+GC2GA2+GB2+GC2

Dấu “=” xảy ra MG

Vậy Pmin=GA2+GB2+GC2  với MG  là trọng tâm tam giác ABC.


Câu 28:

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng? A. AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2 = 4*(GA^2 + GB^2 (ảnh 1)

Ta có AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2

=AG+GB2+AG+GC2+AG+GD2+BG+GC2+BG+GD2+CG+GD2

=3AG2+3BG2+3CG2+3DG2+2AG.GB+AG.GC+AG.GD+BG.GD+BG.GD+CG.GD(1)

Mà GA+GB+GC+GD=0GA+GB+GC+GD2=0

GA2+GB2+GC2+GD2

=2AG.GB+AG.GC+AG.GD+BG.GD+BG.GD+CG.GD(2)

Từ (1) và (2) ta có AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=4GA2+GB2+GC2+GD2


Câu 29:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a=AA',b=AB,c=AC

Xét hai mệnh đề

(I) B'C=ab+c                     (II) BC'=abc

Mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt vectơ a = vectơ AA', vectơ b = vectơ AB, vectơ c = vectơ AC Xét hai mệnh đề (ảnh 1)

(I) Đúng vì B'C=B'B+BC=AA'+ACAB

=AA'AB+AC=ab+c

(II)  Sai vì BC'=BB'+B'C'=AA'+BC=AA'+ACAB

=AA'AB+AC=ab+c


Câu 30:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a=AA',b=AB,c=AC . Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ AG  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt vectơ a = vectơ AA', vectơ b = vectơ AB. vectơ c = vectơ AC. Gọi G' là (ảnh 1)

Ta có: AG=AA'+A'G=AA'+23A'I

=AA'+13A'B'+A'C'

AG=AA'+13AB+AC=133AA'+AB+AC

=133a+b+c


Câu 31:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết MA'=k.MC,NC'=l.ND . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Đặt AB=a,AD=b,AA'=c

Từ MA'=k.MC , ta có AA'AM=kACAM

AM=AA'kAC1k=ka+b+c1k

Từ NC'=l.ND , ta có AC'AN=l.ADAN

AN=AC'l.AD1l=a+b+clb1l

Suy ra MN=AMAN

=ka+b+c1ka+b+clb1l=k1k11la+k1k1.b+11k11lc

Mặt khác BD'=AD'AB=a+b+c

Để MN//BD'  thì MN//BD'  nên

k1k+11l=k1k1k1k1=11k11l2k1k+11l=1k+11k11l=13k+11k=2k=3

Từ đó ta có: 11l=12l=1 . Vậy k+l=4

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng aABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS.CB  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi (ảnh 1)

Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S.ABCD là hình chóp đều.

Suy ra OC;OS;OD đôi một vuông góc.

Do M là trung điểm của CD nên ta có:

MS=OSOM=12OC12OD+OS

CB=OBOC=ODOC

Do OC;OS;OD đôi một vuông góc với nhau nên

MS.CB=12OC2+12OD2=OC2=a22


Câu 33:

Cho hình chóp S.ABC SA=a,SB=b,SC=c  và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ//CM . Biểu diễn vectơ PQ  theo ba vectơ a,b,c  được kết quả
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có vectơ SA = vectơ a, vectơ SB = vectơ b, vectơ SC = vectơ c và các điểm M, N (ảnh 1)

Đặt PA=xSA;BQ=yBN

Suy ra: PQ=PA+AB+BQ

=xSA+SBSA+yBN

=x1SA+SB+ySNSB

=x1SA+1ySB+y2SC

=x1a+1yb+y2c (*)

Lại có CM=SMSC=12SA+SBSC=12a+12bc

Để PQ//CM thì PQ=kCM hay

x112=1y12=y21x=2y1y=y4x=23y=43

Thay vào (*) ta được PQ=13a13b+23c


Câu 34:

Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án C

C sai vì khi AB//MNP  ta vẫn có AB,MN,NP  đồng phẳng nhưng ABMNP  hay giá của AB  không nằm trong MNP .


Câu 35:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG2  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG^2 bằng (ảnh 1)
AG=13AA'+AB+AC=13AA'+AB+AB+AD

Suy ra AG2=AG2=19AA'2+4AB2+AD2

=19a2+4a2+a2=23a2


Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề

(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA+SB+SC+SD=4SO .

(II). Nếu SA+SB+SC+SD=4SO  thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề  (I). Nếu ABCD là hình\ (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Do O là giao điểm của AC và BD nên

SA+SB+SC+SD=4SO

OS+SA+OS+SC+OS+SB+OS+SD=0

OA+OC+OB+OD=0

2OM+2ON=0OM=ONOMN

ABCD là hình bình hành.

Vậy mệnh đề (I) và (II) đều đúng.

Bình luận: Để chứng minh mệnh đề (I) và (II) đúng, ta áp dụng: Cho Aa,Bb và O=ab.

Khi đó OA=OBOAB.

Chứng minh: Nếu A không trùng O thì B không trùng O (do OA=OB) OAa và OBb

Nhưng OA=OBO,A,B thẳng hàng abab=a (trái với giả thiết O=ab)


Câu 37:

Cho tứ diện S.ABCSA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a2 . Tích vô hướng giữa SC.AB  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a căn bậc 2 2. Tích vô hướng giữa vectơ SC. vectơ AB (ảnh 1)

Từ giả thiết suy ra ΔSBC vuông cân tại S; ΔSAC là tam giác đều.

Có SC.AB=SC.SBSA=SC.SBSC.SA

=SC.SA.cosASC^=a.a.cos60°=a22

Vậy SC.AB=a2.12=a22


Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề

(I)                Nếu ABCD là hình bình hành thì SA+SC=SB+SD .

(II)              Nếu SA+SC=SB+SD  thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Ta có: SA+SC=SB+SD2SM=2SNSM=SNMNABCD  là hình bình hành.


Câu 39:

Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. xét các vectơ x=2a+b,y=abc,z=3b2c . Chọn khẳng định đúng?
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có y=12x+z  nên ba vectơ x,y,z  đồng phẳng.


Câu 40:

Cho ba vectơ a,b,c  không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Khẳng định B sai.

Các vectơ x,y,z đồng phẳng m,n:x=my+nz

Ta có x=my+nz

a2b+4c=m3a3b+2c+n2a3b3c3m+2n=13m3n=22m3n=4(hệ vô nghiệm).

Vậy không tồn tại hai số m,n:x=my+nz


Câu 41:

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB.EG bằng

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?  Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. (ảnh 1)

Ta có AB.EG=ABEF+EH=AB.EF+AB.EH

Do ABEH nên AB.EH=0

Suy ra AB.EG=AB.EF=AB2=a2


Câu 42:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai? A. |vectơ AC'| (ảnh 1)

+) A đúng vì AC'2=AB+AD+AA'2

=AB2+AD2+AA'2do  AB.AD=AD.AA'=AA'.AB=0

=3a2

Suy ra AC'=a3

+) B đúng vì AD'.AB'=AA'+A'D'AA'+A'B'=AA'2=a2

do   AA'.A'D'=AA'.A'B'=A'B'.A'D'=0

+) C đúng vì AB'.CD'=DC'.CD'=0do   DC'CD'

+) D sai vì 2AB+B'C'+CD+D'A'=2AB+BC+CD+DA0


Câu 43:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho MB'=kMC'. Tìm k để bốn điểm A,I,M,K  đồng phẳng.
Xem đáp án

Chọn đáp án C

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh (ảnh 1)

Đặt AA'=a,AB=b,AC=c

Ta có AI=12AB+AB'=12AB+AB+AA'=12a+b

AK=12AA'+AC'=12AA'+AA'+AC=a+12c

Do MB'=kMC' nên AB'AM=kAC'AM

k1AM=kAC'AB'=ka+ca+b=k1ab+kc

Vì bốn điểm A,M,I,K đồng phẳng nên AM,AI,AK đồng phẳng, do đó

k1AM=xAIyAK

k1ab+kc=x12a+b+ya+12c

k1=12x+y1=xk=y2x=1y=1k=12

Vậy k=12


Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SMSO  sao cho biểu thức P=MS2+MA2+MB2+MC2+MD2  nhỏ nhất bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SM/SO (ảnh 1)

Gọi I là điểm thỏa mãn SI=4IO

P=MI+IS2+MI+IA2+MI+IB2+MI+IC2+MI+ID2

=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2+2MIIS+IA+IB+IC+ID

=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2+2MIIS+4IO+OA+OB+OC+OD

=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2do  SI=4IO;OA+OB+OC+OD=0

Vậy PminMISMSO=45


Câu 45:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB=2a,CD=2b,EF=2c. Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2+MB2  bằng
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB = 2a, CD = 2b, EF = 2c. Với M là một (ảnh 1)

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:

ME2=MA2+MB22AB24MA2+MB2=2ME2+AB22

=2ME2+2a2


Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS=2MA;NB=kNC. Tìm k để ba vectơ AB,MN,SC  đồng phẳng.
Xem đáp án

Chọn đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn vectơ MS = -2vectơ MA, vectơ NB = kvectơ NC  (ảnh 1)

Đặt SA=a,SB=b,SC=c, ta có:

AB=SBSA=ba

MS=2MASM=2SASMSM=23SA=23a

NB=kNCSBSN=kSCSN

k1SN=kSCSB=kcb

k1MN=k1SNSM=kcb2k13a

Để ba vectơ AB,MN,SC đồng phẳng ta có

k1MN=xAB+ySC

kcb2k13a=xba+yc

x=2k13x=1y=kx=1k=12y=13k=12

Vậy k=12


Câu 47:

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BDAC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số AQAD .
Xem đáp án

Chọn đáp án B

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC = 4BM (ảnh 1)

Đặt AB=a,AC=b,AD=c

Theo bài ra ta có AM=34a+14b;AN=12a+c;AP=13b

Đặt AQ=kAD=kc

Ta có MN=ANAM=14a14b+12cMP=APAM=34a+112bMQ=AQAM=34a14b+kc

M,N,P,Q đồng phẳng nên xMN+yMP=MQ

x14a14b+12c+y34a+112b=34a14b+kc

14x+34ya14x112yb+12xc=34a14b+kc

14x+34y=3414x112y=1412x=kx=65y=35k=35

Vậy AQ=35ADAQAD=35


Câu 48:

Trong không gian xét m,n,p,q là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức S=mn2+mp2+mq2+np2+nq2+pq2 
Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có 0m+n+p+q2=4+2m.n+m.p+m.q+n.p+n.q+p.q

Suy ra m.n+m.p+m.q+n.p+n.q+p.q2

S=mn2+mp2+mq2+np2+nq2+pq2

=122m.n+m.p+m.q+n.p+n.q+p.qdo   m=n=p=q=1

Vậy mn2+mp2+mq2+np2+nq2+pq2122.2=16

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi m=n=1;0;0 và p=q=1;0;0.


Bắt đầu thi ngay