12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Câu 1:

Trong khai triển nhị thức ${(a + 2)}^{n + 6}, (n \in ℕ)$ . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A. 17

B. 11

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Trong khai triển ${(a + 2)}^{n + 6}, (n \in ℕ)$ có tất cả n+6 +1 = n +7 số hạng.

Do đó $n + 7 = 17 \Leftrightarrow n = 10$ .

Chọn đáp án C

Câu 2:

Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển ${(2 x - x^{2})}^{10} .$

A. $C_{10}^{8} .$

B. $C_{10}^{2} 2^{8} .$

C. $C_{10}^{2} .$

D. $- C_{10}^{2} 2^{8} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\begin{array}{l} {(2 x - x^{2})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2 x)}^{10 - k} . {(- x^{2})}^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2)}^{10 - k} . {(- 1)}^{k} . x^{10 - k + 2 k} \\ = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2)}^{10 - k} . {(- 1)}^{k} . x^{10 + k} . \end{array}$

Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10 + k = 12 \Leftrightarrow k = 2$

Hệ số cần tìm $C_{10}^{2} 2^{8} .$

Chọn đáp án B

Câu 3:

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} .$

A. $- \frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

B. $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

C. $- C_{9}^{3} x^{3} .$

D. $C_{9}^{3} x^{3} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . x^{9 - k} . {(\frac{1}{2 x})}^{k} = \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . {(\frac{1}{2})}^{k} . x^{9 - 2 k} .$

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $9 - 2 k = 3 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3} .$

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21} .$

A. $C_{21}^{10} x^{40} y^{10} .$

B. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10} .$

C. $C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

D. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}; C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

Xem đáp án

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${(x^{3} + x y)}^{21} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . {(x^{3})}^{21 - k} . {(x y)}^{k} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 - 3 k} . x^{k} . y^{k} = \sum_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 - 2 k} . y^{k} .$

Suy ra khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}; C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$ .

Chọn đáp án D.

Câu 5:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} .$

A. 80

B. 3240

C. 3320

D. 259200

Xem đáp án

* Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$x {(1 - 2 x)}^{5} = x . \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . 1^{5 - k} {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{k} . x^{k + 1} .$

Suy ra, số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $k + 1 = 5 \Leftrightarrow k = 4$ .

* Tương tự, ta có $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} = x^{2} . \sum_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} . 1^{10 - l} . {(3 x)}^{l} = \sum_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} {.3}^{l} . x^{l + 2}$ .

Suy ra, số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $l + 2 = 5 \Leftrightarrow l = 3$ .

Vậy hệ số của $x^{5}$ cần tìm P(x) là $C_{5}^{4} . {(- 2)}^{4} + C_{10}^{3} {.3}^{3} = 3320$ .

Chọn đáp án C.

Câu 6:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$

A.n= 8

B.n = 9

C.n =10

D. n =11

Xem đáp án

Ta có $2^{2 n + 1} = {(1 + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (1)

Lại có $C_{2 n + 1}^{0} = C_{2 n + 1}^{2 n + 1}; C_{2 n + 1}^{1} = C_{2 n + 1}^{2 n}; C_{2 n + 1}^{2} = C_{2 n + 1}^{2 n - 1}; . . .; C_{2 n + 1}^{n} = C_{2 n + 1}^{n + 1}$ . (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2} - C_{2 n + 1}^{0}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow 2^{20} - 1 = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow n = 10$ .

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển : $P (x) = (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + ... + 8 {(1 + x)}^{8} .$

A. 630

B. 635

C. 636

D.637

Xem đáp án

Các biểu thức $(1 + x), {(1 + x)}^{2}, \dots, {(1 + x)}^{4}$ không chứa số hạng chứa $x^{5}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $5 {(1 + x)}^{5}$ là $5 C_{5}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $6 {(1 + x)}^{6}$ là $6 C_{6}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $7 {(1 + x)}^{7}$ là $7 C_{7}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $8 {(1 + x)}^{8}$ là $8 C_{8}^{5} .$

Vậy hệ số của $x^{5}$ trong khai triển P(x) là $5 C_{5}^{5} + 6 C_{6}^{5} + 7 C_{7}^{5} + 8 C_{8}^{5} = 636$ .

Chọn đáp án C.

Câu 8:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024$

A.n =5

B.n =9

C.n =10

D.n= 4

Xem đáp án

Xét khai triển ${(x + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} x^{2 n + 1} + C_{2 n + 1}^{1} x^{2 n} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ .

Cho x =1 , ta được $2^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ .(1)

Cho x= -1, ta được $0 = - C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} - ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

$\begin{array}{l} 2^{2 n + 1} = 2 (C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}) \\ \Leftrightarrow 2^{2 n + 1} = 2.1024 = 2^{11} \\ \Leftrightarrow 2 n + 1 = 11 \Leftrightarrow n = 5 \end{array}$ .

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + ... + 2^{n} C_{n}^{n} = 243$

A. 5

B. 11

C. 12

D. 4

Xem đáp án

Xét khai triển: ${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + x C_{n}^{1} + x^{2} C_{n}^{2} + ... + x^{n} C_{n}^{n}$

Cho x= 2 ta có: $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + ... + 2^{n} C_{n}^{n} = 3^{n}$

Do vậy ta suy ra $3^{n} = 243 = 3^{5} \Rightarrow n = 5$ .

Chọn đáp án A

Câu 10:

Tính $S = C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010}$

A. $\frac{3^{2011} + 1}{2}$

B. $\frac{3^{2012} - 1}{2}$

C. $3^{2011} - 1$

D. $\frac{3^{2011} - 1}{2}$

Xem đáp án

* Xét khai triển:

${(1 + x)}^{2011} = C_{2011}^{0} + x C_{2011}^{1} + x^{2} C_{2011}^{2} + ... + x^{2010} C_{2011}^{2010} + x^{2011} C_{2011}^{2011}$

* Cho x= 2 ta có được:

$3^{2011} = C_{2011}^{0} + 2. C_{2011}^{1} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} + 2^{2011} C_{2011}^{2011}$ (1)

* Cho x= -2 ta có được:

$- 1 = C_{2011}^{0} - 2. C_{2011}^{1} + 2^{2} C_{2011}^{2} - ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} - 2^{2011} C_{2011}^{2011}$ (2)

* Lấy (1) + (2) ta có:

$2 (C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010}) = 3^{2011} - 1$

Suy ra: $S = C_{2011}^{0} + 2^{2} C_{2011}^{2} + ... + 2^{2010} C_{2011}^{2010} = \frac{3^{2011} - 1}{2}$ .

Chọn đáp án D

Câu 11:

Cho khai triển $(1 + a x) {(1 - 3 x)}^{6}$ , biết hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là 405

Tìm a

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$(1 + a x) . {(1 - 3 x)}^{6} = {(1 - 3 x)}^{6} + a x . {(1 - 3 x)}^{6} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . 1^{6 - k} . {(- 3 x)}^{k} + a x . \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . 1^{6 - k} . {(- 3 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} + \sum_{k = 0}^{6} a . C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k + 1}$

Do đó, hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là:

$C_{6}^{3} . {(- 3)}^{3} + a . C_{6}^{2} . {(- 3)}^{2} = 405 \Leftrightarrow - 540 + 135 a = 405 \Leftrightarrow a = 7$

Vậy a = 7

Câu 12:

Tính giá trị của biểu thức

$M = 2^{2016} C_{2017}^{1} + 2^{2014} C_{2017}^{3} + 2^{2012} C_{2017}^{5} + \dots + 2^{0} C_{2017}^{2017}$

A. $3^{2017} + 1$

B. $1 / 2 (3^{2017} + 1)$

C. $3^{2017} - 1$

D. $1 / 2 (3^{2017} - 1)$

Xem đáp án

Ta có ${(2 + 1)}^{2017} = C_{2017}^{0} {.2}^{2017} + C_{2017}^{1} {.2}^{2016} + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0}$

${(2 - 1)}^{2017} = C_{2017}^{0} {.2}^{2017} + C_{2017}^{1} {.2}^{2016} . (- 1) + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0} . {(- 1)}^{2017}$

Trừ từng vế hai đẳng thức trên ta được:

$3^{2017} - 1 = 2 (C_{2017}^{1} {.2}^{2016} + C_{2017}^{3} {.2}^{2014} + ... + C_{2017}^{2017} {.2}^{0})$

Vậy $M = \frac{3^{2017} - 1}{2}$

Chọn đáp án D.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương