Khoảng cách có đáp án
-
1310 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
50 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song, nhận thấy các phương án A, B, D đúng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.
Đáp án C
Câu 2:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đáp án A: đúng
Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.
Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
ĐÁP ÁN A
Câu 3:
Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :
Ta có: tại A; tại A’
Do đó đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là AA’.
Đáp án A
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.
+ Ta có tại O
Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO
Do đó góc giữa SD và (SAC) là
+ Đặt DO = x DB = 2x; AO = BO = CO = x
Ta có: nên SB = SD Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC
Tam giác SBD đều SO = 2x = x
Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có:
hay
x =
+ Gọi N là trung điểm của AB DN // BM
Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))
+ Kẻ AI BM tại I và AH SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH (SBM)
d(A; (SBM)) = AH d(D; (SBM)) = 1/2 AH.
+ Tính AH
Trong (ABCD):
Mà AI. BM AI =
Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:
AH =
Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH =
Đáp án A
Câu 5:
Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.
Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a.
Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A’B’C’D' cạnh 2a, O là tâm của A’B’C’D’.
Gọi N, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A’B’.
MN = AA’ = 2a, OM = 1/2A’D’ = a
Lại có:
d(O, AB) = ON = .
Đáp án D
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
+ Gọi H là trung điểm của BC
Do tam giác ABC cân tại A nên AH BC, tam giác SBC đều nên SH BC
Mà (SBC) (ABC)
Do đó SH (ABC)
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA HKSA
Ta có
Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.
+ Tính HK
Tam giác SBC đều cạnh a SH =
Tam giác ABC vuông cân tại A AH =
Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao
HK =
Vậy d(SA; BC) = .
Đáp án C
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:
+ Ta có
+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N N là trung điểm của AC (MN//BC).
+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là
SA = AB.tan = 2a
AC =
+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị qua ba vectơ không cùng phương
Ta có:
Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13
Do đó: . Suy ra
.
Thay số vào ta tính được IJ = .
Vậy d(AB; SN) = .
Đáp án D
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).
+ Kẻ SH AC, H AC
Do (SAC) (ABCD) SH (ABCD)
+ BD = 2a AC = 2a
SA = ;
Diện tích tam giác SAC là :
nên : SH =
Ta có: AH = AC = 4AH
Lại có: HC (SAD) = A ; 4
d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))
Do BC // (SAD) (BC//AD) d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))
Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))
+ Kẻ HK AD tại K, kẻ HJ SK tại J
Ta chứng minh được HJ (SAD) d(H; (SAD)) = HJ
d(B; (SAD)) = 4HJ
+ Tính HJ
Tam giác AHK vuông tại K có HK = AH.sin=
Mặt khác: HJ =
Vậy d(B; (SAD)) = 4 . =.
Đáp án C
Câu 9:
Cho tam giác ABC có AB = 14, BC = 10, AC = 16. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 8. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC trong tam giác ABC.
+ Ta có: d(O; BC) = OH
+ Nửa chu vi tam giác ABC: p = = 20
(theo công thức Hê-rông)
Lại có 1/2AH.BC AH =
+ Tam giác OAH vuông tại A (OAAH)
OH =
Vậy d(O; BC) = OH = 16.
Đáp án B
Câu 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = AB = 2a, và SA (ABCD). Tính khoảng cách từ O đến SB.
Từ O kẻ OH vuông góc với SB, H SB d(O; SB) = OH.
+ Ta có AB = BC = 2a; Tam giác ABC đều có BO AC
BO = 2a.
AO =
SO =
+ Ta có
Tam giác SOB vuông tại O
Do đó: =OH = a.
Vậy d(O; SB) = OH = a.
Đáp án C
Câu 11:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, . Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc . Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB’C’) theo a.
+ Gọi M là trung điểm của B’C’
Vì nên AB'= AC'
Suy ra: tam giác AB’C’ cân tại A AMB’C’
Tam giác A’B’C’ cân tại A’( vì A'B' = A'C') A’M B’C’
Mà (AB’C’) (A’B’C’) = B’C’
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa 2 đường thẳng AM và A’M và chính là góc AMA’
Tam giác A'B'C' cân tại A' có A'M là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác.
AA’ = A’M. tan=
+ Ta có BC // (AB’C’) d(BC; (AB’C’)) = d(B; (AB’C’))
+ Vì ABB'A' là hình chữ nhật có hai đường chéo A'B và AB' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:
Suy ra: d(B; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))
Do đó: d(BC; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))
+ Ta chứng minh được (AA’M) (AB’C’), trong mặt phẳng (AA’M), dựng A’H AM tại H
A’H (AB’C’) d(A’; (AB’C’)) = A’H d(BC; (AB’C’)) = A’H
+ Tính A’H
Ta có: A’H =
Vậy d(BC; (AB’C’)) = .
Đáp án B
Câu 12:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).
+ Gọi H là trung điểm của BC, AH MP = K
Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC MN // SB; NP //SC; MP //BC
MN // (SBC); NP // (SBC), mà MN, NP (MNP)
(SBC) // (MNP)
Mà K MP (MNP)
d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC))
+ Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC AH BC
Theo giả thiết ta có (ABC) (SBC)
Do đó AH (SBC) mà K AH KH (SBC) d(K; (SBC)) = KH
d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC)) = KH
+ Tính KH
Ta có MH // = 1/2 AC MH // = AP MHPA là hình bình hành
K là trung điểm của AH KH = 1/2AH
Tam giác ABC đều cạnh a AH =
Do đó KH =
Vậy d((MNP); (SBC)) = KH =
Đáp án B
Câu 13:
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD O là trung điểm của AC và BD
Ta có: A’B = A’D (đường chéo các hình thoi bằng nhau)
Tam giác A’BD cân tại A’ có O là trung điểm của BD A’O BD.
+ Hạ A’H AC, H AC
Ta có A’H BD
Do đó: A’H (ABCD)
Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên A’H chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy.
+ Tính A’H
Áp dụng định lí cosin vào tam giác ADC có:
AC = AO =
Theo giả thiết, ta suy ra: A'D= AA' = AB = BD = a
hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên điểm H - hình chiếu của A' lên (ABD) là tâm tam giác đều ABD.
suy ra:
AH = 2/3 AO =
A’H =
Vậy khoảng cách giữa hai đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là .
Đáp án B
Câu 14:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC = 2AD = 2a, Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA. SA (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNE) và (SBC) là:
+ Ta có:
d((MNE); (SBC)) = d(M; (SBC))
+ Lại có: AM (SBC) = B d(M; (SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))
d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))
+ Từ A hạ AF BC tại F, AG SF tại G
mà AG SF nên AG (SBC)
d(A;(SBC)) = AG
+ Tính AG
Do ABCD là hình thang cân, BC = 2a nên suy ra
AF = BF. =
Tam giác SAF vuông tại A có AG là đường cao
AG =
d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC)) = 1/2 AG = .
Đáp án C
Câu 15:
Cho các khẳng định sau:
(1) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.
(2) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.
(3) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.
(4) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?
Khẳng định (1) đúng vì khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).
Khẳng định (2) sai vì qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Khẳng định (3) sai vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Khẳng định (4) sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.
Vậy có một khẳng định đúng.
ĐÁP ÁN A