70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P2)
-
9649 lượt thi
-
25 câu hỏi
-
25 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un): un = n3 + 2n + 1
Chọn C.
Mặt khác: un > 1 và khi n càng lớn thì un càng lớn.
Vậy dãy (un) là dãy tăng và bị chặn dưới.
Câu 2:
Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un)
Chọn B.
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: (un) 1 < un ≤ 2, ∀ n
Mà 
.
Vậy dãy (un) là dãy giảm và bị chặn.
Câu 3:
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:
Chọn A.
Trước hết ta chứng minh 1 < un < 4
* Ta chứng minh (un) là dãy tăng
Ta có u1 < u2, giả sử , ∀ n ≤ k.
Vậy dãy (un) là dãy tăng và bị chặn.
Câu 4:
Cho dãy số Xét dãy số yn = xn+1 - xn. Khẳng định nào đúng về dãy (yn)
Chọn A.
Ta có: 
Do đó: 
- Ta chứng minh dãy (yn) tăng.
Ta có: 
- Ta chứng minh dãy (yn) bị chặn.
Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4(n – 1) (1)
* Với n = 2, ta có: x2 = 4x1 = 4 nên (1) đúng với n = 2
* Giả sử (1) đúng với n, tức là: xn ≤ 4(n – 1), ta có
Nên (1) đúng với n + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng
Ta có: 
Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 5:
Cho dãy số (un) có u1 = -1; d = 2; Sn = 483 Tính số các số hạng của cấp số cộng?
Chọn D.
Ta có:
Câu 6:
Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính
Chọn D.
Gọi d là công sai của cấp số đã cho
Câu 7:
Cho cấp số cộng (un) thỏa:
Tính S = u4 + u5 + … + u30
Chọn D.
Từ giả thiết bài toán, ta có: 
Ta có: Tổng S là tổng 27 số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu là , công sai d = -3
Do đó:
Câu 8:
Cho a; b;c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
Chọn C.
Do a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b – a = c – b
⇔ (b – a)2 = (c – b)2
⇔ a2 – c2 = 2ab – 2bc
⇔ a2 +c2 = 2c2 + 2ab – 2bc = 2ab + 2c(c – b)
= 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.
Câu 9:
Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?
Chọn B.
Ta có a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b
Suy ra -2( a+ c) = -2.2b hay -2a + (-2c) = 2.(-2b)
-2c; -2b; -2a theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Câu 10:
Cho cấp số cộng: u1; u2; u3;… có công sai d.Biết u4 + u8 + u12 + u16 = 224. Tính S19.
Chọn C.
Có: u4 + u8 + u12 + u16 = 224 ⇔ u1 + 3d + u1 + 7d + + u1 + 15d = 224
⇔ 4 u1 + 36d = 224 ⇔ u1 + 9d = 56
Ta có: S19 = 19/2. (2 u1 + 18d) = 19(u1 + 9d) = 19.56 = 1064
Câu 11:
Cho cấp số cộng: u1; u2; u3;… có công sai d.Biết u23 + u57 = 29. Tính: u10 + u70 + u157 + 3u1
Chọn C.
Ta có: u23 + u57 = 29 ⇔ u1 + 22d + u1 + 56d = 29 ⇔ 2u1 + 78d = 29
Ta có: 3u1 + u10 + u70 + u157 = 3u1 + u1 +9d + u1 + 69d + u1 + 156d
= 6u1 + 234d = 3(2u1 + 78d) = 3.29 = 87
Câu 12:
Tính tổng S = 1002 – 992 +982 – 972 + … + 22 – 12
Chọn D.
S = 1002 – 992 +982 – 972 + … + 22 – 12
= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + … + (2-1)(2+1)
= 199 + 195 + … + 3
Ta có dãy số 3, 7, …, 195, 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u1 = 3 và số hạng n là un = 199.
Do đó có 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n = 50.
Vậy 
.
Câu 13:
Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
Chọn C.
Giả sử có tất cả n hàng cây được trồng
Số cây các hàng là 1; 2; 3; 4; .... ; n - 1; n
Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng có u1 = 1; d = 1
Giả sử có n hàng cây thì
Câu 14:
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
Chọn D.
Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có u1 = 7; d = 5 .
Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u1 + u2 + .... + un = 25450 = Sn
Ta có :
Câu 15:
Biết rằng tồn tại các giá trị của x ∈ [0; 2π] để ba số 1 + sinx, sin2x, 1 + sin3x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x.
Chọn A.
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
1+ sin x + 1 + sin 3x = 2sin2x
2+ sin x + = 2sin2x
⇔ 2 + 4sin x – 4sin3 x = 2sin2x
⇔ 2sin3x + sin2x – 2sin x – 1 = 0
⇔ (2sin x + 1)(sin2x – 1) = 0
Với nghiệm 
và x ∈ [0;2π], ta tìm được 
.
Với nghiệm 
và x ∈ [0;2π], ta tìm được 
.
Với nghiệm 
và x ∈ [0;2π] ta tìm được nghiệm 
Do đó 
Câu 16:
Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Chọn B.
Gọi bốn số đó là a ;b ;c ;d
Do 3 số đầu lập thành cấp số cộng nên: a + c = 2b
Do 3 số sau lập thành cấp số nhân nên bd =
Tổng số đầu và cuối bằng 37 nên : a + d = 37
Tổng hai số giữa bằng 36 nên : b + c = 36
Ta có hệ:
Giải ra ta được : b = 16 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 12.
Câu 17:
Cho các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số (y + 1)2, xy + 1, (x – 1)2 lập thành cấp số nhân. Tính x; y.
Chọn B.
+ Ta có các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành CSC nên suy ra
2( 2x + 3y) = 5x – y + x+ 2y
hay 2x = 5y (1)
Các số (y + 1)2, xy + 1, (x – 1)2 lập thành CSN suy ra
(xy + 1)2 = (y + 1)2(x – 1)2
⇔ (4 + 2y – 2x)(4xy + 2x – 2y) = 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y2 + 5y – 2y) = 0
⇔ y(4 – 3y)(10y + 3) = 0 ⇔ y = 0, y = 4/3, y = -3/10.
Với y = 0 thì x = 0
Với y = 4/3 thì x = 10/3
Với y = - 3/10 thì x = -3/4
Vậy 
Câu 18:
Tìm x; y biết: Các số x + 6y; 5x + 2y; 8x + y lập thành cấp số cộng và các số x - 5/3 y, y – 1,2x – 3y lập thành cấp số nhân.
Chọn A.
Giải hệ này ta tìm được 
Câu 19:
Xác định m để: Phương trình x3 – 3x2 – 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Chọn B.
Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó: x1 + x3 = 2x2,
Theo định lí viet đối với phương trình bậc ba ta có:
x1 + x2 + x3 = 3 ⇒ x2 = 1
Thay vào phương trình ta có:
+ Ngược lại , với m = 11 ta có phương trình : x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0
⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 11) = 0 ⇔ 
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.
Câu 20:
Phương trình x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Chọn B.
Đặt t = x2, t ≥ 0.
Phương trình trở thành: t2 – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 > t1 > 0.
Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: 
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :
Theo định lý viet thì : 
Vậy m = 4 hoặc 
là những giá trị cần tìm.
Câu 21:
Cho CSN (un) thỏa:Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
Chọn C.
Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:
Suy ra: 
⇔ 39q4 – 82q3 -82q2 -82q + 39 = 0
⇔ (3q – 1)(q – 3)(13q2 + 16q + 13) = 0 ⇔ q = 1/3, q = 3
Câu 23:
Cho CSN (un) thỏa:Trên khoảng (1/2; 1) có bao nhiêu số hạng của cấp số.
Chọn B.
Theo câu 21 và 22 ta có:
Với q = 3 ta có: 
nên có một số hạng của dãy
Với q = 1/3 ta có: 
nên có một số hạng của dãy.
Câu 24:
Tìm m để phương trình x3 + 2x2 + (m + 1)x + 2(m + 1) = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Chọn D.
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :
Thay vào phương trình ta có:
Giải phương trình trên ta được: m = -1; m = 3; m = -4.
+ Ngược lại: Với m = -1 thay vào phương trình đã cho ta được:
Ba nghiệm này lập thành cấp số nhân với công bội q=0 ( thỏa mãn )
+ Với m = 3 thay vào phương trình đã cho ta được:
Trường hợp loại
+ Với m = - 4 thay vào phương trình đã cho ta được:
Trường hợp này không thỏa mãn,
Vậy giá trị m cần tìm là m = - 1
Câu 25:
Cho dãy số xác định bởi Tính số hạng thứ 2018 của dãy.
Chọn C
Ta có 
Đặt: vn = un + 5
Khi đó ta được dãy mới; là cấp số nhân với : v1 = 6;công bội q = 2
⇒ v2018 = 22017.v1 = 6.22017 ⇒ u2018 = 6.22017 – 5.