Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$

Phương trình trở thành $\frac{t^2-1}{2}-t+m=0\iff -2m=t^2-2t-1\iff {\left(t-1\right)}^2=-2m+2$.

Do $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}-1\le t-1\le \sqrt{2}-1\iff 0\le {\left(t-1\right)}^2\le 3+2\sqrt{2}$.

Vậy để phương trình có nghiệm 

$$\begin{gathered} \iff 0\le -2m+2\le 3+2\sqrt{2}\iff -\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\le m\le 1 \\ \stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{-1;0;1\right\}. \end{gathered}$$                            

Chọn đáp án C.

Đặt $t=\left|\sin x+\cos x\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$.

Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[0;\sqrt{2}\right]$.

Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin 2x=t^2-1.$

Phương trình đã cho trở thành $2\left(t^2-1\right)-3\sqrt{6}t+8=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ t=\sqrt{6}\left(loaï\right)\end{array}\right.$

$\sin 2x=t^2-1=\frac{1}{2}.$ 

Chọn đáp án C.

Ta có $y=4{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)+\sin 2x+\cos 2x$

$=\sin 2x-\cos 2x+2=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2.$

Mà $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1\Rightarrow -\sqrt{2}+2\le \sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2\le \sqrt{2}+2$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2+\sqrt{2}.$

 Chọn đáp án D.

Hàm số xác định $\iff \sin x-\cos x\ne 0\iff \tan x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định $\text{D}=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$ 

Chọn đáp án D.

Tất các các hàm số đều có TXĐ:  D =R

 Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$ 

Bây giờ ta kiểm tra f(x) = f(-x) hoặc f(-x) = - f(x).

= Với y = f(x) = - sinx. Ta có f(-x)= - sin (-x) = sinx = - (- sinx)

$\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số y = -sinx là hàm số lẻ.

= Với y = f(x) = cosx –sinx. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)-\sin \left(-x\right)=\cos x+\sin x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)\ne \left\{-f\left(x\right),f\left(x\right)\right\}$. Suy ra hàm số y = cosx - sinx không chẵn không lẻ.

= Với $y=f\left(x\right)=\cos x+{\sin }^{2}x$. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)+{\sin }^2\left(-x\right)$

$=\cos \left(-x\right)+{\left[\sin \left(-x\right)\right]}^2=\cos x+{\left[-\sin x\right]}^2=\cos x+{\sin }^{2}x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)=f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x+{\sin }^{2}x$ là hàm số chẵn.

= Với $y=f\left(x\right)=\cos x\sin x.$ Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right).\sin \left(-x\right)=-\cos x\sin x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x\sin x$ là hàm số lẻ.

Chọn đáp án C

Hàm số $y=-\frac{1}{2}\sin \left(100\pi x+50\pi \right)$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{100\pi }=\frac{1}{50}.$ 

Chọn đáp án A.

Hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi .$ 

Hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_2=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi .$

Suy ra hàm số $y=\cos 2x+\sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T=4\pi .$ 

Chọn đáp án A.

Ta có $y=2.\frac{1-\cos 2x}{2}+3.\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac{1}{2}\left(3\cos 6x-2\cos 2x+5\right).$

Hàm số y =3cos6x tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}.$ 

Hàm số y = -2cos2x tuần hoàn với chu kì $T_2=\pi .$

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $T=\pi .$ 

Chọn đáp án A

Với $x\in \left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)\to 2x\in \left(-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right)\to 2x+\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)$.

Chọn đáp án C.

Ta thấy:

Tại x= 0 thì y = 0 . Do đó loại B và C.

Tại $x=\pi$ thì y = -1. Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.

 Chọn đáp án D.

Với mọi x ta có $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1\iff 2\ge -2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ge -2$

$\Rightarrow 4\ge -2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+2\ge 0\Rightarrow 4\ge y\ge 0$.

Chọn đáp án C.

Ta có $y=4{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)+\sin 2x+\cos 2x$

$=\sin 2x-\cos 2x+2=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2.$

Mà $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1\Rightarrow -\sqrt{2}+2\le \sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2\le \sqrt{2}+2$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2+\sqrt{2}.$

 Chọn đáp án D.

Phương trình $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

 Chọn đáp án D.

Phương trình $\sin \left(2x-{40}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(2x-{40}^0\right)=\sin {60}^0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2x-{40}^0={60}^0+k{360}^0\\ 2x-{40}^0={180}^0-{60}^0+k{360}^0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2x={100}^0+k{360}^0\\ 2x={160}^0+k{360}^0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x={50}^0+k{180}^0\\ x={80}^0+k{180}^0\end{array}\right.. \end{gathered}$$

= Xét nghiệm $x={50}^0+k{180}^0.$ 

Vì $-{180}^0\le x\le {180}^0\Rightarrow -{180}^0\le {50}^0+k{180}^0\le {180}^0$

$\iff -\frac{23}{18}\le k\le \frac{13}{18}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\left[\begin{array}{l}k=-1\to x=-{130}^0\\ k=0\to x={50}^0\end{array}\right..$

= Xét nghiệm $x={80}^0+k{180}^0.$ 

Vì $-{180}^0\le x\le {180}^0\Rightarrow -{180}^0\le {80}^0+k{180}^0\le {180}^0$

$\iff -\frac{13}{9}\le k\le \frac{5}{9}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\left[\begin{array}{l}k=-1\to x=-{100}^0\\ k=0\to x={80}^0\end{array}\right..$

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án B.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}\\ x\ne k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$ 

Phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}\tan 3x=\frac{1}{\cot 2x}\iff \tan 3x=\tan 2x\\ \iff 3x=2x+k\pi \iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).\end{array}$

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm $x=k\pi$ không thỏa mãn $x\ne k\frac{\pi }{2}.$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn đáp án D.

Phương trình $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-m=2\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=m+2.$

Phương trình có nghiệm $\iff -1\le m+2\le 1\iff -3\le m\le -1$

$\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }S=\left\{-3;-2;-1\right\}\Rightarrow T=\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)=-6.$ 

Chọn đáp án B.

Phương trình $\iff \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\iff \left[\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}. \end{gathered}$$

= $0<k\pi <\frac{\pi }{2}\iff 0<k<\frac{1}{2}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }$ không có giá trị k thỏa mãn.

= $0<\frac{\pi }{6}+k\pi <\frac{\pi }{2}\iff -\frac{1}{6}<k<\frac{1}{3}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0\to x=\frac{\pi }{6}.$ 

Chọn đáp án A.

Phương trình $\iff {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-\sin 2x=\sqrt{2}\iff \cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff 2x+\frac{\pi }{4}=k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right). \\ \begin{array}{l}0<x<2\pi \Rightarrow 0<-\frac{\pi }{8}+k\pi <2\pi \\ \iff \frac{1}{8}<k<\frac{17}{8}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\left[\begin{array}{l}k=1\to x=\frac{7\pi }{8}\\ k=2\to x=\frac{15\pi }{8}\end{array}\right.\end{array} \\ \Rightarrow T=\frac{7\pi }{8}+\frac{15\pi }{8}=\frac{11}{4}\pi . \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án C.

Phương trình $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \sin x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Theo giả thiết :

$$\begin{gathered} 0\le x<\frac{\pi }{2}\iff \left[\begin{array}{l}0\le \frac{\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\\ 0\le \frac{5\pi }{6}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\\ 0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <\frac{\pi }{2}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}-\frac{1}{12}<k<\frac{1}{6}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0\to x=\frac{\pi }{6}\\ -\frac{5}{12}<k<-\frac{1}{12}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k\in \varnothing \\ -\frac{1}{4}<k<0\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k\in \varnothing \end{array}\right.. \end{gathered}$$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

Chọn đáp án A.

Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$ 

Phương trình $\iff \left(1+{\cot }^{2}x\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\cot x-\left(\sqrt{3}+1\right)=0$ 

$\iff {\cot }^{2}x-\left(\sqrt{3}-1\right)\cot x-\sqrt{3}=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\cot x=-1\\ \cot x=\sqrt{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\cot x=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)\\ \cot x=\cot \frac{\pi }{6}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \stackrel{x\in \left(0;\pi \right)}{\to }x=\frac{3\pi }{4}\left(tm\right)\\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \stackrel{x\in \left(0;\pi \right)}{\to }x=\frac{\pi }{6}\left(tm\right)\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

Chọn đáp án B.

Phương trình $\iff 2{\sin }^{2}x+3\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=2\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)$

$\iff 3\sqrt{3}\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0\iff 3\cos x\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)=0.$

= $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\stackrel{k=0}{\to }x=\frac{\pi }{2}.$

= $\sqrt{3}\sin x-\cos x=0\iff \sqrt{3}\sin x=\cos x$

$$\begin{gathered} \iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6} \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\stackrel{k=0}{\to }x=\frac{\pi }{6}. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm $\frac{\pi }{6}$ và $\frac{\pi }{2}$.

 Chọn đáp án B.

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$\frac{t^2-1}{2}+2t=2\iff t^2+4t-5=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-5\left(l\right)\end{array}\right..$

Với t = 1, ta được $\sin x+\cos x=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$.

$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án B.

Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Điều kiện $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}.$

Ta có $t^2={\left(\sin x-\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x\Rightarrow \sin 2x=1-t^2.$

Phương trình đã cho trở thành $1-t^2+t=1\iff t^2-t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=1\end{array}\right.$.

Với t = 1, ta được $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Với t = 0, ta được $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0.$

Chọn đáp án B.