30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P4) - qa.haylamdo.com

Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải

Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P4)

9128 lượt thi
30 câu hỏi
30 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. An trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại An chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của An không dưới 9,5 điểm.

A. $\frac{13}{1024}$

B. $\frac{2}{19}$

C. $\frac{53}{112}$

D. $\frac{9}{22}$

Đáp án A.

Phương pháp: Tính xác suất để học sinh đúng thêm 3 câu nữa trở lên.

Xác suất mỗi câu trả lời đúng là 0,25 và mỗi câu trả lời sai là 0,75.

Cách giải:

An trả lời chắc chắn đúng 45 câu nên có chắc chắn 9 điểm.

Để điểm thi $\geq$ 9,5 => An phải trả lời đúng từ 3 câu trở lên nữa.

Xác suất để trả lời đúng 1 câu hỏi là 0,25 và trả lời sai là 0,75

TH1: Đúng 3 câu. P₁ = 0,25³.0,75²

TH2: Đúng 49 câu P₂ = 0,25⁴.0,75

TH3: Đúng cả 50 câu P₃ = 0,25⁴

Vậy xác suất để An được trên 9,5 điểm là P = P₁ + P₂ + P₃ = 13/1024.

Câu 2:

Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm

A. $\frac{7}{9}$

B. $\frac{91}{323}$

C. $\frac{637}{969}$

D. $\frac{91}{285}$

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chia trường hợp của biến cố, áp dụng các quy tắc đếm cơ bản tìm số phần tử của biến cố

Lời giải:

Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có $C_{20}^{6}$ = 38760 cách $\Rightarrow n (Ω) = 38760$

Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 6 sản phẩm lấy ra 0 có phế phẩm nào => có $C_{16}^{6}$ = 8008 cách

TH2. 6 sản phẩm lấy ra có duy nhất 1 phế phẩm => có $C_{16}^{5} . C_{4}^{1} = 17472$ cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 8008 + 17472 = 25480

Vậy xác suất cần tính là

Câu 3:

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.

A. $\frac{33}{91}$

B. $\frac{24}{455}$

C. $\frac{58}{91}$

D. $\frac{24}{91}$

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản.

Lời giải:

Chọn 3 quyển sách trong 15 quyển sách có $C_{15}^{3} = 455$ cách $\Rightarrow n (Ω) = 455$

Gọi X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.

Và $X$ là biến cố 3 quyển sách được lấy ra không có quyển sách toán. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. Lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa => có $C_{5}^{2} . C_{6}^{1} = 60$ cách

TH2. Lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa => có $C_{5}^{1} . C_{6}^{2} = 75$ cách

TH3. Lấy được 3 quyển lý, 0 quyển hóa => có $C_{5}^{3} . C_{6}^{0} = 10$ cách

TH4. Lấy được 0 quyển lý, 3 quyển hóa => có $C_{5}^{0} . C_{6}^{3} = 20$ cách

Suy ra số phần tử của biến cố $X$ là

Vậy xác suất cần tính là

Câu 4:

Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

A. 5005

B. 805

C. 4250

D. 4249

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Ta đi làm phần đối của giả thiết, tức là chọn 6 học sinh giỏi chỉ lấy từ một khối hoặc hai khối.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 15 học sinh giỏi của 3 khối có $C_{15}^{6} = 5005$ cách

Số cách chọn 6 học sinh giỏi bằng cách chỉ lấy từ 1 khối 12 là $C_{6}^{6} = 1$

Chọn 6 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 11 có $C_{10}^{6} = 210$ cách, tuy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 210 - 1 = 209 cách

Chọn 6 học sinh giỏi trong 11 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 10 có $C_{11}^{6} = 462$ cách, uy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 462 - 1 = 461 cách.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 9 học sinh giỏi của 2 khối 11 và 10 có $C_{9}^{6} = 84$ cách

Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5005 - 209 - 461 - 84 - 1 = 4250 cách

Câu 5:

Cho 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8 điểm trên?

A. 336

B. 56

C. 168

D. 84

Đáp án B

Số tam giác tạo thành là $C_{8}^{3} = 56$

Câu 6:

Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiêu 5 bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ bằng

A. $\frac{245}{792}$

B. $\frac{210}{792}$

C. $\frac{549}{792}$

D. $\frac{582}{792}$

Đáp án A

Có 2 trường hợp như sau

+)TH1: có 3 nam, 2 nữ, suy ra có $C_{5}^{3} C_{7}^{2} = 210$ cách chọn

+) TH2: có 4 nam, 1 nữ, suy ra có $C_{5}^{4} C_{7}^{1} = 35$ cách chọn

Suy ra xác suất cần tính bằng

Câu 7:

Cho tập A có n phần tử. Biết rằng số tập con có 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con có 3 phần tử của A.Hỏi n thuộc đoạn nào dưới đây?

A. [6;8]

B. [8;10]

C. [10;12]

D. [12;14]

Đáp án C

Điều kiện: $n \geq 7$

Số tập con có 7 phân tử và 3 phân tử của A là $C_{n}^{7}$ và $C_{n}^{3}$

Suy ra

Câu 8:

Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù là

A. $\frac{3}{11}$

B. $\frac{16}{33}$

C. $\frac{8}{11}$

D. $\frac{4}{11}$

Đáp án C

Gọi đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Xét A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác,kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là 1 đỉnh của đa giác. Đường kính AA’ chia (O) thành 2 nửa đường tròn , với mỗi cách chọn ra 2 điểm B và C là 2 đỉnh của đa giác và cùng thuộc 1 nửa đường tròn, ta đường 1 tam giác tù ABC. Khi đó số cách chọn B và C là: $2 C_{49}^{2}$

Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là 50

Do đó, số cách chọn ra 3 đỉnh để lập thành 1 tam giác tù là: $50.2 C_{49}^{2} = 100 C_{49}^{2}$

Không gian mẫu:

Câu 9:

Cho tập hợp S có 20 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của S là:

A. $A_{20}^{3}$

B. $A_{20}^{17}$

C. $C_{20}^{3}$

D. $20^{3}$

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng tổ hợp chập 3 của 20 để lấy ra 3 phần tử trong tập 20 phần tử.

Cách giải: Số tập con gồm 3 phần tử của S là $C_{20}^{3}$

Câu 10:

Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Xác suất để 4 học sinh được gọi đó cả nam lẫn nữ là

A. $\frac{219}{323}$

B. $\frac{443}{506}$

C. $\frac{218}{323}$

D. $\frac{442}{506}$

Đáp án B

Phương pháp: Xác suất : $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu : $n (Ω) = C_{15 + 10}^{4} = C_{25}^{4}$

Gọi A là biến cố : “4 học sinh được gọi đó cả nam lẫn nữ”

Khi đó :

Xác suất cần tìm:

Câu 11:

Tổng tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn $\frac{1}{C_{n}^{1}} - \frac{1}{C_{n + 1}^{2}} = \frac{7}{6 C_{n + 4}^{1}}$ là:

A. 11

B. 13

C. 12

D. 10

Đáp án A

Câu 12:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số?

A. 145

B. 168

C. 105

D. 210

Đáp án B

Phương pháp: Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là $a b c (a \neq 0)$ , tìm số cách chọn cho các chữ số a, b,c sau đó áp dụng quy tắc nhân.

Cách giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là $a b c (a \neq 0)$

Có 4 cách chọn c.

Có 6 cách chọn a.

Có 7 cách chọn b.

Vậy có 4.6.7 = 168 số.

Chú ý và sai lầm: Các chữ số a, b, c không yêu cầu khác nhau.

Câu 13:

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

A. 10

B. 60

C. 120

D. 125

Đáp án B

Số các số có thể lập được bằng 5.4.3 = 60 số.

Câu 14:

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng

A. $\frac{16}{33}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{2}{11}$

D. $\frac{10}{33}$

Đáp án A

Tổng cả 4 tấm thẻ là 1 số lẻ khi

+) Có 1 thẻ là lẻ, 3 thẻ còn lại là chẵn, suy ra có $C_{6}^{1} C_{5}^{3}$ = 60 cách chọn.

+) Có 3 thẻ là lẻ, 1 thẻ là chẵn, suy ra có $C_{5}^{1} C_{6}^{3} = 100$ cách chọn.

Suy ra

Câu 15:

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7 số các số gồm 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó là

A. 256

B. 36

C. 216

D. 18

Đáp án C

Phương pháp: Gọi số cần tìm là $a b c (a, b, c \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ , chọn lần lượt các chữ số a, b, c sau đó áp dụng quy tắc nhân.

Cách giải: Gọi chữ số lập thành là $a b c (a, b, c \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ .

Khi đó : a có 6 sự lựa chọn, b có 6 sự lựa chọn, c có 6 sự lựa chọn. =>Số các số gồm 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó là : 6³ = 216.

Câu 16:

Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 11 học sinh khối 12, 7 học sinh khối 11. Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 18 học sinh trên để đi dự trại hè. Xác suất để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn là

A. $\frac{2855}{2652}$

B. $\frac{2559}{2652}$

C. $\frac{2558}{2652}$

D. $\frac{2585}{2652}$

Đáp án D

Phương pháp:

$+) P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$

+ P(A) = 1P( $A$ )

Cách giải: Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = C_{18}^{6}$

Gọi A: “Mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.”

Câu 17:

Amelia có đồng xu mà khi tung xác suất mặt ngửa là $\frac{1}{3}$ và Blaine có đồng xu mà khi tung xác suất mặt ngửa là $\frac{2}{5}$ . Amelia và Blaine lần lượt tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa, ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung là độc lập với nhau và Amelia chơi trước. Xác suất Amelia thắng là $\frac{p}{q}$ trong đó p và q là các số nguyên tố cùng nhau. Tìm q - p?

A. 9

B. 4

C. 5

D. 14

Đáp án B

Phương pháp: Nhân xác suất.

Cách giải: Gọi số lần Amelia tung đồng xu là $n, (n \in N^{*})$ => Số lần Blaine tung là n - 1

Amelia thắng ở lần tung thứ n của mình nên n - 1 lượt đầu Amelia tung mặt sấp, lần thứ n tung mặt ngửa, còn toàn bộ n - 1 lượt của Blaine đều sấp. Khi đó:

Xác suất Amelia thắng ở lần tung thứ n:

Xác suất Amelia thắng :

Câu 18:

Cho tâp ̣ A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho số tam giác mà 3 đỉnh thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A .

A. n = 6

B. n = 12

C. n = 8

D. n = 15

Đáp án là C

Câu 19:

Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng cách qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là 1 cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến được vị trí B.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{12}$

Phương pháp: Chia đường đi của thỏ thành 2 giai đoạn, tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố A « thỏ đến được vị trí B » .

Cách giải :

Từ A đến B nhất định phải đi qua D, ta chia làm 2 giai đoạn $A \to D$ và $D \to B$

Từ $A \to D$ có 9 cách.

Từ $D \to B$ có 6 cách tính cả đi qua C và có 3 cách không đi qua C.

Không gian mẫu $n_{Ω} = 9.6 = 54$

Gọi A là biến cố « thỏ đến được vị trí B » thì n_A = 9.3 = 27

Vậy

Câu 20:

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $a b c d$ , trong đó $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 9$

A. 0,0495

B. 0,014

C. 0,055

D. 0,079

Đáp án C

Cách giải:

Xét các số x = a; y = b + 1; z = c + 2; t = d + 3. Vì $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 9$ => $1 \leq x < y < z < t \leq 12$ (*)

Và mỗi bộ 4 số (x;y;z;t) được chọn từ tập hợp $\{1; 2; . . . .; 12\}$ ta đều thu được bộ số thỏa mãn (*). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là $C_{12}^{4} = 495$ số suy ra $n (X) = 495$

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 9.10.10.10 = 9000$

Vậy xác suất cần tính là

Câu 21:

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ có 10 điểm phân biệt, trên d₂ có n điểm phân biệt $(n \geq 2)$ Biết rằng có 5700 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm giá trị của n

A. 21

B. 30

C. 32

D. 20

Có 2 trường hợp sau:

+ Lấy 1 điểm trên d₁ và 2 điểm trên d₂, suy ra cớ $10 C_{n}^{2}$ tam giác

+ Lấy 2 điểm trên d₁ và 1 điểm trên d₂, suy ra cớ $n C_{10}^{2}$ tam giác

Suy ra có

Câu 22:

Trong một lớp học gồm có 18 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ

A. $\frac{65}{71}$

B. $\frac{69}{77}$

C. $\frac{443}{506}$

D. $\frac{68}{75}$

Đáp án B

Có các trường hợp sau:

+ 1 nam, 3 nữ, suy ra có $C_{18}^{1} C_{17}^{3}$ cách gọi

+ 2 nam, 2 nữ, suy ra có $C_{18}^{2} C_{17}^{2}$ cách gọi

+ 3 nam, 1 nữ, suy ra có $C_{18}^{3} C_{17}^{1}$ cách gọi

Suy ra xác suất sẽ bằng

Câu 23:

Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là

A. $A_{20}^{3}$

B. 3! $C_{20}^{3}$

C. 10³

D. $C_{20}^{3}$

Đáp án D

Câu 24:

Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?

A. 5040

B. 4536

C. 10000

D. 9000

Đáp án D

Có 9.10.10.10 = 9000 số.

Câu 25:

Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn.

A. 5!4!3!

B. 5! +4! +3!

C. 5! 4!3!3!

D. 5.4.3

Đáp án C.

Xếp vị trí từng môn = 3! = 6

Xếp vị trí trong tập toán : 5!

Xếp vị trí trong tập lý : 4!

Xếp vị trí trong tập hóa : 3!

Có 6.5!.4!.3!

Câu 26:

Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn

A. 2²⁰ + 1

B. 2²⁰

C. $\frac{2^{20}}{2} - 1$

D. 2¹⁹

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2,4,6,…,20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử => có $C_{20}^{2}$ tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử => có $C_{20}^{4}$ tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử => có $C_{20}^{20}$ tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có $\sum_{i = 1}^{10} C_{20}^{2 i} = 2^{19} - 1$ trường hợp.

Câu 27:

Cho tập hợp A = {1;2;…;20}. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập A sao cho không có hai số nào là hai số tự nhiên liên tiếp?

A. $C_{17}^{5}$

B. $C_{15}^{5}$

C. $C_{18}^{5}$

D. $C_{16}^{5}$

Đáp án D

Nếu A = {1;2;…;9} thì chỉ có duy nhất 1 cách là {1;3;5;7;9}, khi đó số cách bằng $C_{5}^{5} = C_{9 - 4}^{5}$

Nếu A = {1;2;…;10} thì có {1;3;5;7;9}; {1;4;6;8;10}; {1;3;6;8;10}; {1;3;5;8;10}; {1;3;5;7;10}; {2;4;6;8;10}; có 6 cách bằng $6 = C_{6}^{5}$ . Như vậy đáp án sẽ là $C_{16}^{5}$

Câu 28:

Cho tập hợp A = {2;3;4;5;6;7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số thuộc A?

A. 216.

B. 180.

C. 256.

D. 120.

Đáp án D.

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_{6}^{3} = 120$

Câu 29:

Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết $P (A) = \frac{1}{3}; P (B) = \frac{1}{4}$ . Tính $P (A \cup B)$

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{7}$

D. $\frac{1}{2}$

Đáp án A

$P (A \cup B)$ = P(A) + P(B) = $\frac{7}{12}$

Câu 30:

Một ngân hàng đề thi có 50 câu hỏi khác nhau, trong đó có 40% câu hỏi ở mức độ nhận biết, 20% câu hỏi ở mức độ thông hiểu, 30% câu hỏi ở mức độ vận dụng và 10% câu hỏi ở mức độ vận dụng cao. Xây dựng 1 đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi khác nhau từ ngân hàng đề thi đó bằng cách xếp ngẫu nhiên các câu hỏi. Tính xác suất để xây dựng được 1 đề thi mà các câu hỏi được xếp theo mức độ khó tăng dần: nhận biết-thông hiểu-vận dụng-vận dụng cao. (chọn giá trị gần đúng nhất)

A. 4,56.10^-26

B. 5,46.10^-29

C. 5,46.10^-26

D. 4,56.10^-29

Đáp án A

Số cách sắp xếp 50 câu cho một đề thi là 50!

Số cách chọn 20 câu nhận biết để xếp chúng vào đầu tiên là: 20!

Số cách chọn 10 câu thông hiểu để xếp chúng vào vị trí thứ hai là 10!

Số cách chọn 15 câu vận dụng để xếp chúng vào vị trí thứ ba là 15!

Số cách chọn 5 câu vận dụng cao xếp chúng vào vị trí cuối cùng là 5!

=> Xác suất cần tìm được tính bằng: $P = \frac{20! . 10! . 15! . 5!}{50!}$ = 4,56.10^-26

=> Chọn phương án A.

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Các bài thi hot trong chương