15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ và A, B là các điểm biểu diễn của $z_{1}, z_{2}$ . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $(0; 1)$ .

B. $(0; - 1)$ .

C. $(1; 1)$ .

D. $(1; 0)$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Cho số phức $z = a + b i$ với a, b là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $\bar{z}$ làm nghiệm với mọi a, b là:

A. $z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$ .

B. $z^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

C. $z^{2} - 2 a z + a^{2} + b^{2} = 0$ .

D. $z^{2} + 2 a z + a^{2} - b^{2} = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho $z = 2 + 3 i$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc 2 với hệ số thực nhận $z$ và $\bar{z}$ làm nghiệm.

A. $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ .

B. $z^{2} + 4 z + 13 = 0$ .

C. $z^{2} - 4 z - 13 = 0$ .

D. $z^{2} + 4 z - 13 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết $z_{1} = w + 2 i$ và $z_{2} = 2 w - 3$ là 2 nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tính $|z_{1}| + |z_{2}|$ .

A. $T = 2 \sqrt{13}$ .

B. $T = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$ .

C. $T = \frac{2 \sqrt{85}}{3}$ .

D. $T = 4 \sqrt{13}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $w = x + y i$

$z_{1} = x + y i + 2 i = x + (y + 2) i; z_{2} = 2 (x + y i) - 3 = (2 x - 3) + 2 y i$

$\Rightarrow \bar{z} = (2 x - 3) - 2 y i$ .

$z_{1} = \bar{z_{2}} = \{\begin{array}{l} x = 2 x - 3 \\ y + 2 = - 2 y \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - \frac{2}{3} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 + \frac{4}{3} i \\ z_{2} = 3 - \frac{4}{3} i \end{cases}$

$\Rightarrow T = |z_{1}| + |z_{2}| = \sqrt{3^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2}} + \sqrt{3^{2} + {(- \frac{4}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$ .

Câu 5:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $w + i$ và $2 w - 1$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tính tổng $S = a + b$ .

A. $S = \frac{1}{3}$ .

B. $S = \frac{5}{9}$ .

C. $S = \frac{- 1}{3}$ .

D. $S = - \frac{5}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $2 w + i$ và $3 w - 5$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tìm phần thực của số phức w.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}, z_{3,} z_{4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $6 z^{4} + 19 z^{2} + 15 = 0$ . Tính tổng

T= $\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + \frac{1}{z_{3}} + \frac{1}{z_{4}}$ .

A. $T = \frac{1}{\sqrt{2}} + i$ .

B. $T = 2 \sqrt{2}$ .

C. $T = 0$ .

D. $T = - 2 .$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình $6 z^{4} + 19 z^{2} + 15 = 0 \Leftrightarrow (2 z^{2} + 3) (3 z^{2} + 5) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} 2 z^{2} & = & - 3 \\ 3 z^{2} & = & - 5 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z^{2} & = & - \frac{3}{2} \\ z^{2} & = & - \frac{5}{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z^{2} & = & \frac{3 i^{2}}{2} \\ z^{2} & = & \frac{5 i^{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & \pm \frac{i \sqrt{6}}{2} \\ z & = & \pm \frac{i \sqrt{15}}{3} \end{array}$

$\Rightarrow T = 0$ .

Câu 8:

Cho phương trình $4 z^{4} + m z^{2} + 4 = 0$ trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để $({z_{1}}^{2} + 4) ({z_{2}}^{2} + 4) ({z_{3}}^{2} + 4) ({z_{4}}^{2} + 4) = 324$ .

A. m=1 hoặc m=-35.

B. m=-1 hoặc m=-35.

C. m=-1 hoặc m=35.

D. m=1 hoặc m=35.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $t = z^{2}$ , phương trình trở thành $4 t^{2} + m t + 4 = 0$ có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$

Ta có: $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = - \frac{m}{4} \\ t_{1} t_{2} = 1 \end{cases}$

Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử có:

${z_{1}}^{2} = {z_{2}}^{2} = t_{1}, {z_{3}}^{2} = {z_{4}}^{2} = t_{2}$

Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow {(t_{1} + 4)}^{2} {(t_{2} + 4)}^{2} = 324 \Leftrightarrow {[t_{1} t_{2} + 4 (t_{1} + t_{2}) + 16]}^{2} = 324 \Leftrightarrow {(- m + 17)}^{2} = 18^{2} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} - m + 17 & = & 18 \\ - m + 17 & = & - 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} m & = & - 1 \\ m & = & 35 \end{array}$

Câu 9:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là bốn nghiệm của phương trình $z^{4} - z^{2} - 12 = 0$ . Tính tổng T= $|z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3}| + |z_{4}|$ .

A. $T = 4$ .

B. $T = 2 \sqrt{3}$ .

C. $T = 4 + 2 \sqrt{3}$ .

D. $T = 2 + 2 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

$z^{4} - z^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow (z^{2} - 4) (z^{2} + 3) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & \pm 2 \\ z & = & \pm \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow T = 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4 + 2 \sqrt{3}$

Câu 10:

Biết $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a, b, c, d \in R)$ nhận $z_{1} = - 1 + i$ và $z_{2} = 1 + \sqrt{2} i$ là nghiệm. Tính $a + b + c + d$ .

A. 10.

B. 9.

C. -7.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Nhận xét: phương trình đã cho nhận $z_{1}, z_{2}$ làm nghiệm thì cũng nhận $\bar{z_{1}}, \bar{z_{2}}$ làm nghiệm.

Khi đó: $z_{1} = - 1 + i \Rightarrow \bar{z_{1}} = - 1 - i \Rightarrow m = z_{1} + \bar{z_{1}} = - 2, n = z_{1} \bar{z_{1}} = 2$

$z_{2} = 1 + \sqrt{2} i \Rightarrow \bar{z_{2}} = 1 - \sqrt{2} i \Rightarrow p = z_{2} + \bar{z_{2}} = 2, q = z_{2} \bar{z_{2}} = 3$

Vậy phương trình đã cho tương đương

$(x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow x^{4} + x^{2} + 2 x + 6 = 0$

Do đó $a = 0, b = 0, c = 2, d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9$

Câu 11:

Tổng $S = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}$ bằng:

A. $\frac{2^{2019} - 2}{3}$ .

B. $\frac{2^{2019} + 4}{3}$ .

C. $\frac{2^{2019} + 2}{3}$ .

D. $\frac{2^{2019} - 4}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta tìm các số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ta có:

$z^{3} = 1 \Leftrightarrow z^{3} - 1 = 0 \leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & 1 \\ z^{2} + z + 1 & = & 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z_{1} & = & 1 \\ z_{2} & = & - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = & - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

Xét kai triển

${(1 + x)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} x^{k} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} x + C_{2019}^{2} x^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} x^{2019}$ (*)

Thay $z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được

${(1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} . {z_{2}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{2}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} {z_{2}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{2} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{2}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (1)$

Tương tự thay $z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được:

${(- 1 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} . {z_{3}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{3}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} {z_{3}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{3} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{3}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (2)$

Thay $z = 1$ vào khai triển (*) ta được:

$2^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow 2^{2019} = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + C_{2019}^{7} + . . . + C_{2019}^{2017}) + (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + C_{2019}^{8} + . . . + C_{2019}^{2018}) (3)$

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

$2^{2019} - 2 = 3 (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (1 + z_{2} + z_{3}) (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2018}) + (1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2}) (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2017})$

Nhận thấy $1 + z_{2} + z_{3} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i = 0$ và $1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2} = 1 + {(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} + {(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} = 0$

Nên $2^{2019} - 2 = 3 S \Leftrightarrow S = \frac{2^{2019} - 2}{3}$ .

Câu 12:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $z^{2} - 2 m z + 6 m - 5 = 0$ có hai nghiệm phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}|$ ?

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì $∆' < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5$

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện $|z_{1}| = |z_{2}|$

$\Rightarrow m \in (1; 5)$ . Mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{2; 3; 4\}$ .Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $z^{2} + 2 m z + 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không phải là số thực?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Để phương trình $z^{2} + 2 m z + 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không phải là số thực thì $∆' < 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 4$

Mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{0; 1; 2; 3\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14:

Biết $i + 1$ là nghiệm của phương trình $z i + a z i + b z + a = 0 (a, b \in R)$ ẩn z trên tập số phức. Tìm $b^{2} - a^{3}$ .

A. 8.

B. 72.

C. -72.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Gọi $z_{1}; z_{2}$ là các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 4 z + 5 = 0$ . Đặt $w = {(1 + z_{1})}^{100} + {(1 + z_{2})}^{100}$ , khi dó

A. $w = 2^{50} i$ .

B. $w = - 2^{51}$ .

C. $w = 2^{51}$ .

D. $w = - 2^{50} i$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$z^{2} + 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)}^{2} = i^{2} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z_{1} = - 2 + i \\ z_{2} = - 2 - i \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} + 1 = i - 1 \\ z_{2} + 1 = - i - 1 \end{cases}$

Khi đó ta được:

$\{\begin{array}{l} {(z_{1} + 1)}^{2} = {(i - 1)}^{2} = - 2 i \\ {(z_{2} + 1)}^{2} = {(- i - 1)}^{2} = 2 i \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} {(z_{1} + 1)}^{4} = - 4 \\ {(z_{2} + 1)}^{4} = - 4 \end{cases} \Rightarrow {(z_{1} + 1)}^{100} + {(z_{2} + 1)}^{100} = {(- 4)}^{25} + {(- 4)}^{25} = 2 . {(- 2^{2})}^{25} = - 2^{51}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Vận dụng)

Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương