35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Ôn tập chương II Hình học 12 có đáp án

Câu 1:

Cho mặt cầu (S). Nếu (P) là mặt phẳng kính của mặt cầu (S) thì:

A. (P) tiếp xúc (S)

B. (P) không cắt (S)

C. (P) không đi qua tâm mặt cầu

D. (P) đi qua tâm mặt cầu

Xem đáp án

Nếu (P) là mặt phẳng kính thì $O = 0 (H \equiv O)$ hay (P) đi qua O là tâm mặt cầu.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh các cạnh nào dưới đây ta được hai hình trụ có cùng chiều cao?

A. AB và AD

B. AC và AB

C. BD và AC

D. BC và AD

Xem đáp án

Quay hình chữ nhật quanh một cạnh thì ta được hình trụ nên loại đáp án C và B vì có các đường chéo.

Do nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao khác nhau.

Do AD = BC nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao bằng nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Khi quay hình chữ nhật MNPQ quanh đường thẳng AB với A, B lần lượt là trung điểm của MN, PQ ta được một hình trụ có đường kính đáy:

A. MA

B. AB

C. MQ

D. MN

Xem đáp án

Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật MNPQ quanh đường trung bình AB ta sẽ được hình trụ có đường cao Ab, đường sinh MQ, NP và bán kính đáy MA, NA, BP, BQ, đường kính đáy MN, PQ.

Do đó đường kính đáy của hình trụ là MN

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Quay hình chữ nhật quanh trục MN ta được hình trụ có bán kính đáy là:

A. MN

B. AB

C. CM

D. AM

Xem đáp án

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta được hình trụ có chiều cao MN và đường kính đáy AB, CD hay bán kính đáy AM, MB, NC, ND.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Một hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh lần lượt là 2, 2, 1. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình hộp nói trên.

A. R=3

B. R=9

C. $R = \frac{3}{2}$

D. $R = \frac{9}{2}$

Xem đáp án

Ta có đường chéo hình hộp

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA'=2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’

A. $R = 3 a$

B. $R = \frac{3 a}{4}$

C. $R = \frac{3 a}{2}$

D. R=2a

Xem đáp án

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Do đó bán kính là:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 a}{3 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Ta có đường cao hình nón

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho hình chóp ta giác S.ABC có $\hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 °$ . Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?

A. SA

B. SB

C. SC

D. AC

Xem đáp án

Ta thấy $\hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 °$ nên các đỉnh A, B luôn nhìn cạnh SC một góc $90 °$ .

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Thể tích của khối cầu bán kính a bằng:

A. $\frac{4 {πa}^{3}}{3}$

B. $4 {πa}^{3}$

C. $\frac{{πa}^{3}}{3}$

D. $2 {πa}^{3}$

Xem đáp án

Thể tích khối cầu bán kính R = a là

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho hình nón có các kích thước r=1; h=2 với r. h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:

A. $3 π$

B. $1 + \sqrt{5} π$

C. $(\sqrt{3} + 1) π$

D. $(\sqrt{5} + 1) π$

Xem đáp án

Ta có:

Do đó

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 3a. Diện tích toàn phần của hình nón bằng

A. $18 {πa}^{2}$

B. $12 {πa}^{2}$

C. $36 {πa}^{2}$

D. $20 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Độ dài đường sinh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón:

Diện tích đáy

Diện tích toàn phần

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 12:

Số hình nón có được khi quay hình sau quanh trục BC là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Quan sát hình vẽ ta thấy, có 4 hình nón được tạo thành.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 13:

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng tạo với trục một góc $α (0 ° < α < 90 °)$ thì ta được:

A. Đường tròn

B. Hình chữ nhật

C. Hình thang cân

D. Elip

Xem đáp án

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng tạo với trục một góc $α (0 ° < α < 90 °)$ thì ta được elip

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Cho khối (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng $15 π$ . Tính thể tích V của khối nón (N)

A. $V = 12 π$

B. $V = 20 π$

C. $V = 36 π$

D. $V = 60 π$

Xem đáp án

Gọi l là đường sinh của hình nón, ta có

Diện tích xung quanh của hình nón là

Thể tích khối nón là

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Cho một khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đường tròn đáy là r. Diện tích toàn phần của hình trụ là:

A. $S_{t p} = πr (l + r)$

B. $S_{t p} = 2 πr (l + 2 r)$

C. $S_{t p} = πr (2 l + r)$

D. $S_{t p} = 2 πr (l + r)$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 16:

Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O';R), OO'=4R. Trên đường tròn tâm O lấy hai điểm A, B sao cho $A B = R \sqrt{3}$ . Mặt phẳng (P) đi qua A, B cắt OO’ và tạo với đáy một góc bằng $60 °$ . (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

A. $(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

B. $(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

C. $(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

D. $(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. ta có: IA=IB nên cân tại I, do đó

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng

Xét tam giác vuông IMO có:

=> I nằm giữa O và Ó. Do đó (P) không cắt đáy còn lại. Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R') là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $∆ O A B$ (phần gạch chéo)

Áp dụng định lí Cô sin trong tam giác OAB có:

Gọi là diện tích hình quạt

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao 15 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $\frac{1}{5}$ chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A. 0,577cm

B. 0,216cm

C. 0,325cm

D. 0,188cm

Xem đáp án

Gọi $r_{1}$ là bán kính đáy phễu, $r_{2}$ là bán kính đáy phần nước, $h_{1}, h_{2}$ là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có

Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là:

với, h là bán kính và chiều cao của hình nón không chứa nước

Ta có:

Vậy chiều cao của nước sau khi úp phễu xuống là:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

A. $(20 \sqrt[3]{7} - 10) c m$

B. $10 \sqrt[3]{7} c m$

C. $(20 - 10 \sqrt[3]{7}) c m$

D. $20 \sqrt[3]{7} c m$

Xem đáp án

Gọi thể tích của phếu là V, bán kính đáy phễu là R, bán kính của cột nước có dạng khối nón trong hình 1 là $R_{1}$ .

Ta có:

Gọi là thể tích của nước ta có:

Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là:

Gọi $V_{1}$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở hình 2, ta có:

và

Chiều cao của cột nước trong hình 2 là: $(20 - 10 \sqrt[3]{7}) c m$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có $\hat{A B C} = \hat{A D C} = 90 °$ , cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc tạo bởi SC và đáy ABCD bằng $60 °$ , CD = a và tam giác ADC có diện tích bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. $S_{m c} = 16 {πa}^{2}$

B. $S_{m c} = 4 {πa}^{2}$

C. $S_{m c} = 32 {πa}^{2}$

D. $S_{m c} = 8 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Do

Tam giác ABC và tam giác ADC vuông lần lượt tại B, D, gọi O là trung điểm của AC =>O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1)

IO là đường trung bình của tam giác SAC

Mà

Từ (1), (2) suy ra IA=IB=IC=ID (3)

Do tam giác SAC vuông tại A, I là trung điểm

Từ (3), (4) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có:

Áp dụng định lí Pitago:

Tam giác SAC vuông tại A,

Diện tích mặt cầu:

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 20:

Cho hình nón $N_{1}$ có chiều cao bằng 40 cm. gười ta cắt hình nón $N_{1}$ bằng một mặt phẳng song song với đáy của nó để được một hình nón nhỏ $N_{2}$ có thể tích bằng $\frac{1}{8}$ thể tích $N_{1}$ . Tính chiều cao h của hình nón $N_{2}$ ?

A. 20cm

B. 10cm

C. 5cm

D. 40cm

Xem đáp án

Áp dụng định lí Talet ta có:

Tỉ số thể tích giữa 2 khối nón:

Vậy chiều cao h của hình nón $N_{2}$ là: 20 cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong tam giác ABC và 2SH=BC, (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60 °$ . Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho $d (O; A B) = d (O; A C) = d (O; (S B C)) = 1$ . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $\frac{500 π}{81}$

B. $\frac{343 π}{48}$

C. $\frac{256 π}{81}$

D. $\frac{125 π}{162}$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ:

Ta có:

Mà

Theo đề bài, ta có:

Dễ dàng chứng minh được:

là phân giác góc A.

Do I là trung điểm của BC, tam giác ABC đều.

=> AI là phân giác góc A.

Suy ra A, H, I thẳng hàng, (do H nằm trong tam giác ABC)

Ta có:

Tam giác SHI vuông tại H

Tam giác AIC vuông tại I

=>AI=3HI=> H là trọng tâm tam giác đều ABC => M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.

=> S.ABC là hình chóp đều. Mà

Tam giác IOK vuông tại K:

Tam giác HIO vuông tại H:

Tam giác SHI vuông tại H:

Tam giác SCI vuông tại I:

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 22:

Cho hình trụ có chiều cao $h = a \sqrt{3}$ , bán kính đáy r=a. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy. Trên hai đường tròn đáy lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho hai đường thẳng AB và OO’ chéo nhau và góc giữa hai đường thẳng AB với OO’ bằng $30 °$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng:

A. $a \sqrt{6}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

C. $a \sqrt{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Dựng AA’ // OO’ ta có:

Gọi M là trung điểm của A’B ta có:

Xét tam giác vuông ABA’ có

Xét tam giác vuông O’MB có

Đáp án cần chọn là: D

Câu 23:

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

A. 6

B. 14

C. 12

D. 10

Xem đáp án

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại)

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R = a.

=> Phương trình mặt cầu của quả bóng là:

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho

Khi đó:

Từ (1) và (2) suy ra:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = a \sqrt{3}, B C = 2 a$ , đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc $30 °$ . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:

A. $24 {πa}^{2}$

B. $6 {πa}^{2}$

C. $4 {πa}^{2}$

D. $3 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Gọi H, H’ là trung điểm của BC và B’C’

Gọi I là trung điểm của HH’.

Mặt khác $∆ A B C$ vuông tại A,

Dễ dàng chứng minh được

hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’

Kẻ , ta có:

Có

Ta có:

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 25:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Gọi h, x lần lượt là chiều cao, độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Bán kính đường tròn nội tiếp $∆ A B C$ là thể tích khối nón nội tiếp là:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ A B C$ là thể tích khối nón nội tiếp là

Vậy tỉ số

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 26:

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích khối gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là:

A. 30%

B. 50%

C. 21%

D. 11%

Xem đáp án

Để thể tích khối gỗ cần phải đẽo đi ít nhất thì thể tích hình trụ là lớn nhất.

Hay hình trụ là hình trụ nội tiếp hình hộp và có thể tích là:

Với x là độ dài cạnh đáy hình hộp => Thể tích hình hộp là:

Suy ra thể tích cần phải đẽo là:

Vậy tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo là

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, $A B = A C = a$ và $A A' = a \sqrt{2}$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là:

A. $\frac{{πa}^{3}}{3}$

B. ${πa}^{3}$

C. $\frac{4 {πa}^{3}}{3}$

D. $4 {πa}^{3}$

Xem đáp án

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện AB’A’C là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Vậy thể tích khối cầu cần tính là:

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 28:

Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30 cm, chiều rộng 5 cm và chiều cao 6 cm. Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao h = 6 cm và bán kính đáy $r = \frac{1}{2}$ cm. Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn.

A. 150

B. 151

C. 153

D. 154

Xem đáp án

Đường kính đường tròn đáy của một viên phấn là:

Chiều rộng của hộp là 5 cm => Xếp được tối đa 5 viên phấn theo chiều rộng

Chiều dài của hộp là 30 cm => xếp được tối đa 30 viên phấn theo chiều dài.

Như vậy có thể xếp được tối đa 5.30=150 viên phấn vào hộp.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 29:

Cho hình trụ có chiều cao bằng $6 \sqrt{2}$ cm. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, CD mà AB=CD=6cm, diện tích tứ giác ABCD bằng $60 c m^{2}$ . Tính bán kính đáy của hình trụ.

A. 5cm

B. $3 \sqrt{2} c m$

C. $5 \sqrt{2} c m$

D. 4cm

Xem đáp án

Vì là hình chữ nhật =>AD=10cm

Xét hình chữ nhật ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

Dựng đường sinh AA’, ta có

Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C=2R

Xét tam giác vuông A A’C, có

Suy ra độ dài bán kính đáy của hình trụ là:

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 30:

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O. Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và M. Biết góc $\hat{A O M} = 60 °$ , góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAM) và (OAM) có số đo bằng $30 °$ và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng 2. Khi đó thể tích khối nón là:

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{27} π$

B. $\frac{256 \sqrt{3}}{9} π$

C. $\frac{256 \sqrt{3}}{27} π$

D. $\frac{32 \sqrt{3}}{9} π$

Xem đáp án

Kẻ

Vì

Mà

Ta có:

Tam giác OHK vuông tại K

Tam giác SOH vuông tại O

Tam giác OAM cân tại O,

Tam giác OHM vuông tại H

Thể tích khối nón:

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 31:

Cho hình trụ (T) có (C),(C') là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhậ kích thước 1 x 2 (như hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối trụ (T) là

A. $250 π$

B. $100 π$

C. $\frac{100 π}{3}$

D. $\frac{250 π}{3}$

Xem đáp án

Gắn hệ trục tọa độ trong mặt phẳng chứa đường tròn (C) như hình vẽ.

Phương trình đường tròn (C):

Điểm

=> chiều cao của khối trụ h=2R=10

Thể tích khối trụ là:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 32:

Cho tam giác nhọn ABC. Khi quay ABC quanh các cạnh BC, CA, AB ta được các hình tròn xoay có thể tích lần lượt là $\frac{3136 π}{5}; \frac{9048 π}{13}; 672 π$ . Tính diện tích tam giác ABC?

A. S=84

B. S=336

C. S=91

D. S=1295

Xem đáp án

Vẽ tại H, D đối xứng với A qua H.

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay $∆ A B C$ quanh cạnh BC bằng tổng thể tích hai khối nón có chung đường tròn đáy bán kính AH. Ta có:

với

Tương tự ta có:

Đặt . Theo công thức Hê rông, ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 33:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=12. Lấy một điểm M thuộc cạnh huyền BC và gọi H là hình chiếu của M lên cạnh góc vuông AB. Quay tam giác AMH quanh trục là đường thẳng AB tạo thành mặt nón tròn xoay (N), hỏi thể tích V của khối nón tròn xoay (N) lớn nhất là bao nhiêu?

A. $V = \frac{128 π}{3}$

B. $V = 256 π$

C. $V = \frac{256 π}{3}$

D. $V = 72 π$

Xem đáp án

Quay tam giác vuông AMH quanh trục AB ta được khối nón có đỉnh A, bán kính đáy HM và đường cao AH, khi dó ta có thể tích của khối nón tròn xoay (N) là:

Đặt ta có $∆ B H M$ vuông cân tại H nên

Khi đó

Xét hàm số

Đáp án cần chọn là: C

Câu 34:

Tứ diện ABCD có $A B = 2, C D = 2 \sqrt{2}$ $\hat{A B C} = \hat{D A B} = 90 °$ và góc giữa AD, BC bằng $45 °$ . Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Dựng hình chữ nhật ABED. Ta có mặt cầu tâm I ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng phải đi qua điểm E.

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDE.

Ta có

Vì

Dựng tam giác vuông cân COE trong mặt phẳng (BCE) sao cho B và O nằm cùng phía với CE

Ta chứng minh được O là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ B C E$ . Dựng hình chữ nhật MEOI với M là trung điểm DE thì I là giao điểm của mặt phẳng trung trực của DE với trục của đường tròn ngoại tiếp $∆ B C E$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDE.

Ta có:

(vì tam giác CED vuông tại E)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{2}; \hat{B A C} = 45 °$ . Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng a. Tính độ dài cạnh BC.