30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao (P4)

Câu 1:

Tính tích phân sau : $J = \int_{0}^{2 π} \ln (\sin x + \sqrt{1 + \sin^{2} x}) d x$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $x = π - t \Rightarrow J = \int_{- π}^{π} \ln (\sin t + \sqrt{1 + \sin^{2} t}) d t$

(*)

Đặt t = -u ta có:

Thay vào (*) suy ra J = 0.

Câu 2:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos x d x$

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D.2

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt u = sinx. Ta có du = cosx.dx

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u (0) = 0; x = \frac{π}{2} \Rightarrow u (\frac{π}{2}) = 1$

Khi đó

Câu 3:

Tính tích phân sau : $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \ln (1 + \sqrt{3} \tan x) d x$

A. $\frac{πln 2}{3}$

B. $\frac{πln 2}{3} - 2$

C. $\frac{πln 2}{3} + 1$

D. $\frac{πln 2}{3} - 1$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $x = \frac{π}{3} - t$

Suy ra

Câu 4:

Giả sử $\int_{0}^{2} \frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3} d x = a \ln 5 + b \ln 3; a, b \in ℚ$ . Tính P = ab.

A. P = 8.

B. P = -6.

C. P = -4.

D. P = -5.

Xem đáp án

Chọn B.

Suy ra: a = 2, b = -3.

Do đó P = ab = -6.

Câu 5:

Có bao nhiêu số $a \in (0; 20 π)$ sao cho $\int_{0}^{a} \sin^{5} x . \sin 2 x d x = \frac{2}{7}$

A. 9.

B. 10.

C. 19.

D. 20.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

Vậy có 10 giá trị của k.

Câu 6:

Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn $\int_{0}^{m} \frac{x^{2}}{x + 1} d x = \ln 2 - \frac{1}{2}$

A. m = 3.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m > 3.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

Câu 7:

Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và $\int_{a}^{b} x \sin x d x = π$ đồng thời a cos a = 0 và $b \cos b = - π$ .Tính tích phân $\int_{a}^{b} \cos x d x$ .

A. $I = - π .$

B. $I = π .$

C. $I = \frac{145}{12}$ .

D. I = 0.

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \sin x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}$

Câu 8:

Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn $[\frac{π}{4}; 2 π]$ thỏa mãn $\int_{0}^{a} \frac{\sin x d x}{\sqrt{1 + 3 \cos x}} = \frac{2}{3}$

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $t = \sqrt{1 + 3 \cos x} \Rightarrow t^{2} = 1 + 3 \cos x \Rightarrow 2 t d t = - 3 \sin x d x \Rightarrow \sin x d x = \frac{- 2}{3} t d t$

Suy ra :

Nghĩa là có 2 giá trị a thỏa mãn bài toán

Câu 9:

Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{2} (|x| - |x - 1|) d x$ ta được kết quả:

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 10:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} |3^{x} + x - 4| d x$ ta được kết quả $I = a + \frac{b}{\ln c}$ ( với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức $T = a^{3} + 3 b^{2} + 2 c$ bằng:

A. 55

B. 36

C. 38

D. 73

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $h (x) = 3^{x} - (4 - x) = 3^{x} + x - 4$

Bảng xét dấu

Câu 11:

Biết rằng $\int_{0}^{1} 3 e^{\sqrt{1 + 3 x}} d x = \frac{a}{5} e^{2} + \frac{b}{3} e + c (a, b, c, \in ℤ)$ . Tính $T = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$ .

A. T = 6.

B. T = 9.

C. T = 10.

D. T = 5.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $t = \sqrt{1 + 3 x} \Rightarrow t^{2} = 3 x + 1 \Rightarrow 2 t d t = 3 d x$

Đổi cận: x = 0 => t = 1, x = 1 => t = 2

Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ , thỏa mãn $f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và f’(x) + 2f(x) = 0. Tính f(-1), biết rằng f(1) = 1.

A. $e^{- 2}$

B. $e^{3}$

C. $e^{4}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $f' (x) + 2 f (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = - 2 f (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f (x)} = - 2 d o f (x) > 0$

Lấy tích phân hai vế, ta được

Câu 13:

Biết rằng $\int e^{2 x} \cos 3 x d x = e^{2 x} (a \cos 3 x + b \sin 3 x) + c$
trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

A. $- \frac{1}{13}$

B. $- \frac{5}{13}$

C. $\frac{5}{13}$

D. $\frac{1}{13}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $f (x) = e^{2 x} (a \cos 3 x + b \sin 3 x) + c$

Ta có $f' (x) = (2 a + 3 b) e^{2 x} \cos 3 x + (2 b - 3 a) e^{2 x} \sin 3 x$

Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số $e^{2 x} \cos 3 x$ , điều kiện là

$f' (x) = e^{2 x} \cos 3 x \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + 3 b = 1 \\ 2 b - 3 a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = \frac{2}{13} \\ b = \frac{3}{13} \end{array} \Rightarrow a + b = \frac{5}{13}$

Câu 14:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ thì $I = \int_{1}^{2} [3 f (x) - 2] d x$ bằng bao nhiêu?

A. I = 2.

B. I = 3.

C. I = 4.

D. I = 1.

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 15:

Tính tích phân sau: $J = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{\ln (9 - x)}}{\sqrt{\ln (x + 3)} + \sqrt{\ln (9 - x)}} d x$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Đặt x = 6 - t $\Rightarrow$ dx = -dt

Câu 16:

Tính tích phân sau: $K = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \frac{{(1 + \sin x)}^{1 + \cos x}}{1 + \cos x} d x$

A. 2ln3-1

B. 3ln2-1

C. 2ln2-1

D. 2ln2

Xem đáp án

Chọn C
Ta có $K = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos x) \ln (1 + \sin x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (1 + \cos x) d x$

Đặt

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (1 + \cos x) \\ d v = \sin x d x \end{cases}$ ta chọn $\{\begin{cases} d u = \frac{- \sin x}{1 + \cos x} d x \\ v = - \cos x \end{cases}$

Câu 17:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3} + 11 x - 6, y = 6 x^{2}$ , x = 0, x = 2. (Đơn vị diện tích)

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{18}{23}$

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $h (x) = (x^{3} + 11 x - 6) - 6 x^{2} = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 h (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \lor x = 2 \lor x = 3 (l o ạ i)$

Bảng xét dấu

Câu 18:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng $x = \frac{π}{2}; x = \frac{3 π}{2}$ .

A. $\sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. 1.

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt f₁(x) = cosx, f₂(x) =sinx ;

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 <=> cosx - sinx = 0 <=> $x = \frac{5 π}{4} \in [\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]$

Diện tích hình phẳng đã cho là:

Câu 19:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (H) : $\{\begin{cases} y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 \\ \begin{matrix} y = 1 - x \\ x = 0, x = 2 \end{matrix} \end{cases}$

A. 1

B. $\frac{3}{2}$

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 20:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

A. 1

B. ln2

C. 2

D. 1-ln2

Xem đáp án

Chọn D.

(Đồ thị giao với trục hoành tại điểm $(- \frac{1}{2}; 0)$ , trục tung : x = 0.

Diện tích hình cần tìm là

Câu 21:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = e^{x}; y = 2$ và đường thẳng x =1

A.e-2

B.2ln2-4

C.e+2ln2

D.e+2ln2-4

Xem đáp án

Chọn D.

Giải PT : $e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = \ln 2$ Diện tích hình phẳng cần tìm là :

Câu 22:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox; giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng $x = \frac{π}{2}, x = π$

A. $\frac{π^{2}}{4}$

B. $\frac{π^{2} - 1}{2}$

C. $\frac{π^{2} + 1}{3}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

Câu 23:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx, y = 0, x = 0 , $x = \frac{π}{4}$

A. $\frac{π}{2} (\frac{π}{4} + 2)$

B. $\frac{π}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2})$

C. $\frac{π}{2} (\frac{π}{4} + 1)$

D. $\frac{π}{2} (\frac{π}{2} + 2)$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

Câu 24:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x e^{x}$ , y = 0, x = 0, x = 1

A. $\frac{π}{4} (e^{2} - 1)$

B. $\frac{π}{4} (e^{2} + 1)$

C. $\frac{π}{2} (e^{2} - 1)$

D. $\frac{π}{2} (e^{2} + 1)$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có : $V = π \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} dx$ Đặt $\{\begin{array}{l} u = x^{2} \\ d v = e^{2 x} d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 x d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{cases}$