30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao (P5) - qa.haylamdo.com

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao (P5)

11180 lượt thi
30 câu hỏi
30 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = $\sqrt{3}$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( $0 \leq x \leq \sqrt{3}$ ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và $\sqrt{1 + x^{2}}$

A. 1

B. 2

C. 7/3

D. 3

Chọn C.

Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là:

S(x) = x $\sqrt{1 + x^{2}}$ nên thể tích cần tính là:

Câu 2:

Cho parabol (P): y= $x^{2} + m$ . Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) qua O có hệ số góc k > 0. Xác định m để thể tích vật thể được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Oy quay quanh trục Oy bằng 6 $π$ .

A. m = 4

B. m = 5

C. m = 6

D. m = 7

Chọn C.

Tiếp tuyến (d) qua O có dạng y = kx, k > 0. (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ $x_{0}$

khi hệ $\{\begin{cases} x_{0}^{2} + m = k x_{0} \\ 2 x_{0} = k > 0 \end{cases}$ có nghiệm $x_{0}$ tức là phương trình $x_{0}^{2} = m$ có nghiệm $x_{0} > 0 h a y$

$x_{0} = \sqrt{m} v à m \geq 0$ suy ra k = $2 \sqrt{m}$

Phương trình (d): y = 2 $\sqrt{m} x$

Mà V = 6 $π$ suy ra m = $\pm$ 6 mà m $\geq$ 0 suy ra m = 6

Vậy m = 6 thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2}}{4}$ trong miền $x \geq 0, y \leq 1$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Khi đó b - a bằng

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Chọn D

Ta có

Vậy a = 5; b = 6 bà b - a = 1

Câu 4:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \{\begin{cases} - x, n ế u x \leq 1 \\ x - 2, n ế u x > 1 \end{cases}$ và y = $\frac{10}{3} x - x^{2}$ là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) . Khi đó a + 2b bằng

A. 16

B. 15

C. 17

D. 18

Chọn C.

Ta có $\frac{10}{3} x - x^{2} = - x \Rightarrow x = 0 \frac{10}{3} x - x^{2} = x - 2 \Rightarrow x = 3$

Suy ra a=13 ; b=2 và a+2b=17.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16, $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ . Tính I = $\int_{0}^{1} x f' (2 x) d x$

A. 13.

B.12.

C.20.

D.7.

Chọn D.

Đặt t = 2x => dt = 2dx, Đổi cận x = 0 <=> t = 0, x = 1 <=> t = 2

I = $\frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f' (t) d t$

Đặt $\{\begin{cases} u = t \Rightarrow d u = d t \\ d v = f' (t) d t \Rightarrow v = f (t) \end{cases}$

I = $\frac{1}{4} (t f (t) \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - \int_{0}^{2} f (t) d t) = \frac{1}{4} (2 f (2) - 0 f (0) - 4) = 7$

Câu 6:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\tan x) d x$ = 4 và $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} f (x)}{x^{2} + 1} d x = 2$ , tính tích phân I = $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. 6

B. 2

C. 3

D. 1

Chọn A.

Đặt t = tan x => dt = (1+ $\tan^{2}$ x) dx => $\frac{d t}{1 + t^{2}} = d x$

Đổi cận x = 0 => t = 0 và x = $\frac{π}{4} \Rightarrow t = 1$

Câu 7:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = xsin2x, y = 2x, $x = \frac{π}{2}$

A. $\frac{π^{2}}{4} - 4$

B. ${π^{2}}^{} - π$

C. $\frac{π^{2}}{4} - \frac{π}{4}$

D. $\frac{π^{2}}{4} + \frac{π}{4}$

/

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: x sin 2x = 2x $\Leftrightarrow$ x (sin2x-2) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc sin2x = 2 (VN)

Câu 8:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 4 x + 6$ và y = $- x^{2} - 2 x + 6$

A. 3 $π$

B. $π - 1$

C. $π$

D. 2 $π$

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 4 x + 6 = - x^{2} - 2 x + 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x = 0$ $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x =1

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = $x^{2} - 4 x + 6, y = - x^{2} - 2 x + 6$ là

Câu 9:

Biết là $\int_{\frac{2 π}{3}}^{π} \frac{1 - x \tan x}{x^{2} \cos x + x} d x = \ln |\frac{π - a}{π - b}|$ ( a,b $\in ℤ$ ). Tính P = a + b.

A. P = 2

B. P = -4

C. P = 4

D. P = -2

Chọn C.

Đặt t = xcosx => dt = (cosx – x sinx)dx

Do đó P = a + b = 3 + 1 = 4.

Câu 10:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = $\sqrt{3} x^{2}$ và nửa đường tròn có phương trình y = $\sqrt{4 - x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 2$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

A. $\frac{2 π + 5 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{4 π + 5 \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{4 π + \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{2 π + \sqrt{3}}{3}$

Chọn D.

Hoành độ giao điểm của (P) và ( C) là nghiệm của $\sqrt{3} x^{2} = \sqrt{4 - x^{2}}$ <=> x = 1 hoặc x = -1

Khi đó, diện tích cần tính là H = 2. ( $\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x - \int_{0}^{1} \sqrt{3} x^{2} d x$ ) = $\frac{2 π + \sqrt{3}}{3}$

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 12 và $\int_{1}^{4} f' (x) d x = 17$ .Giá trị của f(4) bằng

A. 29

B. 5

C. 19

D. 9

Chọn A.

Ta có $\int_{1}^{4} f' (x) d x = f (4) - f (1) \Rightarrow f (4) = f (1) + 17 = 29$

Câu 12:

Cho $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} d x = a \sqrt{b} - \frac{8}{3} \sqrt{a} + \frac{2}{3} (a, b \in ℕ^{*})$ .Tính a + 2b

A. a + 2b = 7

B. a + 2b = 8

C. a + 2b = -1

D. a + 2b = 5

Chọn B.

Theo giả thiết:

Câu 13:

Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) = $\frac{2000}{1 + x}$ và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

A. 10130.

B. 5130.

C. 5154.

D. 10132.

Chọn A.

Ta có $\int_{0}^{12} \frac{2000}{1 + x} d x = 2000 \ln |1 + x| \begin{matrix} 12 \\ 0 \end{matrix} = 2000 \ln 13 = N (12) - N (0)$

=> N(12) = 2000 ln13+ 5000 $\approx 10130$

Câu 14:

Cho $\int_{1}^{2} f (x^{2} + 1) x d x = 2$ . Khi đó I = $\int_{2}^{5} f (x) d x$ bằng

A. 2.

B. 1.

C. -1.

D. 4.

Chọn D.

Đặt t = $x^{2} + 1 \to d t = 2 x d x, \{\begin{cases} x = 1 \to t = 2 \\ x = 2 \to t = 5 \end{cases}$

Câu 15:

Biết $\int_{a}^{b} (2 x - 1) d x = 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. b - a = 1

B. $a^{2} - b^{2} = a - b + 1$

C. $b^{2} - a^{2} = b - a + 1$

D. a - b = 1

Chọn C.

Ta có

Câu 16:

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 2f(x) + 3f(1-x) = $\sqrt{1 - x^{2}}$ .Tính I = $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{6}$

C. $\frac{π}{20}$

D. $\frac{π}{16}$

Chọn C.

Ta có

Câu 17:

Cho hàm số y = f(x) có $1 \leq f' (x) \leq 4$ với mọi $x \in [2; 5]$ . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $3 \leq f (5) - f (2) \leq 12$

B. $- 12 \leq f (5) - f (2) \leq 3$

C. $1 \leq f (5) - f (2) \leq 4$

D. $- 4 \leq f (5) - f (2) \leq - 1$

Chọn A.

Đầu tiên ta phải nhận dạng được f(5) - f(2) = $\int_{2}^{5} f' (x) d x$

Vậy $3 \leq f (5) - f (2) \leq 12$

Câu 18:

Cho m thỏa mãn $\int_{1}^{2} [m^{2} + (4 - 4 m) x + 4 x^{3}] d x = \int_{2}^{4} 2 x d x$ . Nghiệm của phương trình $\log_{3} (x + m) = 1$ là:

A. x = 0.

B. x = 1.

C. x = 2.

D. x = 3.

Chọn A.

và $\int_{2}^{4} 2 x d x = x^{2} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}$ = 12

Suy ra: m² – 6m + 21 = 12 $\Leftrightarrow$ m² – 6m + 9 = 0 $\Leftrightarrow$ m = 3

Khi đó: $\log_{3} (x + 3) = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 3 \Leftrightarrow x = 0$

Câu 19:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{5} \frac{1}{x \sqrt{3 x + 1}} d x$ được kết quả I = aln3 + bln5 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a² + ab + 3b² là

A. 4.

B. -1.

C. 0.

D. 5.

Chọn D.

Đặt $t = \sqrt{3 x + 1} \to t^{2} = 3 x + 1 \Rightarrow \{\begin{array}{l} d x = \frac{2}{3} t d t \\ x = \frac{t^{2} - 1}{2} \end{array}$ Đổi cận $\{\begin{cases} x = 1 \to t = 2 \\ x = 5 \to t = 4 \end{cases}$

Suy ra a = 2; b = -1 ⇒ a² + ab + 3b² = 5.

Câu 20:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3$ . Tính $\int_{2}^{4} f (\frac{x}{2}) d x$

A. -6.

B. $\frac{- 3}{2}$ .

C. -1.

D. 5.

Chọn A.

Cách 1: Đặt t = $\frac{x}{2}$ ⇒ 2t = x ⇔ dx = 2dt

Khi đó $\int_{2}^{4} f (x) d x = 2 \int_{1}^{2} f (t) d t = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x = 2 . (- 3) = - 6$

Cách 2: Chọn f(x) = -3 thỏa mãn $\int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{2} (- 3) d x = - 3 x \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = - 3$

Suy ra $\int_{2}^{4} f (\frac{x}{2}) d x = \int_{2}^{4} (- 3) d x = - 6$

Câu 21:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1} (x + 1) f' (x) d x = 10$ và 2f(1) – f(0) = 2. Tính I = $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. I = -12.

B. I = 8.

C. I = 12.

D. I = -8.

Chọn D.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x + 1 \\ d v = f' (x) d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \int_{}^{} f' (x) d x = f (x) \end{cases}$

⇔ 10 = 2f(1) – f(0) – I ⇔ 10 = 2 – I ⇔ I = -8.

Câu 22:

Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và $\int_{0}^{2} F (x) g (x) d x$ = 3 . Tính tích phân hàm: $\int_{0}^{2} G (x) f (x) d x$

A. I = 3.

B. I = 0.

C. I = -2.

D. I = -4.

Chọn C.

Đặt $\{\begin{array}{l} u = G (x) \\ d v = f (x) d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = G (x)' d x = g (x) d x \\ v = \int_{}^{} f (x) d x = F (x) \end{cases}$

Suy ra:

= G(2)F(2) – G(0)F(0) – 3 = 1 – 0 – 3 = -2.

Câu 23:

Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = \frac{3^{x} - 1}{(3^{- x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}}$ ; y = 0; x=1

A. $\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln 3}$

B. $\frac{2 (2 \sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$

C. $\frac{(3 - 2 \sqrt{2})}{\ln 3}$

D. $\frac{(2 \sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$

Chọn A.

Ta có: $\frac{3^{x} - 1}{(3^{- x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}} = 0 \Leftrightarrow 3^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ . Rõ ràng $\frac{3^{x} - 1}{(3^{- x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}} \geq 0$ với mọi x ∈ [0; 1]

Do đó diện tích của hình phẳng là S = $\int_{0}^{1} \frac{3^{x} - 1}{(3^{- x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}} d x$ = $= \int_{0}^{1} \frac{3^{x} - 1}{(3^{x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}} . 3^{x} d x$

Đặt t = $\sqrt{3^{x} + 1}$ , ta có khi x = 0 thì t = $\sqrt{2}$ , khi x = 1 thì t = 2 và 3^x = t² - 1

Suy ra 3^x ln3dx = 2tdt, hay $3^{x} d x = \frac{2 t d t}{\ln 3}$ . Khi đó ta có

Câu 24:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² , y = 4x - 4 và y = -4x - 4

A) 6/3

B) 16/3

C) 26/3

D) 16/9

Chọn B.

Ta thấy đường thẳng y = -4x - 4 và đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2.

Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x² nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng:

S = $2 \int_{0}^{2} [x^{2} - (4 x - 4)] d x = 2 \int_{0}^{2} {(x - 2)}^{2} d x = 2 \frac{{(x - 2)}^{3}}{3} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} = \frac{16}{3}$

Câu 25:

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (x - 1)lnx và y = x - 1.

A. $\frac{e^{2} - 4 e + 5}{4}$

B. $\frac{3 e^{2} - 2 e + 5}{2}$

C. $\frac{7 e^{2} - e + 2}{3}$

D. $\frac{4 e^{2} + 3 e - 2}{5}$

Chọn A.

+) Xét phương trình: (x - 1)lnx = x - 1 ⇔ x = 1 hoặc x = e.

+ ) Diện tích cần tìm là:

Câu 26:

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y=(e+1)x; y = (e^x + 1)x

A. $\frac{e}{5} - \frac{19}{100}$

B. $\frac{2 e}{3} - \frac{73}{50}$

C. $\frac{e}{3} - \frac{11}{20}$

D. $\frac{e}{2} - 1$

Chọn D.

Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình (e+1)x = $(1 + e^{x}) x$ <=> x = 0 hoặc x =1

Diện tích cần tính là S = $|\int_{0}^{1} x e^{x} d x - \int_{0}^{1} e x d x| = |\int_{0}^{1} x d (e^{x}) - e \int_{0}^{1} x d x|$

Câu 27:

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (x - 1)ln(x + 1) và trục hoành

A. 3 – 2ln2

B. $- \frac{3}{4} + 2 \ln 2$

C. $- \frac{5}{4} + 2 \ln 2$

D. 4 + ln2

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:

(x – 1) ln(x + 1) = 0 <=> x = 1 hoặc x = 0

→ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x – 1) ln(x = 1) và trục hoành là

Đặt $\{\begin{array}{l} u = \ln (x + 1) \\ d v = (1 - x) d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} d x \\ v = \frac{2 x - x^{2}}{2} \end{cases}$

= $\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{5}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$ = $\frac{- 5}{4} + 2 \ln 2$

Câu 28:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = $\frac{1}{1 + \sqrt{4 - 3 x}}$

Và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox

A. $\frac{2}{9} (6 \ln \frac{3}{2} - 1)$

B. $\frac{1}{9} (6 \ln \frac{3}{2} - 1)$

C. $\frac{π}{9} (6 \ln \frac{3}{2} - 1)$

D. $\frac{π}{3} (6 \ln \frac{3}{2} + 1)$

Chọn C

Thể tích khối tròn xoay là V = $π \int_{0}^{1} \frac{1}{{(1 + \sqrt{4 - 3 x})}^{2}} d x$

Đặt t = $\sqrt{4 - 3 x}$ , ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x = $\frac{4 - t^{2}}{3}$ nên dx = - $\frac{2 t}{3} d t$

Khi đó ta có:

Câu 29:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = $\sqrt{x (3^{x} + 1)}$ trục hoành và x = 1 xung quanh trục hoành.

A. $π (\frac{3}{\ln 3} - \frac{2}{\ln^{2} 3} + \frac{1}{2})$

B. $(\frac{3}{\ln 3} - \frac{2}{\ln^{2} 3} + \frac{1}{2})$

C. $\frac{π}{2} (\frac{5}{\ln 3} - \frac{5}{\ln^{2} 3} + \frac{1}{3})$

D. $\frac{1}{3} (\frac{5}{\ln 3} - \frac{5}{\ln^{2} 3} + \frac{1}{2})$

Chọn A.

Ta có $\sqrt{x (3^{x} + 1)} \geq 0 \forall x \geq 0$ và $\sqrt{x (3^{x} + 1)} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:

Tính $\int_{0}^{1} x 3^{x} d x$ . Đặt u = x , dv = $3^{x} d x . s u y r a d u = d x, v = \frac{3^{x}}{\ln 3}$

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

Thay vào (1) ta được : V = $π (\frac{3}{\ln 3} - \frac{2}{\ln^{2} 3} + \frac{1}{2})$

Câu 30:

Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x² và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy.

A. $\frac{12 π}{13}$

B. $\frac{8 π}{3}$

C. $\frac{2 π}{9}$

D. $\frac{π}{15}$

Chọn B.

0 ≤ x ≤ 2 thì y = 2x – $x^{2}$ ⇔ $x^{2}$ – 2x + y = 0

Phương trình bậc hai theo y. Ta có $△' = 1 - y, y \leq 1$

$V_{y} = π \int_{0}^{1} [{(1 + \sqrt{1 - y})}^{2} - {(1 - \sqrt{1 - y})}^{2}] d y = 4 π \int_{0}^{1} \sqrt{1 - y} d y$

Đặt u = $\sqrt{1 - y} \Rightarrow u^{2} = 1 - y \Rightarrow 2 u d u = - d y$

Đổi cận : khi y = 1 => u = 0; khi y = 0 => u = 1

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương