25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P4)

Câu 1:

Biết $\int_{1}^{4} f (x) = 6$ và $\int_{4}^{5} f (x) d x = 10$ , khi đó $\int_{1}^{2} f (4 x - 3) d x - \int_{0}^{\ln 2} f (e^{2 x}) e^{2 x} d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 2:

Cho $\int_{1}^{e} [\frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x {(\ln x + 2)}^{2}}] d x = a \ln 3 + b \ln 2 + \frac{c}{3}$ với $a, b, c \in Z$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

$I = \int_{1}^{e} [\frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x {(\ln x + 2)}^{2}}] d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x {(\ln x + 2)}^{2}} d x = D + E D = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = {\ln x}_{1}^{e} = 1 E = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x {(\ln x + 2)}^{2}} d x Đ ặ t \ln x + 2 = t \Leftrightarrow \frac{d x}{x} = d t Đ ổ i c ậ n : x = 1 \Rightarrow t = 2; x = e \Rightarrow t = 3 \Rightarrow E = \int_{2}^{3} \frac{t - 2}{t^{2}} d t = \int_{2}^{3} (\frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}) d t = {\ln t + \frac{2}{t}}_{2}^{3} = \ln 3 + \frac{2}{3} - \ln 2 - 1 = \ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{3} \Rightarrow I = 1 + \ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{3} = \ln 3 - \ln 2 + \frac{2}{3} \Rightarrow a = 1; b = - 1; c = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 + 1 + 4 = 6$

Câu 3:

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{3} x \cos x$ Giá trị của biểu thức $F (\frac{π}{2}) - F (0)$ bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 4:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0; \frac{3 π}{2}]$ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 5, \int_{- π}^{π} f (x) d x = 2$ Khi đó giá trị của $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{π}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 5:

Để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3 a x + 2 a^{2}, a > 0$ và trục hoành có diện tích bằng 36 thì

Xem đáp án

Đáp án A.

$T a c ó ∆ = 9 a^{2} - 8 a^{2} = a^{2} \Rightarrow 36 = \sqrt{\frac{{(a^{2})}^{3}}{36}} \Leftrightarrow a = 6$

Câu 6:

Biết $\int_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{{(x + 3)}^{2}} d x = \ln \frac{a}{b} - \frac{c}{d} (a, b, c, d \in Z)$ Giá trị của biểu thức a+b+c+d bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 7:

Cho $F (x) = 4^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $2^{x} . f (x)$ Tích phân $\int_{0}^{1} \frac{f' (x)}{\ln^{2} 2} d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 8:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (P): $y = \sqrt{3} x^{2}$ cung tròn $y = \sqrt{4 - x^{2}} (0 \leq x \leq 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H)xung quanh trục Ox bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 9:

Công thức nào dưới đây là công thức tính tích phân từng phần?

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 10:

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)= ${(\sin x + \cos x)}^{2}$ là

Xem đáp án

Đáp án D.

$f (x) = {(sinx + cosx)}^{2} = 1 + 2 sinxcosx = 1 + \sin 2 x \Rightarrow \int f (x) dx = \int (1 + \sin 2 x) dx = x - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Câu 11:

Biết $\int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x (x - \sqrt{x^{2} - 1}) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{3} (a, b \in Z)$ Tính S=a+b.

Xem đáp án

Đáp án B.

$I = \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x (x - \sqrt{x^{2} - 1}) d x = \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x^{2} d x - \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x \sqrt{x^{2} - 1} d x = C - D C = \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x^{2} d x = {\frac{2}{3} x^{3}}_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{- 2 + 4 \sqrt{2}}{3} D = \int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x \sqrt{x^{2} - 1} d x = \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{x^{2} - 1} d (x^{2} - 1) = {\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow I = \frac{- 2 + 4 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4 \sqrt{2} - 4}{3} \Rightarrow a = 4; b = - 4 \Rightarrow a + b = 4 - 4 = 0$

Câu 12:

Cho hàm f(x) liên tục trên R và $\int_{0}^{1} x . f (x) d x = 5$ Tích phân $- \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\cos 2 x) d (\cos 4 x)$ bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

$I = \frac{- 1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\cos 2 x) d (\cos 4 x) = \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\cos 2 x) \sin 4 xdx = \int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 f (\cos 2 x) . \cos 2 x . \sin 2 xdx Đặt \cos 2 x = t \Leftrightarrow - 2 \sin 2 xdx = dt Đổi cận : x = 0 \Rightarrow t = 1; x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 0 \Rightarrow I = - \int_{1}^{0} f (t) . t d t = \int_{0}^{1} t . f (t) d t = \int_{0}^{1} x . f (x) d x = 5$

Câu 13:

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \tan x, x = 0, x = \frac{π}{3}$ và trục hoành bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 14:

Biết $F (x) = a \ln | x - 1 | + b \ln | x - 2 | (a, b \in Z)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 2)}$ . Giá trị của biểu thức b-a bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 15:

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $\int_{1}^{e} F (x) d (\ln x) = 3$ và $F (e) = 5$ Tích phân $\int_{1}^{e} \ln x . f (x) d x$ bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 16:

Họ nguyên hàm của hàm $f (x) = e^{2 x} - \frac{1}{x} + \ln x (x > 0)$ là

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 17:

Cho $\int_{\ln 2}^{\ln 3} (\frac{1}{x} + 3) d x = \ln (a \log_{b} c)$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 18:

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}; y = 0; x = 1; x = a, (a > 1)$ Tìm a để V = 2.