Đáp án A

+ Với m = 0 thì ta có hàm số $y=3x^2-1$ có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên $\Rightarrow$ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.

+ Với $m\ne 0$ ta có hàm trùng phương $y=m{x}^4+(m+3)x^2+2m-1$

$\Rightarrow y\text{'}=4m{x}^3+2(m+3)x=x\left(4m{x}^2+2m+6\right)$; $y\text{'}\text{'}=12m{x}^2+2(m+3)$

Xét phương trình $y\text{'}=0\iff x\left(4m{x}^2+2m+6\right)\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=\frac{-m-3}{2m} \left(2\right)\end{array}\right.$

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.

$\iff \frac{-m-3}{2m}\le 0\iff \frac{m+3}{2m}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\le -3\\ m>0\end{array}\right.$

Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)>0$, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)

Với m < - 3 thì $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)<0$, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)

Với m = - 3 thì $y\text{'}=-12x^3=0\iff x=0$ và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0

Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)

Vậy $m\le -3$

Đáp án C

TXĐ: D = R

$y\text{'}=-x^2+\frac{2}{3}mx\Rightarrow y\text{'}\text{'}=-2x+\frac{2}{3}m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(2\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(2\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-2^2+\frac{2}{3}m.2=0\\ -2.2+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-4+\frac{4}{3}m=0\\ -4+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=3\\ m<6\end{array}\right.\iff m=3 \end{gathered}$$

Đáp án D

TXĐ: D = R

Ta có: $y\text{'}=3x^2-4mx+m^2\Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x-4m$

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+3=0\\ 6-4m>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m=1;m=3\\ m<\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=1 \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}y\text{'}=12x^2+2mx-12\\ y\text{'}\text{'}=24x+2m\end{array}\right.$

Từ giả thiết bài toán ta có $y\text{'}(-2)=48-4m-12=0\iff m=9$

Thay vào $y\text{'}\text{'}\left(-2\right)=-48+2m=-48+18=-30<0$

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x = - 2

Vậy không có giá trị m thỏa mãn.

Đáp án B

$$\begin{gathered} y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3 \\ y\text{'}=3x^2-\left(6m+2\right)x+m^2+3m+2 \end{gathered}$$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_1{x}_2<0$, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y' = 0

$$\begin{gathered} \iff 3\left(m^2+3m+2\right)<0\iff m^2+3m+2<0 \\ \iff -2<m<-1 \end{gathered}$$

Đáp án C

$y\text{'}=x^2-2mx+2m-4$

Để hàm số có cực đại cực tiểu $\iff \Delta \text{'}>0,\forall m\iff m^2-2m+4>0,\forall m$

Khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=2m-4\end{array}\right.$

Ta có: $x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+10$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2-x_1.x_2-10=0 \\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1.x_2-10=0 \\ \iff {\left(2m\right)}^2-3.\left(2m-4\right)-10=0 \\ \iff 4m^2-6m+2=0\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

TXĐ: D = R

Ta có hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có đạo hàm là $y\text{'}=2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)$

Cho $y\text{'}=0\iff 2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)=0$

$\Rightarrow x^2-mx-3m^2+1=0 \left(1\right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \Delta =m^2+3m^2-1>0 \\ \iff 4m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>\frac{1}{2}\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó hai điểm cực trị $x_1,x_2$ của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lí Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=1-3m^2\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1 \\ \iff 1-3m^2+2m=1 \\ \iff 3m^2-2m=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(ktm\right)\\ m=\frac{2}{3}\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

Xét phương trình $y\text{'}=3x^2-6x+m=0$ (*). Hàm số có 2 cực trị $\iff$ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=9-3m>0\iff m<3$

Ta có $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (*), theo Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=\frac{m}{3}\end{array}\right.$

Khi đó $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=13$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=13 \\ \iff 2^2-3.\frac{m}{3}=13\iff m=-9 \end{gathered}$$

Vậy $m\in \left(-15;-7\right)$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x+3m$

Hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2 $\iff y\text{'}$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1<x_2<2$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ a.f\left(2\right)>0\\ \frac{S}{2}<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}9-9m>0\\ 3.\left({3.2}^2-6.2+3m\right)>0\\ 1<2\left(\forall m\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m<1\\ m>0\end{array}\right.\iff 0<m<1 \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\iff pty\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff m>0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m}\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: $A\left(0;2\right);B\left(-\sqrt{m};2-m^2\right),C\left(\sqrt{m};2-m^2\right)$

$\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right).\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m};-m^2\right)$

Dễ thấy $\Delta ABC$ cân tại A, để $\Delta ABC$ vuông cân thì nó phải vuông tại A

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -m+m^4=0 \\ \iff m\left(m^3-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m^3-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 cực trị.

$\iff y\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

$\iff \left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\iff m>0$

Gọi ba điểm cực trị của hàm số lần lượt là: $A\left(0;a\right);B\left(-\sqrt{m};b\right),C\left(\sqrt{m};c\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} + x=0\iff A\left(0;3m+2\right) \\ + x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m.{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+3m+2 \\ =m^2+2m^2+3m+2 \\ =-m^2+3m+2\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \\ + x=\sqrt{m}\iff y=-m^2+3m+2 \\ \Rightarrow C\left(\sqrt{m};-m^2+3m+2\right) \end{gathered}$$

Ta luôn có: AB = AC nên tam giác ABC đều

$$\begin{gathered} \iff AB=BC\iff A{B}^2=B{C}^2 \\ \iff {\left(-\sqrt{m}\right)}^2+{\left(-m^2\right)}^2={\left(2\sqrt{m}\right)}^2+0^2 \\ \iff m+m^4=4m\iff m^4-3m=0 \\ \iff m\left(m^2-3\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\sqrt[3]{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện $m>0\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}$

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=\frac{9}{2}{x}^3+6\left(m-3\right)x;y\text{'}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 3x^2=4\left(3-m\right)(*)\end{array}\right.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff 4\left(3-m\right)>0\iff m<3$

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$$\begin{gathered} A\left(0;4m+2017\right), \\ B\left(2\sqrt{\frac{3-m}{3}};4m+2017-2{\left(3-m\right)}^2\right), \\ C\left(-2\sqrt{\frac{3-m}{3}};4m+2017-2{\left(3-m\right)}^2\right) \end{gathered}$$

Do tam giác ABC cân tại A nên yêu cầu bài toán $\iff A{B}^2=B{C}^2$

$$\begin{gathered} \iff \frac{4\left(3-m\right)}{3}+4{\left(3-m\right)}^4=\frac{16\left(3-m\right)}{3} \\ \iff {\left(3-m\right)}^4=3-m\iff \left[\begin{array}{c}3-m=0\\ 3-m=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=3\left(l\right)\\ m=2\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3+4\left(1-m^2\right)x \\ y\text{'}=0\iff 4x^3+4\left(1-m^2\right)x=0 \\ \iff 4x\left(x^2+1-m^2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m^2-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m^2-1}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: $m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m+1\right) \\ x=-\sqrt{m^2-1} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^4+2\left(1-m^2\right){\left(-\sqrt{m^2-1}\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow y={\left(m^2-1\right)}^2-2{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ =-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1 \\ \Rightarrow B\left(-\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \\ x=\sqrt{m^2-1}\Rightarrow C\left(\sqrt{m^2-1};-{\left(m^2-1\right)}^2+m+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_{ABC}=4\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}AH.BC=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|HC\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|y_A-y_C\right|.\left|x_C\right|=4\sqrt{2} \\ \iff \left|m+1+{\left(m^2-1\right)}^2-m-1\right|.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^2.\sqrt{m^2-1}=4\sqrt{2} \\ \iff {\left(m^2-1\right)}^5=32\iff m^2-1=2 \\ \iff m^2=3\iff m=\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

$m=\pm \sqrt{3}$ thỏa  mãn điều kiện $\left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

Đáp án A

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx \\ y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0 \\ \iff 4x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \sqrt{m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow A\left(0;m^2+m\right) \\ x=-\sqrt{m} \\ \Rightarrow y={\left(-\sqrt{m}\right)}^4-2m{\left(-\sqrt{m}\right)}^2+m^2+m \\ =m^2-2m^2+m^2+m=m\Rightarrow B\left(-\sqrt{m};m\right) \\ x=\sqrt{m}\Rightarrow C\left(\sqrt{m};m\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right),\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m};-m^2\right);\widehat{BAC}=120° \\ \iff \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\cos 120° \\ \iff \frac{-m+m^4}{\sqrt{m+m^4}.\sqrt{m+m^4}}=-\frac{1}{2} \\ \iff 2\left(m^4-m\right)=-\left(m+m^4\right) \\ \iff 3m^4-m=0\iff m\left(3m^3-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(l\right)\\ m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=12x^3+4\left(m-2018\right);$

$y\text{'}\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 3x^2=2018-m\end{array}\right.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff 2018-m>0\iff m<2018$

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$$\begin{gathered} A\left(0;2017\right), \\ B\left(\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{{\left(m-2018\right)}^2}{3}+2017\right), \\ C\left(-\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{{\left(m-2018\right)}^2}{3}+2017\right) \end{gathered}$$

Do tam giác ABC cân tại A nên ycbt $\iff 3A{B}^2=B{C}^2$

$$\begin{gathered} \iff 3\left[\frac{2018-m}{3}+\frac{{\left(m-2018\right)}^4}{9}\right]=4\frac{2018-m}{3} \\ \iff {\left(m-2018\right)}^3=-1\iff m=2017 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Đáp án B

Có: $y=x^3+3m{x}^2-3x$

$\Rightarrow y\text{'}\left(x\right)=3x^2+6mx-3$

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên $\left(x_0;y_0\right)\in d$ thỏa mãn:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(x\right)=0\\ y_0=x_0^3+3m{x}_0^2-3x_0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}3x_0^3+6m{x}_0^2-3x_0=0\\ y_0=x_0\left(x_0^2+2m{x}_0\right)-3x_0+m{x}_0^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2+2m{x}_0=1\\ y_0=-2x_0+m{x}_0^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2=-2m{x}_0+1\\ y_0=-2x_0+m\left(-2m{x}_0+1\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow y_0=-2\left(m^2+1\right)x_0+m \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x-9;y\text{'}\text{'}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\Rightarrow y=5+m\\ x=3\Rightarrow y=-27+m\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là: $A\left(-1;5+m\right),B(3;-27+m)$

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A, B có phương trình: $y=-8x+m-3$

Đáp án C

$y\text{'}=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B $\iff$ phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff \Delta \text{'}=9{\left(m+1\right)}^2-36m>0 \\ \iff 9m^2-18m+9>0\iff 9{\left(m-1\right)}^2>0 \\ \iff m\ne 1 \end{gathered}$$

Khi đó: $y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{6}\right)+\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$

Đường thẳng AB: $y=\left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right]x+m\left(m+1\right)$ có hệ số góc $k=4m-{\left(m+1\right)}^2$

Đường thẳng d: y = x - 9 có hệ số góc k = 1

$$\begin{gathered} AB\perp d\iff \left[4m-{\left(m+1\right)}^2\right].1=-1 \\ \iff 4m-m^2-2m-1=-1 \\ \iff -m^2+2m=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x-m$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\iff$ phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=9+3m>0\iff m>-3$

Ta có: $y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

$\Rightarrow$ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là: $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

Đường thẳng d: $x+4y-5=0$ có một VTPT là $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$

Đường thẳng $\Delta :y=-\left(\frac{2m}{3}+2\right)x+2-\frac{m}{3}$ có một VTPT là: $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(\frac{2m}{3}+2;1\right)$

$$\begin{gathered} Ycbt\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 45° \\ =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n_{\Delta }}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(\frac{2m}{3}+3\right)+4.1\right|}{\sqrt{1^2+4^2}.\sqrt{{\left(\frac{2m}{3}+3\right)}^2+1^2}} \\ \iff 60m^2+264m+117=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{39}{10}\end{array}\right.\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\left(dom>-3\right) \end{gathered}$$

Đáp án B

Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị $\iff ptg\text{'}\left(x\right)=0$ có đúng một nghiệm $x_0$ thỏa mãn $g\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: $g\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)+m\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\left(x\right)+m=0\iff f\left(x\right)=-m$

$\Rightarrow$Số nghiệm của phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng y = - m.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = - m cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai điểm chung với đường thẳng $y=m$ nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số $y=g\left(x\right)$ vẫn chỉ có một cực trị

Vậy $m\ge 0$ hoặc $m\le -4$

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$, ta có các nhận xét sau:

$f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ - sang + khi đi qua điểm x = - 2 suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)$ không đổi dấu  khi đi qua điểm x = - 1, x = 1 suy ra x = - 1, x = 1 không là  các điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = - 2

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=3x^2+12x+3\left(m+2\right)$

$=3\left[x^2+4x+(m+2)\right]$

Yêu cầu bài toán $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2$

Hàm số có hai điểm cực trị $\iff \Delta \text{'}=4-(m+2)=2-m>0\iff m<2$

Hai điểm cực trị thỏa mãn $x_1<-1<x_2\iff$ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

$\iff y\text{'}(-1)<0\iff m<1$

Đáp án D

Ta có $y\text{'}=6x^2+2mx-12$

Do $\Delta \text{'}=m^2+72>0,\forall m\in R$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y’ = 0

Theo định lí Viet, ta có: $x_1+x_2=-\frac{m}{3}$

Gọi $A\left(x_1;y_1\right)$ và $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Yêu cầu bài toán $\iff \left|x_1\right|=\left|x_2\right|\iff x_1=-x_2(do{x}_1\ne -x_2)$

$\iff x_1+x_2=0\iff -\frac{m}{3}=0\iff m=0$

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=-3x^2+6mx=-3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó gọi $A\left(0;-3m-1\right)$ và $B\left(2m;4m^3-3m-1\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm $I\left(m;2m^3-3m-1\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(2m;4m^3\right)=2m\left(1;2m^2\right)$

Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(8;-1\right)$

$$\begin{gathered} Ycbt\iff \left\{\begin{array}{c}I\in d\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m+8\left(2m^3-3m-1\right)-74=0\\ 8-2m^2=0\end{array}\right.\iff m=2 \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: $y\text{'}=x^2-2\left(2m-1\right)x+m^2-m+7$

Điều kiện bài toán tương đương tìm m để phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=74$

Phương trình $y\text{'}=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$

Khi đó:

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=74\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=74 \\ \Rightarrow 4{\left(2m-1\right)}^2-2\left(m^2-m+7\right)=74 \\ \iff 4\left(4m^2-4m+1\right)-2m^2+2m-14-74=0 \\ \iff 14m^2-14m-84=0\iff \left[\begin{array}{c}m=3\left(tm\right)\\ m=-2\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m = 3

Đáp án C

Ta có: 

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 0$

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là $A\left(0;4m^2-2\right)$ và $B\left(2m;4m^2-4m^3-2\right)$

Do $I(1;0)$ là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{array}{c}{x}_A+x_B=2x_I\\ y_A+y_B=2y_I\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}0+2m=2\\ \left(4m^2-2\right)+\left(4m^2-4m^3-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff m=1 thỏa mãn \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6m\Rightarrow y=y\text{'}.\left(\frac{1}{3}x\right)-4mx+4$

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$y=-4mx+4\iff 4mx+y-4=0$

Diện tích tam giác IAB là: 

$$\begin{gathered} S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB} \\ =\frac{1}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin \widehat{AIB}=\sin \widehat{AIB}\le 1 \end{gathered}$$

$\iff S_{IAB}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \widehat{AIB}=1\iff IA\perp IB$ hay tam giác IAB vuông cân tại I và $IA=IB=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AB=2\Rightarrow d\left(I,AB\right)=\frac{1}{2}AB=1 \\ \Rightarrow \frac{\left|4m.1+0-4\right|}{\sqrt{{\left(4m\right)}^2+1^2}}=1\iff \left|4m-4\right|=\sqrt{{\left(4m\right)}^2+1^2} \\ \iff 16m^2-32m+16=16m^2+1\iff m=\frac{15}{32}\in \left(0;1\right) \end{gathered}$$

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right); \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số có hai điểm cực trị $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff 0\ne 2m\iff m\ne 0$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left(0;2\right);B\left(2m;2-4m^3\right)$

Suy ra $\overrightarrow{MA}=\left(-1;4\right),\overrightarrow{MB}=\left(2m-1;4-4m^3\right)$

Theo giả thiết A, B, và M thẳng hàng $\iff \frac{2m-1}{-1}=\frac{4-4m^3}{4}\iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(l\right)\\ m=\pm \sqrt{2}\left(tm\right)\end{array}\right.$

Đáp án D

TXĐ: D = R

Ta có: $y=\frac{x^2+mx-5}{x^2+1}=1+\frac{mx-6}{x^2+1}$

Suy ra $y\text{'}=\frac{m\left(x^2+1\right)-2x\left(mx-6\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-m{x}^2+12x+m}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay $-m{x}^2+12x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $\Delta \text{'}=36+m^2>0,\forall m$ nên hàm số luôn có hai cực trị.

Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm cực trị là: $y=\frac{2\left(-m\right)x-4.\left(-5\right)}{-4}=\frac{m}{2}x-5$

Đường thẳng AB qua điểm $I(1;-3)$ nên $-3=\frac{m}{2}.1-5\iff m=4$

Suy ra $m_0=4$

Đáp án D

Hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{x}{x^2+1}-m\right|$ có TXĐ D = R

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1}-m$ ta có:

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+1-x.2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0 \\ \iff x=\pm 1 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=g\left(x\right)$ có 2 điểm cực trị

Xét phương trình hoàng độ giao điểm

$$\begin{gathered} \frac{x}{x^2+1}-m=0\iff \frac{x-m\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=0 \\ \iff -m{x}^2+x-m=0 \end{gathered}$$

Phương trình có $\Delta =1-4m^2$ chưa

Xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{x}{x^2+1}-m\right|$ có tối đa 2 + 2 = 4 cực trị.

Đáp án A

ĐKXĐ: $D=R\backslash \left\{-1\right\}$

Ta có: $y=\frac{x^2+mx+2m}{x+1}=x+m-1+\frac{m+1}{x+1}$

$\Rightarrow y\text{'}=1-\frac{m+1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-m}{{\left(x+1\right)}^2}$

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=1+m>0\\ 1-2-m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m>-1$

Khi đó, giả sử $x_1,x_2$ là nghiệm phân biệt của phương trình y' = 0, áp dụng định lí Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1.x_2=-m\end{array}\right.$