10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập tổng hợp Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Câu 1:

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2} - 2}{x - m}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng – 1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

ĐK: $x \neq m$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - m + 2}{{(x - m)}^{2}}$ nhận thấy $m^{2} - m + 2 = {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0, \forall m$ nên $y' > 0 \forall m$

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt $G T L N$ trên $[0; 4] \Rightarrow m \notin [0; 4] \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 4 \end{matrix}$

Suy ra $\max_{[0; 4]} y = y (4) = \frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m}$ . Theo bài ra ta có: $\frac{4 - m^{2} - 2}{4 - m} = - 1 \Rightarrow - m^{2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow m^{2} + m + 6 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} m = 2 (k t m) \\ m = - 3 (t m) \end{matrix}$

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T = |\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[- 10; 10]$ của tham số a để $M \geq 2 m$ ?

A. 17

B. 10

C. 15

D. 18

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} - \sqrt{6 + 4 x - x^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{(\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} - \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}) (\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}})}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{y^{2} + 6 y + 10 - 6 - 4 x + x^{2}}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4) + (1 + \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}}) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$

(vì $1 + \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} > 0$ )

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Phương trình $\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ là phương trình đường tròn $(C)$ tâm $I (2; - 3)$ và bán kính R = 3.

Gọi $N (x; y) \in (C)$ ta suy ra $O N = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ suy ra $T = |O N - a|$

Gọi A, B là giao điểm của đường tròn $(C)$ và đường thẳng OI.

Khi đó, $O A = O I - R = \sqrt{13} - 3$ và $O B = O I + R = \sqrt{13} + 3$

Suy ra $\sqrt{13} - 3 \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{13} + 3$

TH1: nếu $\sqrt{13} - 3 \leq a \leq \sqrt{13} + 3$ thì $|\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a| \geq 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \geq 2 m \Rightarrow a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$

TH2: Nếu $a < \sqrt{13} - 3 \Rightarrow a < \sqrt{13}$ nên $|\sqrt{13} + 3 - a| > |\sqrt{13} - 3 - a|$ , do đó $M = |\sqrt{13} + 3 - a|; m = |\sqrt{13} - 3 - a|$

Vì $M \geq 2 m \Rightarrow |\sqrt{13} + 3 - a| \geq 2 |\sqrt{13} - 3 - a|$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{13} - 3 - a)}^{2} - {(2 \sqrt{13} + 6 - 2 a)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{13} + 1 \leq a \leq \sqrt{13} + 9 \Rightarrow a \in \{5; 6; 7; 8; 9; 10\}$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho f (x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên

Bất phương trình $f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

A. $m < f (0)$

B. $m < f (1) - 1$

C. $m < f (- 1) + 1$

D. $m < f (2)$

Xem đáp án

$f (x) > \sin \frac{π x}{2} + m, \forall x \in [- 1; 3] \Leftrightarrow g (x) = f (x) - \sin \frac{π x}{2} > m \forall x \in [- 1; 3]$

$\Rightarrow m < \min_{[- 1; 3]} g (x)$

Từ đồ thị hàm số $y = f' (x)$ ta suy ra BBT đồ thị hàm số $y = f (x)$ như sau:

Dựa vào BBT ta thấy $f (x) \geq f (1) \forall x \in [- 1; 3]$

$x \in [- 1; 3] \Rightarrow \frac{π x}{2} \in [- \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}] \Rightarrow - 1 \leq \sin \frac{π x}{2} \leq 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leq - \sin \frac{π x}{2} \leq 1$

$\Rightarrow f (1) - 1 \leq f (x) - \sin \frac{π x}{2} \Leftrightarrow g (x) \geq f (1) - 1 \Rightarrow \min_{[- 1; 3]} g (x) = f (1) - 1$

Vậy $m < f (1) - 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ . Gọi $M = \max_{x \in [0; 3]} f (x); m = \min_{x \in [0; 3]} f (x)$ . Khi đó $M - m$ bằng:

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{7}{5}$

D. $\frac{9}{5}$

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2} - 4 x}{4}$

Đặt $t = x^{2} - 4 x + 5$ với $x \in [0; 3]$ ta có: $t' = 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0; 3]$

Ta có: $t (0) = 5; t (2) = 1; t (3) = 2$

$\Rightarrow$ với $x \in [0; 3] \Rightarrow t \in [1; 5]$ khi đó hàm số trở thành $f (t) = \frac{1}{t} - \frac{t - 5}{4}$ với $t \in [1; 5]$

Ta có: $f' (t) = - \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{4} < 0 \forall t \in [1; 5]$

$\Rightarrow$ hàm số $y = f (t)$ nghịch biến trên

$[1; 5] \Rightarrow \{\begin{matrix} \max_{[0; 3]} f (x) = \max_{[1; 5]} f (t) = f (1) = 2 = M \\ \min_{[0; 3]} f (x) = \min_{[1; 5]} f (t) = f (5) = \frac{1}{5} = m \end{matrix}$

Vậy $M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Cho hàm số f (x). Biết rằng hàm số $f' (x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn $[- 4; 3]$ , hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. $x = - 1$

B. $x = - 4$

C. $x = - 3$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Ta có: $g' (x) = 2 f' (x) - 2 (1 - x) = 2 [f' (x) - (1 - x)]$

Xét $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = 1 - x$ , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và đường thẳng $y = 1 - x$

Ta biểu diễn đường thẳng: $y = 1 - x$ trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f' (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu $g' (x)$ như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại x = - 1.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên:

Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số $y = f (|x| - m)$ đồng biến trên khoảng $(10; + \infty)$ là:

A. -10

B. 10

C. 9

D. -11

Xem đáp án

Ta có: $y = f (|x| - m) = f (\sqrt{x^{2}} - m)$

$\Rightarrow y' = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}}} f' (\sqrt{x^{2}} - m) = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} f' (\sqrt{x^{2}} - m)$

Để hàm đồng biến trên $(10; + \infty)$ thì $y' \geq 0 \forall x \in (10; + \infty)$

$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} f' (\sqrt{x^{2}} - m) \geq 0 \forall x \in (10; + \infty) \Rightarrow f' (\sqrt{x^{2}} - m) \geq 0 \forall x \in (10; + \infty)$ (*)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ và $(- \infty; - 1)$

Do đó (*) $\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x^{2}} - m \geq 1 \forall x \in (10; + \infty) (1) \\ \sqrt{x^{2}} - m \leq - 1 \forall x \in (10; + \infty) (2) \end{matrix}$

Xét (1) ta có $m \leq \sqrt{x^{2}} - 1 \forall x \in (10; + \infty) \Rightarrow m \leq \min_{[10; + \infty)} (\sqrt{x^{2}} - 1)$

Xét $g (x) = \sqrt{x^{2}} - 1$ trên khoảng $(10; + \infty)$ ta có $g' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} > 0 \forall x \in (10; + \infty)$ , do đó hàm số đồng biến trên $(10; + \infty) \Rightarrow \min_{[10; + \infty)} (\sqrt{x^{2}} - 1) = g (10) = 9 \Leftrightarrow m \leq 9$

Xét (2) ta có $m \geq \sqrt{x^{2}} + 1 \forall x \in (10; + \infty) \Rightarrow m \geq \max_{[10; + \infty)} (\sqrt{x^{2}} + 1)$

Do $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2}} + 1) = + \infty$ nên hàm số đã cho không có GTLN trên $[10; + \infty)$ , do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).

Vậy $m \leq 9$ nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty)$

A. 2

B. 1

C. Vô số

D. 3

Xem đáp án

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có: $Δ' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0$ , khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}$

Ta có BBT:

Ta có:

$f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022$

$f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì $f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020$

$\Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f' (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ , khi đó GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có: $[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}$ mà $m \in Z \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$

A. 1

B. $\frac{3}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$

$\Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 y + 2$

$\Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2$

Đặt $x + y = t$ , phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$f' (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6$

$f'' (t) = 6^{t} . \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in R$

Do đó hàm số $y = f' (t)$ đồng biến trên R, suy ra phương trình $f' (t) = 0$ có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng 2 nghiệm t = 0, t = 1.

$\Rightarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 1 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$ thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ thay vào P ta có:

$P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} = x^{2} - x + 1$ $= {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ . Tính M + m?

A. $8 \sqrt{3} - 2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

D. $4 \sqrt{3} + 2$

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} + y^{2} = 1$

Đặt $\{\begin{matrix} x + y = \sin α \\ y = \cos α \end{matrix}$ ta có: $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2}) = f (\frac{\sin α + 1}{\sin α + \cos α - 2})$

Đặt $t = \frac{\sin α + 1}{\sin α + \cos α - 2}$ . Ta có: $Q = f (\frac{\sin α + 1}{\sin α + \cos α - 2}) = f (t)$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 1 + t^{2} \geq 4 t^{2} + 4 t + 1 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 6 t \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq t \leq 0$ (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm $α$ thì ${(t - 1)}^{2} + t^{2} \geq {(2 t + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 1 + t^{2} \geq 4 t^{2} + 4 t + 1 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 6 t \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq t \leq 0$

Xét $Q = f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ trên đoạn $[- 3; 0]$ có $f' (t) = 4 t^{3} - 2 t, f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 0 \\ t = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix}$

Hàm số $f (t)$ liên tục trên $[- 3; 0]$ có $f (- 3) = 74, f (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = \frac{7}{4}, f (0) = 2$

$\Rightarrow \min_{[- 3; 0]} f (t) = \frac{7}{4}, \max_{[- 3; 0]} f (t) = 74$

$\Rightarrow M + m = \frac{7}{4} + 74 = \frac{303}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng $x_{M} + y_{M}$

A. 1

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2} - 1$

D. $2 - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đặt $M (x; \frac{x + 1}{x - 1}) \in (C)$

Khi đó ta có: $\{\begin{matrix} d (M; O x) = |y_{M}| = |\frac{x + 1}{x - 1}| \\ d (M; O y) = |x_{M}| = |x| \end{matrix}$

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là $S = |x| + |\frac{x + 1}{x - 1}| \geq |x + \frac{x + 1}{x - 1}|$

Dấu bằng xảy ra khi $x . \frac{x + 1}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x > 1 \\ - 1 \leq x \leq 0 \end{matrix}$

Đặt $f (x) = x + \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 1 + \sqrt{2} \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy $|x + \frac{x + 1}{x - 1}| \geq |2 - 2 \sqrt{2}| = 2 \sqrt{2} - 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1 - \sqrt{2} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{2} \Rightarrow x_{M} + y_{M} = 2 - 2 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Bài tập tổng hợp Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương