30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P5)

Câu 1:

Tính $\int_{0}^{1} x . e^{2 x} d x$

A. $\frac{2 - e^{2}}{6}$

B. $\frac{1 + e^{3}}{4}$

C. $\frac{2 - e^{2}}{4}$

D. $\frac{1 + e^{2}}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

$\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = e^{2 x} d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{cases}$

Khi đó

$\int_{0}^{1} x . e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x . e^{2 x} |_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x . e^{2 x} |_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{2 x} |_{0}^{1} = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 + e^{2}}{4}$

Câu 2:

Tính $C = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \cos x d x$

A. $\frac{π^{2}}{4} - 2$

B. $\frac{π}{4} - 2$

C. $\frac{π^{2}}{6} + 2$

D. $\frac{π}{8} + 2$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt

$\{\begin{array}{l} u = x^{2} \\ d v = \cos x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 x d x \\ v = \sin x \end{cases}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \cos x d x = x^{2} \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x = \frac{π^{2}}{4} - 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x$

* Tính: $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x$

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \sin x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x = - x c o s x |_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x = - x . \cos x |_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} = 1$

Thế I = 1 vào C ta được $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \cos x d x = \frac{π^{2}}{4} - 2$

Câu 3:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x$

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Đặt

$\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \sin x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}$

Do đó

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x = (- x \cos x) |_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x = 0 + \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} = 1$

Câu 4:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{e - 1} x \ln (x + 1) d x$

A. $\frac{2 - e^{2}}{6}$

B. $\frac{1 + e^{3}}{4}$

C. $\frac{2 - e^{2}}{4}$

D. $\frac{e^{2} - 3}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $\{\begin{array}{l} u = \ln (x + 1) \\ d v = x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} d x \\ v = \frac{x^{2} - 1}{2} \end{cases}$

$I = \int_{0}^{e - 1} x \ln (x + 1) d x = [\ln (x + 1) \frac{x^{2} - 1}{2}] |_{0}^{e - 1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{e - 1} (x - 1) d x = \frac{e^{2} - 2 e}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x) |_{0}^{e - 1} = \frac{e^{2} - 2 e}{2} - \frac{1}{2} \frac{e^{2} - 4 e + 3}{2} = \frac{e^{2} - 3}{4}$

Câu 5:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (2 x + 3) . \sin 4 x d x$

A. $I = \frac{π}{8} - \frac{3}{2}$

B. $I = \frac{π}{2} + \frac{3}{8}$

C. $I = \frac{π}{8} + \frac{3}{2}$

D. $I = \frac{π}{8} + 3$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $\{\begin{array}{l} u = 2 x + 3 \\ d v = \sin 4 x . d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 . d x \\ v = - \frac{1}{4} \cos 4 x . d x \end{cases}$

$\Rightarrow I = (- \frac{1}{4} (2 x + 3) \cos 4 x) |_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 4 x d x = (- \frac{1}{4} (2 x + 3) \cos 4 x + \frac{1}{2} . \frac{1}{4} . \sin 4 x) |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{8} + \frac{3}{2}$

Câu 6:

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x$

A. $I = \frac{π}{2} + 1$

B. $I = 1 - \frac{π}{2}$

C. $I = \frac{π}{2}$

D. $I = \frac{π}{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x \\ d v = \cos x d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \sin x \end{cases}$

$\Rightarrow I = x \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = \frac{π}{2} + \cos x |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} - 1$

Câu 7:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{π} \sin^{2} x . \cos^{2} x d x$

A. $I = \frac{π}{6}$

B. $I = \frac{π}{3}$

C. $I = \frac{π}{8}$

D. $I = \frac{π}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

$I = \int_{0}^{π} \sin^{2} x . \cos^{2} x d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin^{2} 2 x d x = \frac{1}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos 4 x) d x = \frac{1}{8} (x - \frac{1}{4} \sin 4 x) |_{0}^{π} = \frac{π}{8}$

Câu 8:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos^{3} x d x$

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{3}{15}$

C. $\frac{2}{13}$

D. $- \frac{2}{15}$

Xem đáp án

Chọn A

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos^{3} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos^{2} x \cos x d x$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$ ; Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1$

Do đó $I = \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t^{2}) d t = \int_{0}^{1} (t^{2} - t^{4}) d t = (\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{5}}{5}) | \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = \frac{2}{15}$

Câu 9:

Tính tích phân $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x . \sin 3 x d x$

A. 1/2

B. 2/3

C. 3/4

D. 4/5

Xem đáp án

Chọn D

$I = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\cos x - \cos 5 x) d x = \frac{1}{2} (\sin x - \frac{1}{5} \sin 5 x) |_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = \frac{4}{5}$

Câu 10:

Tính tích phân $J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} 2 x d x$

A. $\frac{3 π}{16} + 1$

B. $\frac{3 π}{32}$

C. $\frac{3 π}{16} - 8$

D. $\frac{3 π}{16} - 6$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

$\cos^{4} 2 x = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos 4 x + \cos^{2} 4 x) = \frac{1}{8} (3 + 4 \cos 4 x + \cos 8 x)$

Nên

$I = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (3 + 4 \cos 4 x + \cos 8 x) d x = \frac{1}{8} (3 x + \sin 4 x + \frac{1}{8} \sin 8 x) |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{3 π}{32}$

Câu 11:

Tính tích phân $I = \int_{3}^{4} \frac{x^{2} d x}{x^{2} - 3 x + 2}$

A. $1 + \frac{3}{2} \ln 2 + \frac{5}{2} \ln \frac{4}{3}$

B. $1 + \frac{3}{2} \ln 3 - \frac{2}{5} \ln \frac{4}{3}$

C. $1 + \frac{3}{2} \ln 3 + \frac{5}{2} \ln \frac{4}{3}$

D. $1 + \frac{5}{3} \ln 3 + \frac{5}{3} \ln \frac{4}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} = 1 + \frac{3}{2} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{5}{2} \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = 1 + \frac{3}{2} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{5}{2} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1})$

Suy ra

$I = (x + \frac{3}{2} \ln |x^{2} - 3 x + 2| + \frac{5}{2} \ln |\frac{x - 2}{x - 1}|) |_{3}^{4} = 1 + \frac{3}{2} \ln 3 + \frac{5}{2} \ln \frac{4}{3}$

Câu 12:

Tính $J = \int_{2}^{3} \frac{2 x + 3}{x^{3} - 3 x + 2} d x$

A. ln8-ln5

B. ln8+ln5+5/6

C. ln8+2ln5-3

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $x^{3} - 3 x + 2 = {(x - 1)}^{2} (x + 2)$

$2 x + 3 = a {(x - 1)}^{2} + b (x + 2) (x - 1) + c (x + 2) \Leftrightarrow 2 x + 3 = (a + b) x^{2} + (c - 2 a + b) x + a - 2 b + 2 c$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a + b = 0 \\ - 2 a + b + c = 2 \\ a - 2 b + 2 c = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{9}, b = \frac{1}{9}, c = \frac{5}{3}$

$J = \int_{2}^{3} [- \frac{1}{9} \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{9} \frac{1}{x - 1} + \frac{5}{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}] d x = (\frac{1}{9} \ln |\frac{x - 1}{x + 2}| - \frac{5}{3 (x - 1)}) |_{2}^{3} = \frac{1}{9} \ln \frac{8}{5} + \frac{5}{6}$

Câu 13:

Tính $I = \int_{- \frac{1}{2}}^{3} \frac{x d x}{\sqrt[3]{2 x + 2}}$

A. 1

B. 3/4

C. 14/5

D. 12/5

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = \sqrt[3]{2 x + 2} \Leftrightarrow t^{3} = 2 x + 2$ $\Leftrightarrow x = \frac{t^{3} - 2}{2} \Rightarrow d x = \frac{3}{2} t^{2} d t$

Đổi cận: $x = - \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1$ ; $x = 3 \Rightarrow t = 2$

Ta có: $I = \int_{1}^{2} \frac{(t^{3} - 2)}{2 t} . \frac{3}{2} t^{2} d t = \int_{1}^{2} (\frac{3}{4} t^{4} - \frac{3}{2} t) d t$ $= (\frac{3}{20} t^{5} - \frac{3}{4} t^{2}) |_{1}^{2} = (\frac{24}{5} - 3) - (\frac{3}{20} - \frac{3}{4}) = \frac{12}{5}$

Câu 14:

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường $y = {(x - 2)}^{2}$ và $y = 4$ . Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy

A. $\frac{219 π}{2}$

B. $\frac{172 π}{5}$

C. $\frac{113 π}{2}$

D. $\frac{128 π}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

D quay xung quanh trục Oy

Ta có: $y = {(x - 2)}^{2} \Leftrightarrow x - 2 = \pm \sqrt{y}$ $\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{y}$

$V = π \int_{0}^{4} [{(2 + \sqrt{y})}^{2} - {(2 - \sqrt{y})}^{2}] dy = 8 π . \int_{0}^{4} \sqrt{y} dy = 8 π . \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} |_{0}^{π} = \frac{128 π}{3} đ v t t$

Câu 15:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = $x^{3}$ ; y=4x là:

A. 8

B. 9

C. 12

D. 13

Xem đáp án

Ta có

Vậy S =8 (đvdt).

Chọn A.

Câu 16:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= $x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng x= 1; x=3 là

A.19

B.18

C.20

D.21

Xem đáp án

Ta có $x^{3} \geq 0$ trên đoạn[ 1;3] nên

Chọn C

Câu 17:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = $x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2

A.6

B. 7

C. 8

D.9

Xem đáp án

Ta có trên [-2;0] , $x^{3} \leq 0$ . Trên [0; 2], $x^{3} \geq 0$

Chọn C

Câu 18:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = x + $x^{- 1}$ , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2

A.1 - ln 2

B. 2 - ln3

C.1,5 + ln2

D. 1 - ln3

Xem đáp án

= 1,5 + ln2

Chọn C

Câu 19:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = $e^{x}$ +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

A.e

B. 2+e

C.e-1

D.2e+1

Xem đáp án

Chọn A

Câu 20:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = $x^{3}$ - 4x , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x =4

A. 18

B. 24

C.32

D.36

Xem đáp án

Câu 21:

Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường :

A.10

B .11

C. 12

D.24

Xem đáp án

Ta có diện tích cần tính là:

Mà

nên ta có bảng xét dấu

Do vậy

=12 (đvdt)

Chọn C

Câu 22:

Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường

A.1

B.2/3

C. 2

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Diện tích cần tính là:

Chọn B

Câu 23:

Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường : và trục Ox

A. $e^{2} + \frac{2}{e} - \frac{3}{2}$

B.

C.

D.

Xem đáp án

$= e^{2} + \frac{2}{e} - \frac{3}{2} (đ v d t)$

Chọn A

Câu 24:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= x³- x và y= x- x²

A.12/9

B. 37/12

C.32/7

D.25/8

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị hàm số y = x³ - x; y = x - x² .Đặt f₁(x) = x³ - x, f₂(x) = x - x²

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 <=> x³ + x² - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1

Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :

= $\frac{37}{12}$

Câu 25:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x=1 ; x=4 là

A.4

B.14/5

C.13/3

D.14/3

Xem đáp án

Ta có $\sqrt{x} \geq 0$ trên đoạn [1;4] nên

\

Chọn D

Câu 26:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= $\sqrt[3]{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x=1 ; x=8 là

A.45/2

B.45/4

C.45/7

D.45/8

Xem đáp án

Ta có $\sqrt[3]{x} \geq 0$ trên đoạn [1 ; 8] nên

Chọn B

Câu 27:

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y= ${(x - 2)}^{2}$ và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Ox

A. $\frac{118 π}{5}$

B. $\frac{253 π}{7}$

C. $\frac{112 π}{3}$

D. $\frac{256 π}{5}$

Xem đáp án

D quay xung quanh trục Ox