200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P4)
-
22563 lượt thi
-
20 câu hỏi
-
20 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là
Ta có:
với m = 1
Suy ra:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn[ -2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất khi
Chọn B.
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x3-3mx2+ 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
+ Đạo hàm y’ = 3x2- 6mx= 3x( x- 2m)
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi :m≠0. (1)
+ Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 0 ; 3m3) ; B( 2m; -m3)
Ta có:
Ta thấy (3)
+ Từ (2) và (3) suy ra S= ½. OA.d(B ; OA)=3m4.
Do đó: (thỏa mãn (1) ).
Chọn D.
Câu 3:
Cho hàm số y= x4-2( m+1)x2+ m ( C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số C có ba điểm cực trị A: B; C sao cho OA= BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Ta có : y’ = 4x3-4( m+ 1) x= 4x( x2- (m+ 1) ).
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay m + 1> 0 suy ra m > - 1. (*)
Khi đó, ta có:
Do đó (thỏa mãn (*).
Vậy
Chọn A.
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x3- 3mx2+ 4m3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x- y=0.
+ Đạo hàm : y’ = 3x2- 6mx
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m≠ 0.
+ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A( 0; 4m3) ; B( 2m; 0) ;
Trung điểm của đoạn AB là I (m; 2m3).
+ Điều kiện để đối xứng nhau qua đường thẳng x- y= 0 hay y= x là AB vuông góc với đường thẳng y= x và
Kết hợp với điều kiện ta có:
Chọn D.
Câu 5:
Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= x3-3mx2+ 3( m2-1) x- m3+ m có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Ta có y’ = 3x2- 6mx + 3( m2-1).
Hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó, điểm cực đại A( m-1; 2-2m) và điểm cực tiểu B( m+1; -2-2m)
Ta có
Tổng hai giá trị này là -6.
Chọn C.
Câu 6:
Tính tích tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =m x3- 3mx2+ 3m-3 có hai điểm cực trị A; B sao cho 2AB2- ( OA2+ OB2) =20 .
Ta có: đạo hàm y’ = m( 3x2-6x). Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì m≠ 0.
Với mọi m≠ 0 , ta có
Gọi tọa độ 2 điểm cực trị là A( 0 ; 3m-3) và B( 2 ; -m-3)
Ta có :
hoặc
Vậy giá trị m cần tìm là:
Chọn C.
Câu 7:
Cho hàm số y= x3-3x2 .Tìm tất cả các giá trị thực tham số m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị C tạo với đường thẳng x+ my+ 3=0 một góc α biết cosα= 4/5.
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là 2x+ y=0 có VTPT
+ Đường thẳng đã cho x+ my+ 3= 0 có VTPT
Yêu cầu bài toán
Chọn A
Câu 8:
Có giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x4-4( m-1) x2+2m-1 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều. Hỏi số nguyên nào gần với số m nhất?
Ta có đao hàm y’ = 4x3- 8( m-1) x= 4x( x2- 2( m-1) )
nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m> 1.
Với điều kiện m > 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
Ta có: AB2= AC2= 2( m-1) + 16( m-1) 4; BC2= 8( m-1)
Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:
AB= AC= BC tương đương AB2= AC2= BC2
Do đó: 2( m-1) + 16( m-1) 4= 8( m-1)
So sánh với điều kiện ta có: thỏa mãn.
Chọn A.
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= 2x3-3( 2m+ 1) x2+ 6m( m+1) x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
+ Ta có: y’ = 6x2-6( 2m+1) x+ 6m(m+1)
nên phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm:
do đó hàm số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m.
+ Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A( m; 2m3+3m2+1 ) và B( m+1; 2m3+3m2)
Suy ra AB = √2 và phương trình đường thẳng AB: x+ y-2m3-3m2-m-1=0.
+ Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
đạt được khi m=0
Chọn B
Câu 10:
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số đồng biến trên R.
+ Tính đạo hàm
+ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
Do đó :
F(x) đạt giá trị lớn nhất là
Chọn C.
Câu 11:
Cho hàm số với m là tham số thực.
Hàm số có đồ thị C và bảng biến thiên sau:
Tìm m sao cho hàm số f(x) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn hơn -1
Xét phương trình f’ (x) = x2+(4-m) x+5-2m=0
Ta có nghiệm của f’ (x)=0 cũng là hoành độ giao điểm của g(x)=m
Khi đó từ bảng biến thiên ta có YCBT khi m> 2.
Chọn A.
Câu 12:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x≥ 0; y≥1 ; x+ y= 3 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x3+ 2y2+ 3x2+ 4xy- 5x lần lượt bằng:
Ta có y= 3-x≥ 1 nên x≤ 2 do đó : x
Khi đó P= x3+ 2( 3-x) 2+ 3x2+4x( 3-x) -5x= x3+x2-5x+18
Xét hàm số f(x) = x3+x2-5x+18 trên đoạn [0 ; 2] ta có:
F(0) =18; f(1) = 15; f(2) =20
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P lần lượt bằng 20 và 15.
Chọn B.
Câu 13:
Cho các số thực x; y thõa mãn x≥0; y≥0 và x+y=1. Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của biểu thức là:
Do x+ y= 1 nên
Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0 nên
Xét hàm số f(t) = 16t2- 2t + 12 trên [0 ; 1/4].
Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16 .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi
giá trị nhỏ nhất của S là 191/ 16 đạt được khi
Chọn A.
Câu 14:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có hai tiệm cận ngang.
Điều kiện: mx2+ 1 > 0.
- Nếu m= 0 thì hàm số trở thành y= x+ 1 không có tiệm cận ngang.
- Nếu m< 0 thì hàm số xác định
Do đó, không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- Nếu m> 0 thì hàm số xác định với mọi x.
Suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x.
Suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x
Vậy m> 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn D.
Câu 15:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng.
Điều kiện:
-Nếu m> 1 thì không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Nếu m= 1 thì hàm số trở thành
Suy ra đường thẳng x= 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi .
không tồn tại.
Do đó, m= 1 thỏa mãn.
- Nếu m< 1 thì
Suy ra đường thẳng x= m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi
Vậy m ≤ 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn C.
Câu 16:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
TH1 : Phương trình x3- 3x2-m=0 có một nghiệm đơn x= -1 và một nghiệm kép.
Phương trình x3- 3x2-m=0 có nghiệm x= -1 nên ( -1) 3-3( -1) 2-m=0 hay m= -4.
Với m= -4 phương trình trở thành
(thỏa mãn vì x= 2 là nghiệm kép).
TH2: Phương trình x3- 3x2-m=0 có đúng một nghiệm khác – 1 hay x3- 3x2= m có một nghiệm khác -1
Vậy với m> 0 hoặc m≤ - 4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn C.
Câu 17:
Cho hàm số có đồ thị C. Gọi M là một điểm bất kì trên C. Tiếp tuyến của C tại M cắt các đường tiệm cận của C tại A và B . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của C . Tính diện tích của tam giác IAB.
Tập xác định D= R\ { 1}.
Đạo hàm
Đồ thị hàm số C có tiệm cận đứng là x= 1 và tiệm cận ngang y= 2 nên I (1 ;2 ) là giao của 2 đường tiệm cận.
Gọi
Tiếp tuyến ∆ của C tại M có phương trình là :
∆ cắt TCĐ tại và cắt TCN tại B( 2x0-1 ; 2) .
Ta có
Do đó, .
Chọn D.
Câu 18:
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tập xác định: D= R\ { 2; 3}
Tương tự
Suy ra đường thẳng x= 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Suy ra đường thẳng x= 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn D.
Câu 19:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực của m để hàm số
Y= ln( x2+ 1) –mx+1 đồng biến trên R.
Ta có:
Hàm số Y= ln( x2+ 1) –mx+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi y’≥ 0 với mọi x.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: với mọi x khivà chỉ khi m≤ -1.
Chọn C.
Câu 20:
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( -1; 0) với hệ số góc k . Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số C: y= x3-3x2+ 4 tại ba điểm phân biệt A; B; C và tam giác OBC có diện tích bằng 1?
Đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k nên có dạng y= k( x+ 1) hay
Kx- y+k=0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là:
D cắt tại ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1
Khi đó g( x) =0 khi x=2- Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là
Tính được
Khi đó
Vậy k= 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C.