25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tâp Nguyên Hàm, Tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải (P4)

Câu 1:

Nếu đặt $u = \sqrt{1 - x^{2}}$ thì tích phân $I = \int_{0}^{1} x^{5} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ trở thành:

Xem đáp án

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Cách giải:

Chọn: C

Câu 2:

Cho $\int_{1}^{2017} f (x) d x = 2$ . Tìm $\int_{1}^{2017} g (x) d x = - 5$ . Tìm

$J = \int_{1}^{2017} [2 f (x) + g (x)] d x$

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tích phân:

Cách giải:

Chọn: B

Câu 3:

Tính diện tích hình phằng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ và đồ thị hàm số y= $x^{2} - 3$

Xem đáp án

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x), các đường thẳng

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Chọn: A

Câu 4:

Cho $I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x \cos^{2} x d x$ , khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Phương pháp:

Đổi biến t=cosx tính tích phân.

Cách giải:

Câu 5:

Tìm họ nguyên hàm $F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{3}} d x$

Xem đáp án

Đưa hàm số dưới dấu nguyên hàm

về dạng (ax+b) và sử dụng công thức :

Cách giải:

Chọn: A

Câu 6:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ , trục Ox, đường thẳng x=3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.

Xem đáp án

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính thể tích

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Thể tích khối tròn xoay tạo thành

khi quay (H) quanh Ox là:

Câu 7:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{\ln 2} (e^{4 x} + 1) d x$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng công thức

Cách giải:

Chọn: A

Câu 8:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x \ln x$ , trục Ox và đường thẳng x = e

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox, đường thẳng

Để tìm đủ cận tích phân ta đi giải phương trình f(x) = 0.

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính toán.

Cách giải:

Câu 9:

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên $ℝ$ có $\int_{- 1}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = - 5; \int_{- 1}^{5} [3 f (x) + - 5 g (x)] d x = 21$ Tính $\int_{- 1}^{5} [f (x) + g (x)] d x$

A. 5

B. 1

C. 5

D. -1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Cách giải:

Ta có:

Câu 10:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} + \sin x$ thỏa mãn F(0) = 0. Tìm F(x)?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp :

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Cách giải:

Ta có:

Câu 11:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = $x^{3}$ , y = 10 - x và trục Ox là:

A. 32.

B. 26

C. 36.

D. 40.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b

được tính theo công thức: $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3} = 10 - x \Leftrightarrow x = 2$

Diện tích cần tìm là:

Câu 12:

Biết $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{a}{e + 1} + b \ln \frac{2}{e + 1} + c, V ớ i a, b, c \in ℤ$ , Tính a+b+c

A. -1.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức từn

g phần:

Cách giải:

Ta có:

Câu 13:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Biết rằng $\int_{0}^{\ln 2} f (e^{x} + 1) d x = 5$ và $\int_{2}^{3} \frac{(2 x - 3) f (x)}{x - 1} d x = 3$ . Tính $I = \int_{2}^{3} f (x) d x$

A. I = 2.

B. I = 4.

C. I = -2.

D. I = 8.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ $t = e^{x} + 1$

Cách giải:

Đặt $t = e^{x} + 1$

Câu 14:

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y = x \sqrt{4 + x^{2}}$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1. Biết $S = a \sqrt{5} + b, (a, b \in ℚ)$ . Tính a + b

A. $a + b = - 1$

B. $a + b = \frac{1}{2}$

C. $a + b = \frac{1}{3}$

D. $a + b = \frac{13}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, x = a; x = b là $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y = x \sqrt{4 + x^{2}}$ với trục hoành là $x \sqrt{4 + x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình phẳng cần tìm là

Suy ra

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} (2 - \frac{e^{x}}{\sin^{2} x})$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng các công thức nguyên hàm

Cách giải:

Ta có :

Câu 16:

Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) . Tìm $I = \int [3 f (x) + 2] d x$

A. B.

B. $I = 3 F (x) + 2 x + C$

C. $I = 3 F (x) + 2 + C$

D. $I = 3 x F (x) + 2 + C$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng tính chất

$\int [α f (x) \pm β g (x)] d x = α \int f (x) d x \pm β \int g (x) d x$

Cách giải:

Ta có:

Câu 17:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{3} \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} d x v à t = \sqrt{x + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính vi phân dx theo dt , đổi cận.

- Thay vào tính tìm tích phân và kết luận.

Cách giải:

Đối chiếu các đáp án ta thấy A, B, D đúng.

Đáp án C sai vì quên không đổi cận.

Câu 18:

Cho hình phẳng H (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích vật thể tạo thành khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) ; y = g (x) và

hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox là $V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

Cách giải:

Ta có :

Câu 19:

Cho $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{2 x + m}}$ , m là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của m để $I ⩾ 1 .$

A. $0 < m ⩽ \frac{1}{4}$

B. $m \geq \frac{1}{4}$

C. $m > 0$

D. $\frac{1}{8} \leq m \leq \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức

$\int {(a x + b)}^{n} d x = \frac{1}{a} \frac{{(a x + b)}^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1)$

và $\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ với F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x).

Cách giải:

Ta có:

Từ đề bài ta có :

Câu 20:

Cho (T) là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích V của (T) biết rằng khi cắt (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, $0 \leq x \leq 1$ ,ta được thiết diện là tam giác đều có các cạnh bằng $\sqrt{1 + x}$

A. $V = \frac{3}{2}$

B. $V = \frac{3 \sqrt{3}}{2} π$

C. $V = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

D. $V = \frac{3}{2} π$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích của vật thể là: S (x), sử dụng công thức $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ để tính thể tích của vật thể.

Cách giải:

Thể tích cần tìm là:

Câu 21:

Biết $\int_{0}^{3} \frac{x}{4 + 2 \sqrt{x + 1}} d x = \frac{a}{3} + b \ln 2 + c \ln 3$ ,

trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính T = a + b + c

A. T =1.

B. T = 4 .

C. T = 3.

D. T = 6 .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ.

Cách giải:

Câu 22:

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên $ℝ$ , thỏa mãn $f (x^{5} + 4 x + 3) = 2 x + 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tích phân $\int_{- 2}^{8} f (x) d x$ bằng:

A. 10.

B. 2.

C. $\frac{32}{3}$

D. 72

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\Rightarrow f (x^{5} + 4 x + 3) = 2 x + 1 \Rightarrow \int_{- 1}^{1} (5 x^{4} + 4) . f (x^{5} + 4 x + 3) d x = \int_{- 1}^{1} (5 x^{4} + 4) . (2 x + 1) d x \Leftrightarrow \int_{- 2}^{8} f (t) d t = \int_{- 1}^{1} (10 x^{5} + 5 x^{4} + 8 x + 4) d x$