Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_{2}x>0\iff x>1 \\ TXĐ: D=(1;+\infty ) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Xét đáp án A: \\ ĐK vế trái là bc>0 nên b,c có thể cùng âm hoặc dương \\ \Rightarrow {\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c chỉ đúng khi b,c dương \\ \Rightarrow {\log }_a(b.c)={\log }_a\left|b\right|+{\log }_a\left|c\right| \Rightarrow B sai \end{gathered}$$

Với đáp án C và D sai vì:

${{\log }_a}^{\alpha }{b}^2={\left(2{\log }_a\left|b\right|\right)}^{\alpha } vì chưa biết dấu của b$

Đáp án B.

Đáp án B

Cách 1:  Tư duy tự luận

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $1+2=3$.

Cách 2:  Sử dụng máy tính cầm tay

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$. Tổng các nghiệm là $1+2=3$.

Đáp án A

Cách 1:  Tư duy tự luận

Cách 2:  Sử dụng máy tính cầm tay

Đáp án A

Phương trình

$$\begin{gathered} {\log }_2\left(1-x\right)=2 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1-x>0\\ 1-x=2^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x<1\\ x=-3\end{array}\iff x=-3\right. \end{gathered}$$

Đáp án D

Ý tưởng bài toán:  Với bài toán dạng này, ta thường chọn  hai giá trị a, b bất kì, tính tổng $f\left(a\right)+f\left(b\right)$ và tìm mối quan hệ giữa hai giá trị a, b.

Cần chọn hai giá trị a, b sao cho tử rút gọn được với mẫu.

Ta thường chọn $a+b=k$ hoặc $ab=k$. Ở bài toán này ta chọn $ab=k$.

Nếu $ab=\frac{1}{4}$ thì ${\log }_{2}ab={\log }_2\frac{1}{4}=-2$.

Suy ra 

Vậy với các giá trị a, b thỏa mãn $ab=\frac{1}{4}$ thì $f\left(a\right)+f\left(b\right)=2$.

Ta có

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $f\left(x\right)$ và Ox: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$.

Để phương trình có bốn nghiệm

Gọi $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ lần lượt là bốn nghiệm của phương trình $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ và $x_1<x_2<x_3<x_4$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a>0$.

Khi đó

Suy ra $x_1=-\sqrt{-\frac{5b}{6a}}; x_2=-\sqrt{-\frac{b}{6a}}; x_3=\sqrt{-\frac{b}{6a}}; x_4=\sqrt{-\frac{b}{6a}}$.

Do đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ nhận trục tung làm trục đối xứng  nên ta có:

Suy ra

Vậy $S_1=S_2$ hay $\frac{S_1}{S_2}=1.$

Đáp án B

Điều kiện 

Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt $t=x^2\ge 1$, theo bài ra ta có $1\le \left|x_1\right|<\left|x_2\right|\le 3\iff 1\le x_1^2<x_2^2\le 9\Rightarrow t\in \left[1;9\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\sqrt{2-(t-1)}.\log (t+1)$ trên đoạn $\left[1;9\right]$.

Ta có

$\Rightarrow$Hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên đoạn $\left[1;9\right]$. Khi đó $f\left(1\right)\le f\left(t\right)\le 9$ hay $1\le f\left(t\right)\le 4$.

Đặt $u=\sqrt{2(x^2-1)}.\log (x^2+1)\Rightarrow u\in \left[0;4\right]$. Khi đó phương trình $\left(*\right)$ trở thành $u^2-2m.u+2m+8=0\left(1\right)$.

Nhận thấy $u=1$ không phải là nghiệm của phương trình $\left(1\right)$. Với $u\ne 1$ thì phương trình $\left(1\right)$ tương đương với $u^2+8=2m(u-1)\iff 2m=\frac{u^2+8}{u-1}\left(2\right)$

Xét hàm số $g\left(u\right)=\frac{u^2+8}{u-1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.

Ta có $g\text{'}\left(u\right)=\frac{u^2-2u-8}{{\left(u-1\right)}^2}$; $g\text{'}\left(u\right)=0\iff {[}_{u=-2}^{u=4}$. Mà $u\in \left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$ nên $u=4$.

Mặt khác, có $g\left(0\right)=-8$; $g\left(4\right)=8$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(u\right)=-\infty$; $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(u\right)==\infty$.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\iff$ Phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm duy nhất trên đoạn  $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.

Suy ra

Mặt khác $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, $m\in \left[-2017;2017\right]$ nên suy ra

Vậy có tất cả $\left(2017-4+1\right)+\left(-4+2017+1\right)=4028$ giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.

Đáp án D.

* Phương pháp tự luận:

* Phương pháp trắc nghiệm:  Thay $x=\sqrt{2}$ vào biểu thức ta tính được $P=2$.

Đáp án A.

Đáp án A.

Phương trình

Đáp án C.

Bất phương trình $\iff {\log }_2\left(5^x-1\right)\left[1+{\log }_2\left(5^x-1\right)\right]\ge m$ 

Đặt $t={\log }_2\left(5^x-1\right)$, do $x\ge 1\Rightarrow t\in [2;+\infty )$ 

Bất phương trình $t^2+t\ge m\iff f\left(t\right)\ge m$ 

Với $f\left(t\right)=t^2+t,f\text{'}\left(t\right)=2t+1>0$ với $t\in [2;+\infty )$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến nên $\min \left(t\right)=f\left(2\right)=6$ 

Do đó theo bài ra để bất phương trình có nghiệm $x\ge 1$ thì $m\le \min f\left(t\right)\iff m\le 6$ 

Đáp án C.

lg (10a) = lg (10) + lg a = 1 + lg a

$lg\left(a^5\right)=5lga$

Đáp án D.

Ta có

Suy ra $a=-1, b=4$ Do đó $a^2+b^2=17$ .

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS giải đúng được $a=-1, b=4$ nhưng lại tính sai $a^2+b^2=15$ hoặc do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:

Suy ra $a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}; b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ Do đó tính được $a^2+b^2=15$

Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình. Cụ thể:

Suy ra $a=\frac{3-\sqrt{13}}{2}; b=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$Do đó tính được $a^2+b^2=11$.

Đáp án A

Hàm số  xác định trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi

Suy ra các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4$. Vậy số 9 có giá trị  nguyên tham số $m$.

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS tính sai biệt thức  $∆=m^2-6<0\iff -\sqrt{6}<m<\sqrt{6}$  nên tìm được 5 giá trị .

Phương án C: Sai do HS đếm sai. Cụ thể là có 5 số nguyên thuộc $[0;2\sqrt{6})$, khoảng $\left(-2\sqrt{6};2\sqrt{6}\right)$ là khoảng đối xứng nên trong khoảng $\left(-2\sqrt{6};2\sqrt{6}\right)$có 10 số nguyên.

Phương án D: Sai do HS giải sai như phương án B nhưng đếm sai như phương án C.

Đáp án B.

Ta có

Suy ra $x_1+x_2=3; x_1{x}_2=1$ và ${x_1}^3+{x_2}^3={(x_1+x_2)}^3-3x_1{x}_2 (x_1+x_2)=3^3-3.1.3=18$

Do đó ${\log }_{\sqrt{2}}\left|{x_1}^3+{x_2}^3-2\right|={\log }_{\sqrt{2}}16=8$

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính đúng ${x_1}^3+{x_2}^3-2=16$ nhưng lại tính sai ${\log }_{\sqrt{2}}\left({x_1}^3+{x_2}^3-2\right)={\log }_{\sqrt{2}}16=4$.  

Phương án C: Sai do HS tính sai $x_1+x_2=-3$  nên ${x_1}^3+{x_2}^3-2=-20$ Do đó ${\log }_{\sqrt{2}}\left|{x_1}^3+{x_2}^3-2\right|={\log }_{2}400.$

Phương án D: Sai do HS biến đổi sai

$3^{x^2-3x+4}=27\iff x^2-3x+4=9\iff x^2-3x-5=0$

Do đó dẫn đến tính sai ${x_1}^3+{x_2}^3-2=70$ .

Suy ra ${\log }_{\sqrt{2}}\left|{x_1}^3+{x_2}^3-2\right|=2+{\log }_{2}1255$.

Đáp án C.

Ta có

Đáp án D.

Ta có

Vậy D sai.

Đáp án C.

* Phương án A: Đạo hàm $y\text{'}=a^x.\ln a>0$ nên hàm số $y=a^x$ chỉ đồng biến khi $a>1$ . Vậy A sai.

* Phương án B: Đồ thị hàm số $y=a^x$ luôn cắt trục tung tại điểm $\left(0;1\right)$. Vậy B sai.

* Phương án C: Trên đồ thị hàm số $y=a^x$ lấy điểm $\left(x_1;y_1\right)\to y_1=a^{x_1}$. Trên đồ thị $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ lấy điểm $\left(x_2;y_2\right)\to y_2={\left(\frac{1}{a}\right)}^{x_2}$.

Khi đó hai điểm $\left(x_1;y_1\right)$ và $\left(x_2;y_2\right)$ đối xứng nhau qua trục tung $\to$ Hai đồ thị $y=a^x$ và $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ đối xứng nhau qua trục tung. Vậy C đúng, D sai.

Đáp án B.

Điều kiện: $x\ne 0$.

Phương trinh

Vậy $a+b=5$.

Đáp án B.

Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì phương trình tương đương với:

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m-1=0$            (1)

Đặt ${\log }_2(x-2)=t$. Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì $t\in \left[-1;1\right]$. Phương trình (1) trở thành:

$(m-1)t^2+(m-5)t+m-1=0\iff m(t^2+t+1)=t^2+5t+1\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}$ (2)

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ .

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=\frac{-4(t^2-1)}{t^2+t+1}\ge 0, \forall t\in \left[-1;1\right]; f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$. Khi đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left[-1;1\right]$. Suy ra $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(t\right)=f(-1)=-3;$ $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(1\right)=\frac{7}{3}$.

Phương trình (2) có nghiệm $\iff$ Đường thẳng $y-m$ cắt đồ thị hàm số $f\left(t\right)$ $\iff -3\le m\le \frac{7}{3}$. Vậy $S=\left[-3;\frac{7}{3}\right]\to a=-3, b=\frac{7}{3}\to a+b=-3+\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}$.

Đáp án D.

Phương trình tương đương với

Đặt $2^x-\frac{1}{2^x}=t\to 4^x+\frac{1}{4^x}=t^2+2$. Xét hàm số $t\left(x\right)=2^x-\frac{1}{2^x}$ trên $\left[0;1\right]$.

Đạo hàm $t\text{'}\left(x\right)=2^x.\ln 2+\frac{\ln 2}{2^x}>0, \forall x\in \left[0;1\right]\Rightarrow$ Hàm số $t\left(x\right)$ luôn đồng biến trên $\left[0;1\right]$. Suy ra $\underset{x\in \left[0;1\right]}{\min }t\left(x\right)=t\left(0\right)=0$ và $\underset{x\in \left[0;1\right]}{\max }t\left(x\right)=t\left(1\right)=\frac{3}{2}$. Như vậy $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.

Phương trình (1) có dạng:

Phương trình (1) có nghiệm $t\in \left[0;1\right]\iff$ phương trình ẩn t có nghiệm $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$$\iff 0\le m-1\le \frac{3}{2}\iff 1\le m\le \frac{5}{2}$. Mà $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $m\in \left\{1;2\right\}$ . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t-\frac{1}{3^t}+t$ trên $\mathrm{ℝ}$.

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=5^t.\ln 5+\frac{\ln 3}{3^t}+1>0, \forall t\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow$hàm số $f\left(t\right)$ luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Suy ra

Do $y>0$ nên $\frac{x+1}{x-2}>0\iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<-1\end{array}$ . Mà $x>0$ nên $x>2$.

Từ đó $T=x+y=x+\frac{x+1}{x-2}$. Xét hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{x+1}{x-2}$ trên $\left(2;+\infty \right)$.

Đạo hàm

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left(2;+\infty \right)$, ta thấy $\min g\left(x\right)=g(2+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$.

Vậy $T_{min}=3+2\sqrt{3}$ khi $x=2+\sqrt{3}$ và $x=1+\sqrt{3}$.

Đáp án A.

Ta có

Đáp án A.

Ta có

Đáp án A.

Ta có

Đáp án A.

Hàm số $y={\left(4x^2-1\right)}^{-4}$ xác định $\iff 4x^2-1\ne 0\iff x\ne \pm \frac{1}{2}$ 

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}$.

Đáp án A.

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y=2^{\left|x\right|}$ và $y=\sqrt{m^2-x^2}$. Nên để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số $y=2^{\left|x\right|}$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{m^2-x^2}$ tại hai điểm phân biệt.

Quan sát đồ thị hình bên suy ra