Tại bảng I: Ta có 3.(-15) = -4,5.10 = 5. (-9) = -0,75.60 = -45

Nên y tỉ lệ nghịch với x. Hệ số tỉ lệ -45. Công thức x.y = -45.

Bảng I

Tại bảng II: $\frac{15}{3}=\frac{-2,5}{-0,5}=\frac{-30}{-6}=\frac{4,75 }{0,95}=\frac{-7,5}{-1,5}=\frac{1,75}{0,35}=5$

Nên y tỉ lệ thuận với x. Hệ số tỉ lệ 5. Công thức y=5x

Bảng II

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}\Rightarrow \frac{y_1}{x_2}=\frac{y_2}{x_1}=\frac{8y_1}{8x_2}=\frac{5y_2}{5x_1}=15,5$

Do dó x₁= y₂ : 0,5 = 5

Và x₂ = y₁ : 0,5 = 7

Hệ số tỉ lệ của hai đại lượng là: a = x₁ . y₁ = 5.3,5=17,5

Gọi số ngày cần tìm là z ngày ( z > 0 ). Cùng một công việc và số giờ làm việc một ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có: $\frac{5}{10}=\frac{z}{12}\Rightarrow z=5.12:10=6$ (ngày).

* Có thể lý luận cách khác :

Một ngày 5 máy cày với tổng số giờ là 5.8 = 40 (giờ)

Một ngày 10 máy cày với tổng số giờ là 10.8 = 80 (giờ)

Cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó $\frac{40}{80}=\frac{z}{12}\Rightarrow 40.12:80=6$ (ngày).

Gọi số máy cày cần tìm là t (cái).

Số giờ năm máy cày xong cánh đồng là 8.12 = 96 (giờ).

Số giờ x máy cày xong cánh đồng là 6.5 = 30 (giờ).

Trên cùng một cánh đồng số máy cày và số giờ làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó ta có : $\frac{96}{30}=\frac{x}{5}\Rightarrow x=96.5:30=16$

Vậy số máy cày cần tìm là 16 cái.

Gọi diện tích của $△ABC$ là S. Ta biết rằng 2S = ah_a = bh_b = ch_c nên trong một tam giác cạnh và đường cao tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau.

Biết h_a:h_b:h_c=3 : 4 :5 nên a:b:c=$\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$ = 20:15:12

Tức là $\frac{a}{20}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}=\frac{4a}{80}=\frac{6b}{90}=\frac{5c}{60}=\frac{4a+6b-5c}{80+90-60}=\frac{220}{110}=2$

Vậy chu vi tam giác là 20.2+15.2+12.2=94(cm).

Ta có 45 phút = 0,75 giờ; 30 phút = 0,5 giờ.

Gọi thời gian dự định là t (giờ); (t>0) ; Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 40km/h là t₁ = (t + 0,5) (giờ). Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 60km/h là t₂ = ( t - 0,75). Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó theo tính chất của tương quan tỉ lệ nghịch, ta có:

$\frac{40}{60}=\frac{t_2}{t_1}\Rightarrow \frac{t_1}{60}=\frac{t_2}{40}=\frac{t_1-t_2}{60-40}=\frac{t+0,5-t+0.75}{20}=\frac{1,25}{20}=\frac{1}{16}$

$\frac{t_1}{60}=\frac{1}{16}\Rightarrow t_1=3,75$ (giờ).

Thời gian dự định là: 3,75 – 0,5 = 3,25 (giờ) = 3 giờ 15 phút.

Quãng đường AB dài là: 3,75.40 = 150(km).

Cùng một diện tích, số m vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Gọi số mét vải mỗi người mua lần lượt là x,y,z,t (x,y,z,t  > 0 ) ta có:

1,5x=1,2=z=0,8t hay 15x=12y=10z=8t

$\Rightarrow \frac{15x}{120}=\frac{12y}{120}=\frac{10z}{120}=\frac{8t}{120}\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{10}=\frac{z}{12}=\frac{t}{5}=\frac{x+y+z+t}{8+10+12+5}=\frac{22,5}{45}=0,5$

Vậy: x=8.0,5=4(m) ; y= 10.0,5=5(m)

z=12.0,5=6(m) ; t = 15.0,5=7,5 (m).

Diện tích vải mỗi người mua là: 4.1,5=6m².

Gọi số xe các loại chở 50 khách; chở 45 khách; chở 30 khách và chở 25 khách lần lượt là x;y;z;t (x;y;z;t >0) ta có:

x +y+z+t = 610 và $\frac{2x}{3}=\frac{3y}{4}=\frac{4z}{5}=\frac{5t}{6}$

$\Rightarrow x:y:z:t=\frac{3}{2}:\frac{4}{3}:\frac{5}{4}:\frac{6}{5}=90:80:75:60$.

Hay $\frac{x}{90}=\frac{y}{80}=\frac{z}{75}=\frac{t}{60}=\frac{610}{305}=2$.

Suy ra x=180; y=160; z=150;t=120

Ta có hai bánh xe khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Vì thế:

 Gọi số vòng quay của bánh xe thứ hai là x (x>0) thì $\frac{90}{72}=\frac{x}{36}$

Suy ra x=90.36:72=45 (vòng).

Gọi số răng của bánh xe thứ ba là y  thì $\frac{45}{180}=\frac{y}{72}$

Suy ra y = 45.72 :180 = 18 (răng).

Số công nhân sau khi tăng có 48 + 48.25% = 48 + 12 = 60 (người)

Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 60 công nhân theo năng suất cũ là x ta có:

$\frac{60}{48}=\frac{30}{x}\Rightarrow x=30.48:60=24$ (ngày).

Năng suất lao động mới là: 100% + 20% = 120%.

Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi số ngày 60 công nhân làm theo năng suất mới là y thì ta có $\frac{100\%}{120\%}=\frac{y}{24}\Rightarrow y=100.24:120=20$ (ngày).

Gọi hai số phải tìm là x;y ( x;y >0). Tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 và 25 nghĩa là tỉ lệ thuận với $\frac{1}{50};\frac{1}{125};\frac{1}{25}$

(x+y):(x-y):xy $\frac{1}{50}:\frac{1}{125}:\frac{1}{25}=5:2:10$=  Hay $\frac{x+y}{5}=\frac{x-y}{2}=\frac{xy}{10}$ $=\frac{2x}{7}=\frac{2y}{3}$

Suy ra 7y=20 $\Rightarrow y=\frac{20}{7} và x=\frac{20}{3}$

Gọi bốn phần của M là x;y;z;t (x;y;z;t >0)

Ta có: x:y:z:t=$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}=30:20:15:12$

Hay $\frac{x}{30}=\frac{y}{20}=\frac{z}{15}=\frac{t}{12}$=k

$\Rightarrow k^2=\frac{x^2}{900}=\frac{y^2}{400}=\frac{z^2}{225}=\frac{t^2}{144}=\frac{x^2+y^2-z^2-t^2}{900+400-225-144}=\frac{3724}{931}=4={(\pm 2)}^2$

Do các phần đều dương nên k=2

$\Rightarrow x=60; y=40; z=30; t=24$ và M=154.

a:b:c =$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{5}=15:10:6$

Hay $\frac{a}{15}=\frac{b}{10}=\frac{c}{6}=k$

$\Rightarrow k^3=\frac{a^3}{3375}=\frac{2b^3}{2000}=\frac{3c^3}{648}=\frac{a^3-2b^3-3c^3}{3375-2000-648}=\frac{-5816}{727}=-8=-{\left(2\right)}^3$

Vậy k=-2 $\Rightarrow a=-30; b=-20;c=-12$

Ta có $\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2019}=k$

$\Rightarrow$a=2017k ; b=2018k ; c=2019k

Do đó A=$\frac{2020(2017k-2018k)(2018k-2019k)}{{(2019k-2017k)}^2}=\frac{2020(-k)(-k)}{{\left(2k\right)}^2}=505$

Do đó $\frac{a+c}{b}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{a+c+b}{b}=\frac{5+2}{2}$

$\Rightarrow \frac{105}{b}=\frac{7}{2}\Rightarrow b=\frac{105\times 2}{7}=30cm$

và a + c = 105 -30 = 75cm

Cùng một diện tích, thì cạnh đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao tương ứng

Do đó ta có: $\frac{a}{c}=\frac{h_c}{h_a}\Rightarrow \frac{a}{32}=\frac{c}{28}=\frac{a+c}{32+28}=\frac{75}{60}=\frac{5}{4}$

Vậy BC = a = 32.$\frac{5}{4}=40cm$ ; AB=c=28.$\frac{5}{4}=35cm$

Ta có 30 phút = 0,5 giờ. Cùng một quãng đường AB thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Gọi t₁  là thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB, t₂ là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB,

Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có: $\frac{60}{45}=\frac{t_2}{t_1}$

$\Rightarrow \frac{t_2}{60}=\frac{t_1}{45}=\frac{t_2-t_1}{60-45}=\frac{0,5}{15}=\frac{1}{30}$ Ta có: $\frac{t_2}{60}=\frac{1}{30}\Rightarrow t_2=1.60:30=2$ (giờ).

Quãng đường AB dài là: 2.45 = 90(km).

Với quãng đường như nhau thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Gọi thời gian đi trên bốn đoạn đường lần lượt là x;y;z;t (giờ) (x;y;z;t >0 ).

Ta có: 50x=40y=60z=30t=s $\Rightarrow \frac{50x}{600}=\frac{40y}{600}=\frac{60z}{600}=\frac{30t}{600}$

$\Rightarrow \frac{x}{12}=\frac{y}{15}=\frac{z}{10}=\frac{t}{20}=\frac{x+y+z+t}{57}=\frac{19}{57}=\frac{1}{3}$

x= 12.$\frac{1}{3}$= 4 (giờ). Mỗi chặng dài 4.50=200 km.

Quãng đường AB dài 4.200=800km.

Gọi v₁ là vận tốc ô tô thứ nhất, v₂ là vận tốc ô tô thứ hai (v_1;v₂ > 0)  ta có $\frac{v_2}{v_1}=\frac{3}{5}$. Cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi t₁ là thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB; t₂ là thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB (t_1;t₂ >0)  ta có:

$\frac{t_1}{t_2}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{t_2}{5}=\frac{t_1}{3}=\frac{t_2-t_1}{2}=\frac{1,5}{2}=\frac{3}{4}$

Vậy: t₂ =$5.\frac{3}{4}=3,75$ (giờ) = 3 giờ 45 phút;

t₁=3.$\frac{3}{4}=2,25$ (giờ) = 2 giờ 15 phút.

Quãng đường AB dài: 45.( 11 - 7 ) = 180km. Gọi s₁ = AC; và v₁ km/h là vận tốc của xe ô tô; v₂ km/h là vận tốc của xe máy (s₁;s₂;.s₃;s₄)

Cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB và thời gian xe máy đi hết đoạn đường BA tỉ lệ thuận với 3 và 5 nên . Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau hai xe đi trong cùng một thời gian nên quãng đường đi được và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Do đó $\frac{s_1}{s_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{5}{3}$. Từ $\frac{s_1}{s_2}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{s_1}{5}=\frac{s_2}{3}=\frac{s_1+s_2}{5+3}=\frac{140}{8}=22,5$

$\Rightarrow s_1=5.22,5=112,5 km$.

Gọi thời gian động tử trên 3 cạnh lần lượt là t₁;t_2;t₃ (giây); (t_1;t₂;t₃ > 0).

Ta có: t_{1 :} t_{2 :}t_{3 =} $\frac{1}{6}:\frac{1}{5}:\frac{1}{4}$=10:12:15

Hay $\frac{t_1}{10}=\frac{t_2}{12}=\frac{t_3}{15}=\frac{t_1+t_2+t_3}{10+12+15}=\frac{111}{37}=3$.

Ta có t₁ =30 giây và cạnh tam giác dài là 30.6=180 m.

Chu vi tam giác là: 180.3 = 540 m.

Số người còn lại làm công việc là 42 - 42 :3 = 28 (công nhân). Năng suất lao động mới là: 100% + 50% = 150%                                                                                                              

Giữ nguyên năng suất lao động cũ. Cùng một công việc, cùng năng suất lao động thì số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày làm. Gọi số ngày làm của số 28 công nhân theo năng suất cũ là x (x > 0)ta có:

$\frac{28}{42}=\frac{14}{x}\Rightarrow x=42.14:28=21$ (ngày)

Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi số ngày 28 công nhân làm theo năng suất mới là y ( y>0)

Thì ta có: $\frac{100\%}{150\%}=\frac{y}{21}\Rightarrow y=100.21:150=14$ (ngày).

Cùng khối lượng công việc (ba con mương như nhau), năng suất lao động mỗi người như nhau thì số người làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x;y;z là số công nhân của mỗi đội .

Ta có: x : y :z = $\frac{1}{5}:\frac{1}{6}:\frac{1}{8}=24:20:15$

$\frac{x}{24}=\frac{y}{20}=\frac{z}{15}=\frac{x-y}{24-15}=\frac{18}{9}=2$

Vậy x=48 (người); y = 40 (người); z = 30 (người).

Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là x;y;z. Vì cùng diện tích cày, số máy và số ngày cày xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x:y:z = $\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{6}=10:6:5$

$\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{6}=\frac{z}{5}=\frac{y-z}{6-5}=1$

$\Rightarrow x = 10$ (máy); y = 6 (máy); z = 5 (máy).

Đặt $\frac{a}{12}=\frac{b}{9}=\frac{c}{5}=k \Rightarrow k^3=\frac{a.b.c}{12.9.5}=\frac{1}{27}\Rightarrow k=\frac{1}{3}$

Từ đó tìm được a=4 ; b=3; c=$\frac{5}{3}$

Gọi x;y;z là ba số cần tìm thì x + y + z =  420

Ta có $\frac{6}{7}x=\frac{9}{11}y=\frac{2}{3}z=\frac{x}{{\displaystyle \frac{7}{6}}}=\frac{y}{{\displaystyle \frac{9}{11}}}=\frac{z}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\frac{x+y+z}{{\displaystyle \frac{7}{6}}+{\displaystyle \frac{9}{11}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}}=108$

$\Rightarrow x=126; y=132; z=162$

Ta có: 3x=2y và 4y=5z$\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{3}$ và $\frac{y}{5}=\frac{z}{4}$ $\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{15}=\frac{z}{12}=k$

$\Rightarrow x=10k$; y=15k ; z=12k. Thay vào 3x²-y²+z² =1971