* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.

* Trình bày lời giải.

a) $\Delta ACB=\Delta MPN$; $\Delta CBA=\Delta PNM$; $\Delta BAC=\Delta NMP$.

b) $\Delta ABC=\Delta MNP$ suy ra $AB=MN=5\text{cm}$; $AC=MP=6\text{cm}$; $BC=NP=7\text{cm}$.

Chu vị $\Delta ABC$ bằng: $AB+AC+BC=5+6+7=18\left(\text{cm}\right)$.

Chu vi $\Delta MNP$ bằng: $MN+MP+NP=5+6+7=18\left(\text{cm}\right)$.

* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ $\Delta ABC=\Delta HIK$, chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.

* Trình bày lời giải.

$\Delta ABC=\Delta HIK\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{H};\widehat{B}=\widehat{I};\widehat{C}=\widehat{K}$ (cặp góc tương ứng).

Vì $\widehat{A}+\widehat{B}=124°\Rightarrow \widehat{H}+\widehat{I}=124°$; mà $\widehat{H}-\widehat{I}=16°$, nên

$\widehat{H}=\left(124°+16°\right):2=70°$;

$\widehat{I}=\left(124°-16°\right):2=54°$.

$∆∆HIK$ có$\widehat{H}+\widehat{I}+\widehat{K}=180°$ ; $70°+54°+\widehat{K}=180°\Rightarrow \widehat{K}=56°$.

Vì $\Delta ABC=\Delta HIK$ nên $\widehat{A}=\widehat{H}=70°;\widehat{B}=\widehat{I}=54°;\widehat{C}=\widehat{K}=56°$.

Giải

a) Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OBC$ có: OA=OB (giả thiết), $AC=BC$ (bán kính bằng nhau), OC cạnh chung.

$\Rightarrow \Delta OAC=\Delta OBC\left(\text{c.c.c}\right)$.

b) $\Delta OAC=\Delta OBC\left(\text{c.c.c}\right)$ nên $\widehat{AOC}=\widehat{BOC}$

tương tự: $\Delta OAD=\Delta OBD\left(\text{c.c.c}\right)$ nên $\widehat{AOD}=\widehat{BOD}$.

Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng.

Ta có $\Delta ABI=\Delta ACI\left(\text{c.c.c}\right)\Rightarrow \widehat{ACI}=\widehat{ABI}$.

$\Delta MBI=\Delta NCI\left(\text{c.c.c}\right)\Rightarrow \widehat{NCI}=\widehat{ABI}$.

Suy ra $\widehat{ACI}=\widehat{NCI}$, mà đó là hai góc kề bù nên $\widehat{ACI}=\widehat{NCI}=90°$, hay $IC\perp AN$.

a) $\Delta ABD$ và $\Delta MBD$ có $BA=BM$; $\widehat{ABD}=\widehat{MBD}$; BD là cạnh chung  $\Rightarrow \Delta ABD=\Delta MBD\left(\text{c.g.c}\right)$.

c) $\widehat{AMD}=36°$ nên $\widehat{IMB}=90°-36°=54°$;

$\Delta BIM$ vuông nên $\widehat{IBM}=90°-54°=36°$.

Suy ra $\widehat{B}=36°.2=72°$ do đó $\widehat{C}=90°-72°=18°$.

b) $\Delta MAC=\Delta BAN\Rightarrow BN=CM$. Và $\widehat{AMC}=\widehat{ABN}$.

Gọi P là giao điềm của AB và CM

Ta có: $\widehat{AMC}+\widehat{APM}=90°$ (vì $\Delta AMP$ vuông)

$\Rightarrow \widehat{ABN}+\widehat{BPO}=90°\Rightarrow BN\perp CM$.

c) $CM=BN\Rightarrow MK=BI$, mà $\widehat{AMK}=\widehat{ABN}$; $AM=AB$

nên $\Delta AMK=\Delta ABI\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow AK=AI$.

$\Rightarrow \widehat{MAK}=\widehat{BAI}$; mà $\widehat{MAK}+\widehat{KAB}=90°$

$\Rightarrow \widehat{BAI}+\widehat{KAB}=90°$ hay $AI\perp AK$.

a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra $BE=CE=AB\left(=\frac{1}{2}BC\right)$

$\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có BA=BE ; $\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$(giả thiết); BD là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}\Rightarrow \widehat{BED}=90°$.

Xét $\Delta BDE$ và $\Delta CDE$ có: $\widehat{BED}=\widehat{CED}=90°$; BE=CE ; DE chung

$\Rightarrow \Delta BDE=\Delta CDE\left(\text{c.g.c}\right)$

$\Rightarrow BD=CD$

b) $\Delta BDE=\Delta CDE\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{DBE}$

$\Rightarrow \widehat{B}=2.\widehat{C}$

Mặt khác: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (Vì $\Delta ABC$ vuông tại A)

$\Rightarrow 2\widehat{C}+\widehat{C}=90°\Rightarrow \widehat{C}=30°;\widehat{B}=60°$.

$\Delta ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Mà $\widehat{A}=60°$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=120°$.

Ta có $\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\frac{1}{2}.\widehat{B}+\frac{1}{2}.\widehat{C}=60°$.

$\Delta BOC$ có $\widehat{BOC}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=180°$

Nên $\widehat{BOC}=120°;\widehat{O_1}=60°$.

- Kẻ Ox là tia phân giác góc $\widehat{BOC}$, cắt BC tại I nên $\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=60°$.

Xét $\Delta BEO$ và $\Delta BIO$ có $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (giả thiết); $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(=60°\right)$; BO là cạnh chung

do đó $\Delta BEO=\Delta BIO\left(\text{g.c.g}\right)$. Suy ra $OE=OI$.

- Chứng minh tương tự ta có $\Delta COD=\Delta COI$ nên OD= OI.

Vậy $OE=OI(=OI)$.

* Nhận xét.

- Để chứng minh OE=OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.

- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI=BE, sau đó chứng minh $\Delta BOE=\Delta BOI$ rồi chứng minh $\Delta COD=\Delta COI$.

- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là $BE+CD=BC$.

a)

$\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có $\widehat{BEH}=\widehat{CDH}\left(=90°\right)$; HD=HE; $\widehat{BHE}=\widehat{CHD}$

$\Rightarrow \Delta BHE=\Delta CHD\left(\text{g.c.g}\right)$.

$\Delta A\text{}DB$ và $\Delta AEC$ có $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$; BD=CE; $\widehat{BAC}$ chung

$\Rightarrow \Delta A\text{}DB=\Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

c) $\Delta ABD=\Delta ACE\Rightarrow AB=AC$.

$\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có $AB=AC$; AH là cạnh chung; $BH=CH$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\left(\text{c.c.c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}\Rightarrow AH$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

d) $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có $AB=AC$; $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$; AI là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABI=\Delta ACI\left(\text{c.g.c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}$; mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180°\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$ hay $AI\perp BC$.

* Tìm cách giải. Để chứng minh $AM=\frac{1}{2}BC$ ta cần chứng minh $BC=2.AM$. Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng $2.AM$ rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.

* Trình bày lời giải.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho $MD=MA$. Suy ra $AD=2.AM$

$\Delta AMB$ và $\Delta DMC$ có $AM=MD$; $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$; $MB=MC$ nên $\Delta AMB=\Delta DMC$.

Suy ra $AB=DC$ ; $\widehat{A_1}=\widehat{D_1}$nên $AB\text{//}CD\Rightarrow DC\perp AC$.

$\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có $AB=DC$; $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=\left(90°\right)$, AC chung suy ra $\Delta ABC=\Delta CDA\left(\text{c.g.c}\right)$

$\Rightarrow BC=DA\Rightarrow BC=2.AM$ hay $AM=\frac{1}{2}BC$.

* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng trong những bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.

Hướng dẫn: $\Delta ABC=\Delta MNP$ suy ra: $\widehat{B}=\widehat{N}$; $\widehat{C}=\widehat{P}$ mà $\widehat{N}+\widehat{P}=120°$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=120°$

Ta có: $\widehat{B}-\widehat{C}=10°$ nên $\widehat{B}=\left(120°+10°\right):2=65°$

$\widehat{C}=\left(120°-10°\right):2=55°$

$∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$\widehat{A}+120°=180°$; $\widehat{A}=60°$

Vậy $\widehat{M}=\widehat{A}=60°$; $\widehat{N}=\widehat{B}=65°$; $\widehat{P}=\widehat{C}=55°$.

Hướng dẫn: $\Delta ABC=\Delta MNP\Rightarrow AB=MN$; BC= NP; AC= MP (cặp cạnh tương ứng).

Vì $AB+AC=9\text{cm}\Rightarrow MN+MP=9\text{cm}$, mà $MN-NP=3\text{cm}$ nên

$MN=\left(9+3\right):2=6\left(\text{cm}\right)$

$MP=\left(9-3\right):2=3\left(\text{cm}\right)$

Do đó chu vi $\Delta MNP$ là: $MN+NP+MP=6+5+3=14\text{cm}$.

Vì $MN-NP=3\text{cm}$ nên chu vi $\Delta ABC$ bằng chu vi $\Delta MNP$ và bằng 14cm.

Hướng dẫn: $\Delta ABC=\Delta RST\Rightarrow AB=RS$; $BC=ST$; $AC=RT$ (cặp cạnh tương ứng).

Vì $ST-RS=8\text{cm}\Rightarrow BC-AB=8\text{cm}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{BC}{5}=\frac{AB}{3}=\frac{BC-AB}{5-3}=\frac{8}{2}=4\Rightarrow BC=4.5=20\text{cm}$; $AB=3.4=12\text{cm}$.

Vậy: $AB=RS=12\text{cm}$; $AC=RT=18\text{cm}$; $BC=ST=20\text{cm}$.

Hướng dẫn: $\Delta OAB$ và $\Delta OCB$ có $OA=OC$; $AB=CB$; OB chung

$\Rightarrow \Delta OAB=\Delta OCB\left(\text{c.c.c}\right)$

AB=CD; AD=BC; AC cạnh chung

Nên $\Delta ABC=\Delta CDA\left(\text{c.c.c}\right)$

Suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$.

Mà hai góc ở vị trí so le trong $\Rightarrow AD//CD$.

Hướng dẫn:

a) $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có $AB=BE$; $\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$; BD chung

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD\left(\text{c.g.c}\right)$.

Hướng dẫn:

a) $\Delta ABD$ có 

$\widehat{ADB}=90°\Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90°\left(1\right)$

    $\Delta ACE$ có $\widehat{AEC}=90°\Rightarrow \widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90°\left(2\right)$

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ do đó $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$.

b) $\Delta ABH$ và $\Delta KCA$ có $AB=CK$; $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$; $BH=AC$

Hướng dẫn:

Ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{ABD}=180°$; $\widehat{ACK}+\widehat{ACB}=180°$ (cặp góc kề bù)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}=\left(\frac{1}{2}\widehat{ABC}\right)\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ACK}$.

$\Delta ABE$ và $\Delta ACK$có: AB=CK ; $\widehat{ABD}=\widehat{ACK}$; BE=AC

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta KCA\left(c.g.c\right)\Rightarrow AE=KA$

Hướng dẫn:

a) Ta dễ chứng minh được $\Delta A\text{}DE=\Delta CFE\left(\text{c.g.c}\right)$

Suy ra $AD=CF\Rightarrow BD=CF$

Và $\widehat{A}=\widehat{FCE}$, mà hai góc ở vị trí so le trong nên $CF\text{//}AB$.

b) Xét $\Delta BDC$ và $\Delta FCD$ có BD=FC (chứng minh trên); $\widehat{BDC}=\widehat{FCD}$ (so le trong $AB\text{//}CF$); CD là cạnh chung

c) $\Delta BDC=\Delta FCD$ (chứng minh trên) nên $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$, mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra $DE\text{//}BC$.

a)  $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$(giả thiết); $BE=BA$; BD là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD\left(\text{c.g.c}\right)$

$\Rightarrow AD=ED$.

b) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}$       

$\Rightarrow \widehat{BED}=90°\Rightarrow DE\perp BC$,

c) $AH\text{//}DE\Rightarrow \widehat{AHO}=\widehat{IDO}$(cặp góc so le trong).

$\Delta AHO$ và $\Delta IDO$ có $\widehat{AHO}=\widehat{IDO}$; $OH=OD$; AH=ID

$\Rightarrow \Delta AHO=\Delta IDO\left(\text{c.g.c}\right)$$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{IOD}.$

Mà $\widehat{AOH}+\widehat{AOD}=180°$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat{IOD}+\widehat{AOD}=180°$.

a)

 $\widehat{CBD}=\widehat{ABE}\left(=90°\right)$

$\Rightarrow \widehat{CBA}+\widehat{ABD}=\widehat{CBA}+\widehat{CBE}$   $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBE}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBC$ có $AB=EB$; $\widehat{ABD}=\widehat{CBE}$ 

(cùng phụ với góc ABC); $BD=BC$

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBC\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow AD=CE$  .

b) Gọi H, I là giao điểm của đường thẳng AD với CE và BC.$\Delta ABD=\Delta EBC$ suy ra: $\widehat{BDA}=\widehat{BCE}$ mà $\widehat{BDA}+\widehat{BIA}=90°$

b) Ta có $\widehat{BAD}=90°$; $\widehat{CAE}=90°$

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{DAE}=180°\left(1\right)$

$\Delta AMC=\Delta NMB$ (chứng minh trên)$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MNB}\Rightarrow BN\text{//}AC$

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{ABN}=180°\left(2\right)$

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM và DE.

$\Delta ABN=\Delta DAE$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{NAB}\left(1\right)$

Mà $\widehat{DAB}=90°\Rightarrow \widehat{DAI}+\widehat{NAB}=90°\left(2\right)$

Hướng dẫn: $\Delta OAB=\Delta OCD\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow AB=CD$.

a)

$\Delta ABC$ có $\widehat{A}=120°\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=60°$.

Ta có: $\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{B}+\frac{1}{2}\widehat{C}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

b) $\widehat{BIC}=150°\Rightarrow \widehat{BIF}=\widehat{CIE}=30°$.

$\Delta CIN$ và $\Delta CIE$ có $\widehat{ECI}=\widehat{NCI}$; CI là cạnh chung; $\widehat{EIC}=\widehat{NIC}\left(=30°\right)$

$\Rightarrow \Delta CIN=\Delta CIE\left(\text{g.c.g}\right)\Rightarrow CE=CN\left(1\right)$

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta BFI=\Delta BMI\left(\text{g.c.g}\right)\Rightarrow BM=BF\left(2\right)$

a)

Kẻ $EM\text{//}AB\left(M\in BC\right)$

Tam giác DEM và tam giác MBD có $\widehat{D_1}=\widehat{M_1}$; DM chung; $\widehat{D_2}=\widehat{M_2}$

nên $\Delta DEM=\Delta MBD\left(\text{g.c.g}\right)$ suy ra BD=ME ; DE= BM .

Ta có $AB\text{//}EM$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{E_1}$; $\widehat{B_1}=\widehat{M_3}$

Lại có $KI\text{//}BC$ nên $\widehat{K_1}=\widehat{B_1}$.

a)

Xét  $\Delta ABD$và $\Delta CAE$ có $\widehat{BDA}=\widehat{AEC}=90°$; AB= AC (giả thiết); $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ với $\widehat{A_2}$)

b)  $\Delta ABD=\Delta CAE$nên $BD=AE$; AD= CE do đó $BD-CE=AE-AD$. Vậy $BD-CE=DE$.