Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án
Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án
-
274 lượt thi
-
52 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho .
a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.
* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.
* Trình bày lời giải.
a) ; ; .
Câu 2:
b) Cho ; ; . Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?
b) suy ra ; ; .
Chu vị bằng: .
Chu vi bằng: .
Câu 3:
Cho , biết ; . Tính các góc của mỗi tam giác.
* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ , chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.
* Trình bày lời giải.
(cặp góc tương ứng).
Vì ; mà , nên
;
.
có ; .
Vì nên .
Câu 4:
Giải
![Cho góc nhọn xOy. Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA=OB. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid0-1664342571.png)
a) Xét và có: OA=OB (giả thiết), (bán kính bằng nhau), OC cạnh chung.
.
Câu 5:
b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.
b) nên
tương tự: nên .
Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng.
Câu 6:
Cho có . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM. Gọi I là một điểm sao cho ; IM=IN. Chứng minh rằng: .
![Cho tam giác ABC có AB=AC . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid1-1664342894.png)
Ta có .
.
Suy ra , mà đó là hai góc kề bù nên , hay .
* Nhận xét.
Đây là bài toán khó. Để chứng minh chúng ta suy nghĩ và chứng minh là điều cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa hoặc .
Câu 7:
Cho tam giác ABC có . Kẻ tia phân giác góc cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=BA.
a) Chứng minh rằng .
![Cho tam giác ABC có góc A= 90 độ . Kẻ tia phân giác góc góc B cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=BA (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid2-1664343205.png)
a) và có ; ; BD là cạnh chung .
.Câu 8:
b) Chứng minh rằng .
Xét và có AB=MB; ; BI là cạnh chung
mà nên , suy ra: .
Câu 10:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng ; AM=AB sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng và AN=AC sao cho N và B khác phía đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm BN và CM. Chứng minh rằng:
a,
![Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM vuông góc AB ; AM=AB sao cho M và C khác phía đối với đường thẳng AB. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid3-1664343757.png)
a, nên
Câu 13:
Cho vuông tại A có . Tia phân giác của góc cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng BD=CD.![Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2AB. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng BD=CD. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid4-1664344424.png)
a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra
và có BA=BE ; (giả thiết); BD là cạnh chung
.
Xét và có: ; BE=CE ; DE chung
Câu 15:
Cho tam giác ABC có . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE.
![Cho tam giác ABC có góc A=60 độ . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid5-1664344915.png)
có
Mà nên .
Ta có .
có
Nên .
- Kẻ Ox là tia phân giác góc , cắt BC tại I nên .
Xét và có (giả thiết); ; BO là cạnh chung
do đó . Suy ra .
- Chứng minh tương tự ta có nên OD= OI.
Vậy .
* Nhận xét.
- Để chứng minh OE=OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI=BE, sau đó chứng minh rồi chứng minh .
- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là .
Câu 16:
Cho tam giác ABC. Từ B kẻ ; . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng .
a)
![Cho tam giác ABC. Từ B kẻ BD vuông góc AC ; CE vuông góc AB . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Biết rằng HD=DE . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid7-1664345234.png)
và có ; HD=HE;
.
Câu 18:
c) Chứng minh AH là tia phân giác của .
c) .
và có ; AH là cạnh chung; (chứng minh trên)
là tia phân giác của .
Câu 19:
d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng .
d) và có ; ; AI là cạnh chung
; mà hay .
Câu 20:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng .
![Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid8-1664346139.png)
* Tìm cách giải. Để chứng minh ta cần chứng minh . Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho . Suy ra
và có ; ; nên .
Suy ra ; nên .
và có ; , AC chung suy ra
hay .
* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng trong những bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.
Câu 21:
Cho hình vẽ bên.
Biết rằng ; .
Chứng minh rằng: , .![Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB//CD ; AD//BC. Chứng minh rằng: AB=CD, AD=BC . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid9-1664346451.png)
(cặp so le trong)
(cặp so le trong)
và có , BD là cạnh chung, .
Suy ra .
Câu 22:
Cho biết ; . Tính số đo các góc của mỗi tam giác.
Hướng dẫn: suy ra: ; mà
Ta có: nên
có
;
Vậy ; ; .
Câu 23:
Hướng dẫn: ; BC= NP; AC= MP (cặp cạnh tương ứng).
Vì , mà nên
Do đó chu vi là: .
Vì nên chu vi bằng chu vi và bằng 14cm.
Câu 24:
Cho , biết và ; . Tính mỗi cạnh của mỗi tam giác.
Hướng dẫn: ; ; (cặp cạnh tương ứng).
Vì .
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
; .
Vậy: ; ; .
Câu 25:
Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của .
![Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của góc AOC. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid10-1664347644.png)
Hướng dẫn: và có ; ; OB chung
Câu 26:
![Trong hình vẽ bên biết AC=CD , AD=BC . Chứng minh: AB//CD, AD//BC. Nối AC (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid11-1664348089.png)
AB=CD; AD=BC; AC cạnh chung
Nên
Suy ra .
Mà hai góc ở vị trí so le trong .
mà hai góc ở vị trí so le trong .Câu 27:
![Cho tam giác ABC có góc A=50 độ ; AB=AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác ABM , tam giác ACM .( Trường hợp c.g.c) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid12-1664348577.png)
Hướng dẫn: và có AM chung; AB=AC ; BM=CM
(góc tương ứng)
.
(góc tương ứng).
Mà nên .
cóCâu 28:
Cho vuông tại A. Tia phân giác của cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE=BA.
a) Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn:
![Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE=BA . a) Chứng minh rằng: . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid13-1664348780.png)
a) và có ; ; BD chung
.
Câu 31:
Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ , . Trên tia đối của tia BD lấy điểm H sao cho . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho . Chứng minh:
a,
Hướng dẫn:
![Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD vuông góc AC(D thouộc AC), CE vuôbg góc AB(E thuộc AB). Trên tia đối của tia BD lấy điểm H (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid14-1664349308.png)
a) có
có
Từ (1) và (2), suy ra: do đó .
Câu 33:
Cho tam giác ABC có . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK= AB. Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn:
![Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid15-1664349715.png)
Ta có: ; (cặp góc kề bù)
Mà .
và có: AB=CK ; ; BE=AC
Câu 34:
Cho . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh:
a, ,
Hướng dẫn:
![Cho . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho . Chứng minh: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid16-1664349896.png)
a) Ta dễ chứng minh được
Suy ra
Và , mà hai góc ở vị trí so le trong nên .
Câu 35:
b, Chngs minh:
b) Xét và có BD=FC (chứng minh trên); (so le trong ); CD là cạnh chung
do đó: .Câu 36:
c) (chứng minh trên) nên , mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra .
* Nhận xét. Từ kết luận , chúng ta còn suy ra được:Câu 37:
Cho vuông tại A, . Tia phân giác của cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho . Vẽ AH vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh rằng .
a) và có
![Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid17-1664350854.png)
(giả thiết); ; BD là cạnh chung
.
Câu 39:
c) (cặp góc so le trong).
và có ; ; AH=ID
Mà (kề bù) .
Suy ra A, O, I thẳng hàng.Câu 40:
Cho có . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ tia Bx vuông góc với BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho DB=BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ tia By vuông góc với BA. Trên tia By lấy điểm E sao cho . Chứng minh rằng:
a,
a)
![Cho tam giác ABC có góc B<90 độ . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ tia Bx vuông góc với BC. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid0-1664381024.png)
Xét và có ;
(cùng phụ với góc ABC);
.
Câu 41:
b, Chứng minh rằng:
b) Gọi H, I là giao điểm của đường thẳng AD với CE và BC. suy ra: mà
vuông, hay .Câu 42:
Cho có . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ tia Ax vuông góc với AB, trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD= AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vuông góc với AC. Trên tia Ay lấy điểm E sao cho . Trên tia đối tia MA lấy MN= MA. Chứng minh rằng:
a,
a)
![Cho tam giác ABC có góc A<90 độ. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid2-1664381443.png)
và có AM= MN; ; BM= CM
mà
Câu 43:
b, Chứng minh rằng:
b) Ta có ;
(chứng minh trên)
Xét và có AD= BA; ; AE= BN
; mà .
Câu 44:
c, Chứng minh rằng:
c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM và DE.
(chứng minh trên)
Mà
Từ (1) và (2) suy ra: hay .Câu 45:
Để đo khoảng cách AB mà không đo trực tiếp, người ta đã thực hiện như sau:
![Để đo khoảng cách AB mà không đo trực tiếp, người ta đã thực hiện như sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid3-1664381959.png)
- Chọn vị trí điểm O.
- Lấy điểm C trên tia đối tia OA sao cho .
- Lấy điểm D trên tia đối tia OB sao cho .
- Đo độ dài đoạn thẳng CD, đó chính là khoảng cách AB. Hãy giải thích tại sao?
Hướng dẫn: .
Câu 46:
a)
![Cho tam giác ABC có góc A= 120 độ . Các tia phân giác của BE; CF của góc ABC và góc ACB cắt nhau tại I (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid4-1664382280.png)
có .
Ta có: .
có :Câu 47:
b) Chứng minh CE + BF < BC.
b) .
và có ; CI là cạnh chung;
Chứng minh tương tự ta có:
Từ (1) và (2), ta có: .Câu 48:
Cho tam giác ABC có , tia phân giác của cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho . Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
![Cho tam giác ABC có góc B + góc C = 60 độ , tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid5-1664382833.png)
có .
Ta có AD là tia phân giác .
và có ; AB chung;
Chứng minh tương tự, ta có:
Từ (1) và (2), suy ra: .Câu 49:
Cho tam giác ABC có . Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK= BM .Vẽ ; .
a) Chứng minh .a)
![Cho tam giác ABC có BC= 5cm. Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK=BM . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid6-1664383203.png)
Kẻ
Tam giác DEM và tam giác MBD có ; DM chung;
nên suy ra BD=ME ; DE= BM .
Ta có nên ;
Lại có nên .
- Tam giac AKI và tam giác EMC có ;Câu 51:
Cho vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc . Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:
a) .
a)
![Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc BC( BM> MC) . Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/09/blobid7-1664383620.png)
Xét và có ; AB= AC (giả thiết); (cùng phụ với )
do đó (cạnh huyền – góc nhọnCâu 52:
b, Chứng minh rằng:
b) nên ; AD= CE do đó . Vậy .
* Nhận xét. Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng ta thường biến đổi đoạn thẳng đó thành hai đoạn cùng nằm trên một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳn