IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 7 Toán Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 4: Hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác có đáp án

  • 293 lượt thi

  • 52 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho ΔABC=ΔMNP.

a) Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó với ba cách khác.

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Khi viết hai tam giác bằng nhau thì các đỉnh tương ứng phải viết theo cùng một thứ tự. Viết như vậy, thì việc suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chính xác.

* Trình bày lời giải.

a) ΔACB=ΔMPN; ΔCBA=ΔPNM; ΔBAC=ΔNMP.


Câu 2:

b) Cho AB=5cm; AC=6cm; NP=7cm. Tính chu vi mỗi tam giác? Hãy nêu nhận xét?

Xem đáp án

b) ΔABC=ΔMNP suy ra AB=MN=5cm; AC=MP=6cm; BC=NP=7cm.

Chu vị ΔABC bằng: AB+AC+BC=5+6+7=18cm.

Chu vi ΔMNP bằng: MN+MP+NP=5+6+7=18cm.


Câu 3:

Cho ΔABC=ΔHIK, biết A^+B^=124°; H^I^=16°. Tính các góc của mỗi tam giác.

Xem đáp án

* Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tính số đo góc của tam giác nên từ ΔABC=ΔHIK, chúng ta chỉ quan tâm tới cặp góc tương ứng bằng nhau.

* Trình bày lời giải.

ΔABC=ΔHIKA^=H^; B^=I^; C^=K^ (cặp góc tương ứng).

A^+B^=124°H^+I^=124°; mà H^I^=16°, nên

H^=124°+16°:2=70°;

I^=124°16°:2=54°.

HIK H^+I^+K^=180° ; 70°+54°+K^=180°K^=56°.

ΔABC=ΔHIK nên A^=H^=70°; B^=I^=54°; C^=K^=56°.


Câu 5:

b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.

Xem đáp án

b) ΔOAC=ΔOBCc.c.c nên AOC^=BOC^

tương tự: ΔOAD=ΔOBDc.c.c nên AOD^=BOD^.

Nên C, D cùng thuộc tia phân giác góc xOy hay O, C, D thẳng hàng.


Câu 6:

Cho ΔABC AB=AC. Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM. Gọi I là một điểm sao cho IB=IC; IM=IN. Chứng minh rằng: ICAN.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC  có AB=AC . Lấy M thuộc cạnh AB; lấy N thuộc tia đối của tia CA sao cho CM=BM .  (ảnh 1)

Ta có ΔABI=ΔACIc.c.cACI^=ABI^.

ΔMBI=ΔNCIc.c.cNCI^=ABI^.

Suy ra ACI^=NCI^, mà đó là hai góc kề bù nên ACI^=NCI^=90°, hay ICAN.

* Nhận xét.

Đây là bài toán khó. Để chứng minh ICAN chúng ta suy nghĩ và chứng minh ICA^=ICN^ là điều cần thiết. Sau đó, chúng ta hãy tìm các cặp tam giác bằng nhau mà trong các tam giác ấy có chứa ICA^ hoặc ICN^.


Câu 8:

b) Chứng minh rằng AMBD.

Xem đáp án
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Xét ΔABIΔMBI có AB=MB; ABI^=MBI^; BI là cạnh chung
ΔABI=ΔMBIc.g.c
AIB^=MIB^ mà  AIB^+MIB^=180° nên AIB^=MIB^=90° , suy ra:AMBD .

Câu 9:

c) Nếu biết AMD^=36°. Tính số đo B^; C^ của ABC.

Xem đáp án

c) AMD^=36° nên IMB^=90°36°=54°;

ΔBIM vuông nên IBM^=90°54°=36°.

Suy ra B^=36°.2=72° do đó C^=90°72°=18°.


Câu 11:

b, MC=BN và MCBN

Xem đáp án

b) ΔMAC=ΔBANBN=CM. Và AMC^=ABN^.

Gọi P là giao điềm của ABCM

Ta có: AMC^+APM^=90° (vì ΔAMP vuông)

ABN^+BPO^=90°BNCM.


Câu 12:

c,AI= AK và  AIAK

Xem đáp án

c) CM=BNMK=BI, mà AMK^=ABN^AM=AB

nên ΔAMK=ΔABIc.g.cAK=AI.

MAK^=BAI^; mà MAK^+KAB^=90°

BAI^+KAB^=90° hay AIAK.


Câu 13:

Cho ABC vuông tại ABC=2.AB. Tia phân giác của góc B^ cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng BD=CD.
Xem đáp án
Cho tam giác ABC  vuông tại A có  BC=2AB. Tia phân giác của góc B  cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng  BD=CD. (ảnh 1)

a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra BE=CE=AB=12BC

ΔABD ΔEBD có BA=BE ; ABD^=EBD^(giả thiết); BD là cạnh chung

ΔABD=ΔEBDc.g.cBAD^=BED^BED^=90°.

Xét ΔBDE ΔCDE có: BED^=CED^=90°; BE=CE ; DE chung

ΔBDE=ΔCDEc.g.c

BD=CD


Câu 14:

b) Tính góc B^ C^ của tam giác ABC
Xem đáp án

b) ΔBDE=ΔCDEc.g.cC^=DBE^

B^=2.C^

Mặt khác: B^+C^=90° (Vì ΔABC vuông tại A)

2C^+C^=90°C^=30°; B^=60°.


Câu 15:

Cho tam giác ABCA^=60°. Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC có góc A=60 độ  . Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O và cắt AC; AB theo thứ tự D; E. Chứng minh rằng: OD=OE . (ảnh 1)

ΔABC có A^+B^+C^=180°

A^=60° nên B^+C^=120°.

Ta có B1^+C1^=12.B^+12.C^=60°.

ΔBOC có BOC^+B1^+C1^=180°

Nên BOC^=120°; O1^=60°.

- Kẻ Ox là tia phân giác góc BOC^, cắt BC tại I nên O2^=O3^=60°.

Xét ΔBEO ΔBIO B1^=B2^ (giả thiết); O1^=O2^=60°; BO là cnh chung

do đó ΔBEO=ΔBIOg.c.g. Suy ra OE=OI.

- Chứng minh tương tự ta có ΔCOD=ΔCOI nên OD= OI.

Vậy OE=OI(=OI).

* Nhận xét.

- Để chứng minh OE=OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy, ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.

- Bài toán còn có cách khác, là lấy điểm I trên BC sao cho BI=BE, sau đó chứng minh ΔBOE=ΔBOI rồi chứng minh ΔCOD=ΔCOI.

- Từ cách trên ta còn suy ra kết quả đẹp là BE+CD=BC.


Câu 17:

b) Chứng minh rằng ΔABD=ΔACE;

Xem đáp án

b, ΔBHE=ΔCHDBH=CH mà HD=HE BD=CE

ΔADB ΔAEC ADB^=AEC^=90°; BD=CE; BAC^ chung

ΔADB=ΔAEC (cạnh huyền – góc nhọn).


Câu 18:

c) Chứng minh AH là tia phân giác của BAC^.

Xem đáp án

c) ΔABD=ΔACEAB=AC.

ΔABH ΔACH AB=AC; AH là cạnh chung; BH=CH (chứng minh trên)

ΔABH=ΔACHc.c.c

BAH^=CAH^AH là tia phân giác của BAC^.


Câu 19:

d) Gọi I là giao điểm của AHBC. Chứng minh rằng AIBC.

Xem đáp án

d) ΔABI ΔACI AB=AC; BAI^=CAI^; AI là cạnh chung

ΔABI=ΔACIc.g.c

AIB^=AIC^; mà AIB^+AIC^=180°AIB^=AIC^=90° hay AIBC.


Câu 20:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM=12BC.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng  . (ảnh 1)

* Tìm cách giải. Để chứng minh AM=12BC ta cần chứng minh BC=2.AM. Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng 2.AM  rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.

* Trình bày lời giải.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Suy ra AD=2.AM

ΔAMB ΔDMC AM=MD; M1^=M2^; MB=MC nên ΔAMB=ΔDMC.

Suy ra AB=DC ; A1^=D1^nên AB//CDDCAC.

ΔABC ΔCDA AB=DC; BAC^=DCA^=90°, AC chung suy ra ΔABC=ΔCDAc.g.c

BC=DABC=2.AM hay AM=12BC.

* Nhận xét. Bài này là một tính chất thú vị của tam giác vuông, thường được sử dụng trong những bài nối trung điểm của cạnh huyền với đỉnh góc vuông.


Câu 21:

Cho hình vẽ bên.

Biết rằng AB//CD; AD//BC.

Chứng minh rằng: AB=CD, AD=BC.
Xem đáp án
Cho hình vẽ bên.  Biết rằng AB//CD ; AD//BC. Chứng minh rằng:  AB=CD, AD=BC . (ảnh 1)

AB//CDABD^=CDB^ (cặp so le trong)

AD//BCADB^=CBD^ (cặp so le trong)

ΔABD ΔCDB ABD^=CDB^ , BD là cạnh chung, ADB^=CBD^.

Suy ra ΔABD=ΔCDBg.c.gAB=CD, AD=BC.


Câu 22:

Cho ΔABC=ΔMNP biết B^C^=10°; N^+P^=120°. Tính số đo các góc của mỗi tam giác.

Xem đáp án

Hướng dẫn: ΔABC=ΔMNP suy ra: B^=N^; C^=P^ mà N^+P^=120°

B^+C^=120°

Ta có: B^C^=10° nên B^=120°+10°:2=65°

C^=120°10°:2=55°

ABC có A^+B^+C^=180°

A^+120°=180°A^=60°

Vậy M^=A ^=60°; N^=B^=65°; P^=C^=55°.


Câu 23:

Cho ΔABC=ΔMNP . Biết AB+AC=9cm; MNNP=3cm; NP=5cm. Tính chu vi của mỗi tam giác.
Xem đáp án

Hướng dẫn: ΔABC=ΔMNPAB=MN; BC= NP; AC= MP (cặp cạnh tương ứng).

AB+AC=9cmMN+MP=9cm, mà MNNP=3cm nên

MN=9+3:2=6cm

MP=93:2=3cm

Do đó chu vi ΔMNP là: MN+NP+MP=6+5+3=14cm.

MNNP=3cm nên chu vi ΔABC bằng chu vi ΔMNP và bằng 14cm.


Câu 24:

Cho ΔABC=ΔRST, biết BC5=AB3 STRS=8cm; AC=18cm. Tính mỗi cạnh của mỗi tam giác.

Xem đáp án

Hướng dẫn: ΔABC=ΔRSTAB=RS; BC=ST; AC=RT (cặp cạnh tương ứng).

STRS=8cmBCAB=8cm.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

BC5=AB3=BCAB53=82=4BC=4.5=20cm; AB=3.4=12cm.

Vậy: AB=RS=12cm; AC=RT=18cm; BC=ST=20cm.


Câu 25:

Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của AOC^.

Xem đáp án
Cho hình vẽ bên. Chứng minh rằng OB là tia phân giác của góc AOC. (ảnh 1)

Hướng dẫn: ΔOAB ΔOCB OA=OC; AB=CB; OB chung

ΔOAB=ΔOCBc.c.c

AOB^=COB^ (cặp góc tương ứng), hay OB là tia phân giác của AOC^.

Câu 26:

Trong hình vẽ bên biết AC=CD, AD=BC. Chứng minh: AB // CDAD // BC. Nối AC
Xem đáp án
Trong hình vẽ bên biết AC=CD , AD=BC . Chứng minh:  AB//CD,  AD//BC. Nối AC (ảnh 1)
Hướng dẫn: Xét ΔABC ΔCDA có:

AB=CD; AD=BC; AC cạnh chung

Nên ΔABC=ΔCDAc.c.c

Suy ra DAC^=BCA^.

Mà hai góc ở vị trí so le trong AD//CD.

BAC^=DCA^ mà hai góc ở vị trí so le trong AB//CD.

Câu 27:

Cho ΔABC A^=50°; AB=AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của ΔABM, ΔACM.( Trường hợp c.g.c)
Xem đáp án
Cho  tam giác ABC có góc A=50 độ ; AB=AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác ABM , tam giác ACM .( Trường hợp c.g.c) (ảnh 1)

Hướng dẫn: ΔAMB ΔAMC AM chung; AB=AC ; BM=CM

 ΔAMB=ΔAMCc.c.c

BAM^=CAM^ (góc tương ứng)

BAM^=CAM^=12BAC^=12.50°=25°.

AMB^=AMC^ (góc tương ứng).

AMB^+AMC^=180° nên AMB^=AMC^=90°.

ΔAMB ABM^+BAM^+AMB^=180°
ABM^+25°+90°=180°ABM^=65°. Suy ra ACM^=65°

Câu 29:

b) Chứng minh rằng: DEBC.

Xem đáp án

b, ΔABD=ΔEBDBED^=BAD^

BED^=90°DEAB


Câu 30:

c) Gọi F là giao điểm của DEAB. Chứng minh rằng DC=DF
Xem đáp án

c, ΔABD=ΔEBDAD=ED

ΔADF và ΔEDC

ADF^=EDC^,AD=ED, FAD^=DEC^=90°

ΔADF=ΔEDCg.c.gDC=DF


Câu 31:

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BDACDAC, CEABEAB. Trên tia đối của tia BD lấy điểm H sao cho BH=AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK=AB. Chứng minh:

a, ABH^=ACK^

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ BD vuông góc AC(D thouộc AC), CE vuôbg góc AB(E thuộc AB). Trên tia đối của tia BD lấy điểm H (ảnh 1)

a) ΔABD có 

ADB^=90°ABD^+BAC^=90°     1

    ΔACE có AEC^=90°ACE^+BAC^=90°     2

Từ (1) và (2), suy ra: ABD^=ACE^ do đó ABH^=ACK^.


Câu 32:

b. Chứng minh: AH=AK

Xem đáp án

b) ΔABH ΔKCA AB=CK; ABD^=ACE^BH=AC

ΔABH=ΔKCAc.g.cAH=AK.

Câu 33:

Cho tam giác ABCB^=2.C^. Tia phân giác góc B cắt ACD. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK= AB. Chứng minh rằng: AE=AK.

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE= AC . (ảnh 1)

Ta có: ABE^+ABD^=180°; ACK^+ACB^=180° (cặp góc kề bù)

ABD^=ACB^=12ABC^ABE^=ACK^.

ΔABE  ΔACK có: AB=CK ; ABD^=ACK^; BE=AC

ΔABE=ΔKCAc.g.cAE=KA


Câu 34:

Cho ΔABC. Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho EF=ED. Chứng minh:

a, BD=CFAB // CF

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho  . Gọi D; E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho  . Chứng minh: (ảnh 1)

a) Ta dễ chứng minh được ΔADE=ΔCFEc.g.c

Suy ra AD=CFBD=CF

A ^=FCE^, mà hai góc ở vị trí so le trong nên CF//AB.


Câu 35:

b, Chngs minh: ΔBDC=ΔFCD

Xem đáp án

b) Xét ΔBDC ΔFCD có BD=FC (chứng minh trên); BDC^=FCD^ (so le trong AB//CF); CD là cạnh chung

do đó: ΔBDC=ΔFCDc.g.c.

Câu 36:

c, Chứng minh: DE// BC
Xem đáp án

c) ΔBDC=ΔFCD (chứng minh trên) nên D1^=C1^, mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra DE//BC.

* Nhận xét. Từ kết luận ΔBDC=ΔFCD, chúng ta còn suy ra được: DE=12.BC

Câu 38:

b) Chứng minh rằng AH//DE.

Xem đáp án

b) ΔABD=ΔEBDBAD^=BED^       

BED^=90°DEBC,

AHBCAH//DE.

Câu 39:

c) Trên tia DE lấy điểm I sao cho DI= AH. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh rằng ba điểm A, O, I thẳng hàng
Xem đáp án

c) AH//DEAHO^=IDO^(cặp góc so le trong).

ΔAHO ΔIDO AHO^=IDO^; OH=OD; AH=ID

ΔAHO=ΔIDOc.g.cAOH^=IOD^.

AOH^+AOD^=180° (kề bù) IOD^+AOD^=180°.

Suy ra A, O, I thẳng hàng.

Câu 41:

b, Chứng minh rằng: ADCE

Xem đáp án

b) Gọi H, I là giao điểm của đường thẳng AD với CEBC.ΔABD=ΔEBC suy ra: BDA^=BCE^ mà BDA^+BIA^=90°

BCE^+CIH^=90°ΔCIH vuông, hay ADCE.

Câu 43:

b, Chứng minh rằng: AM=DE2

Xem đáp án

b) Ta có BAD^=90°CAE^=90°

BAC^+DAE^=180°   1

ΔAMC=ΔNMB (chứng minh trên)MAC^=MNB^BN//AC

BAC^+ABN^=180°   2

Từ (1) và (2) suy ra: DAE^=ABN^

Xét ΔABN ΔDAE có AD= BA; DAE^=ABN^; AE= BN

ΔABN=ΔDAEc.g.c    AN=DE; mà AN=2.AMAM=DE2.


Câu 44:

c, Chứng minh rằng: AMDE

Xem đáp án

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AMDE.

ΔABN=ΔDAE (chứng minh trên) EDA^=NAB^   1

Mà DAB^=90°DAI^+NAB^=90°   2

Từ (1) và (2) suy ra: EDA^+DAI^=90° hay AMDE.

Câu 47:

b) Chứng minh  CE + BF < BC. 

Xem đáp án

b) BIC^=150°BIF^=CIE^=30°.

ΔCIN ΔCIE ECI^=NCI^; CI là cạnh chung; EIC^=NIC^=30°

ΔCIN=ΔCIEg.c.gCE=CN   1

Chứng minh tương tự ta có: ΔBFI=ΔBMIg.c.gBM=BF   2

Từ (1) và (2), ta có: CE+BF=CN+BM<BC.

Câu 48:

Cho tam giác ABCB^+C^=60°, tia phân giác của BAC^ cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM^=ABO^. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN^=ACO^. Chứng minh rằng AM=AN.

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Cho tam giác ABC có góc B + góc C = 60 độ , tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC (ảnh 1)

ΔABC B^+C^=60°BAC^=120°.

Ta có AD là tia phân giác BAC^BAD^=CAD^=12BAC^=60°.

ΔABO ΔABM BAO^=BAM^=60°; AB chung; ABM^=ABO^

ΔABO=ΔABMg.c.gAM=AO   1

Chứng minh tương tự, ta có: ΔACO=ΔACNg.c.gAN=AO   2

Từ (1) và (2), suy ra: AM=AN.

Câu 49:

Cho tam giác ABCBC=5cm. Trên tia AB lấy điểm KD sao cho AK= BM .Vẽ KI//BC; DE//BCI;EAC.

a) Chứng minh AI=CE.                       
Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC có BC= 5cm. Trên tia AB lấy điểm K và D sao cho AK=BM  .              (ảnh 1)

Kẻ EM//ABMBC

Tam giác DEM và tam giác MBDD1^=M1^; DM chung; D2^=M2^

nên ΔDEM=ΔMBDg.c.g suy ra BD=ME ; DE= BM .

Ta có AB//EM nên A1^=E1^B1^=M3^

Lại có KI//BC nên K1^=B1^.

- Tam giac AKI và tam giác EMCA1^=E1^;
AK=EM=BDM3^=K1^=B1^
Nên ΔAKI=ΔEMCg.c.g Suy ra AI=EC và KI=MC

Câu 50:

b,) Tính độ dài  DE+ KI.

Xem đáp án
b) Ta có KI=MC; DE= BM  suy ra KI+DE=MC+BM=BC=5cm.

Câu 51:

Cho ΔABC vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc BCBM>MC. Kẻ BDCE vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:

a) ΔABD=ΔCAE.

Xem đáp án

a)

Cho  tam giác ABC vuông tại A có AB= AC . Lấy M thuộc BC( BM> MC) . Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM.  (ảnh 1)

Xét  ΔABD ΔCAE BDA^=AEC^=90°; AB= AC (giả thiết); B1^=C1^ (cùng phụ với A2^)

do đó ΔABD=ΔCAE (cạnh huyền – góc nhọn

Câu 52:

b, Chứng minh rằng: BDCE=DE

Xem đáp án

b)  ΔABD=ΔCAEnên BD=AE; AD= CE do đó BDCE=AEAD. Vậy BDCE=DE.

* Nhận xét. Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng ta thường biến đổi đoạn thẳng đó thành hai đoạn cùng nằm trên một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳn

Bắt đầu thi ngay