12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Cho hình vẽ sau

1: Biết MG = 3cm. Tính MR

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4,5cm

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: MR, NS là hai đường trung tuyến của tam giác MNP và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: $\frac{M G}{M R} = \frac{2}{3} \Rightarrow M R = \frac{3}{2} M G = \frac{3}{2} .3 = 4, 5 (c m)$

Vậy MR = 4,5cm

Câu 2:

Cho hình vẽ sau

2: Biết GS = 1,5cm. Tính NG

A. 1,5cm

B. 3cm

C. 2,25cm

D. 1cm

Xem đáp án

Đáp án B

Theo câu trước ta có G là trọng tâm của tam giác MNP.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\frac{N G}{N S} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N G}{G S} = 2 \Rightarrow N G = 2 G S = 2.1, 5 = 3 (c m)$

Vậy NG = 3cm

Câu 3:

Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

A. 4,5 cm

B. 3 cm

C. 6 cm

D. 4 cm

Xem đáp án

Đáp án C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên $A G = \frac{2}{3} A M$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $A G = \frac{2}{3} .9 = 6$

Câu 4:

Tam giác ABC có trung tuyến AM = 15cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

A. 7,5 cm

B. 5 cm

C. 10 cm

D. 22,5 cm

Xem đáp án

Đáp án C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên

$A G = \frac{2}{3} A M$ ( tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $A G = \frac{2}{3} .15 = 10 c m$

Câu 5:

Cho G là trọng tâm của tam giác đều. Chọn câu đúng

A. $G A = G B = G C$

B. $G A = G B > G C$

C. $G A < G B < G C$

D. $G A > G B > G C$

Xem đáp án

Đáp án A

Các tia AG, BG và CG cắt BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F thì D, E, F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Mà $A C = A B = B C$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $B D = D C = C E = E A = A F = F B$

Xét $Δ A E B$ và $Δ A F C$ ta có:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ \hat{A} c h u n g \\ A E = A F \\ \Rightarrow Δ A E B = Δ A F C (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow B E = C F$ (1)

Chứng minh tương tự ta có $Δ B E C = Δ A D C (c . g . c) \Rightarrow B E = A D$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A D = B E = C F$ (3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$G A = \frac{2}{3} A D; G B = \frac{2}{3} B E; G C = \frac{2}{3} C F$

Vì thế từ (3) ta suy ra $G A = G B = G C$

Câu 6:

Cho G là trọng tâm của tam giác đều. D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Chọn câu đúng

A. $G D > G E > G F$

B. $G D < G E < G F$

C. $G D > G E = G F$

D. $G D = G E = G F$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,AC,AB nên

$\begin{array}{l} B D + C E = B C \\ Δ G B C \\ B G + C G > B C \\ B D = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E \\ \frac{2}{3} B D + \frac{2}{3} C E > B G + C G \Rightarrow \frac{2}{3} (B D + C E) > B G + C G \\ \Rightarrow B D + C E > \frac{2}{3} B C \\ B D = D C = \frac{1}{2} B C; C E = E A = \frac{1}{2} A C; A F = F B = \frac{1}{2} A B \end{array}$

Mặt khác $A C = A B = B C$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $B D = D C = C E = E A = A F = F B$

Xét $Δ A E B$ và $Δ A F C$ ta có:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ \hat{A} c h u n g \\ A E = A F \\ \Rightarrow Δ A E B = Δ A F C (c . g . c) \end{array}$

$\Rightarrow B E = C F$ (1)

Chứng minh tương tự ta có $Δ B E C = Δ A D C (c . g . c) \Rightarrow B E = A D$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A D = B E = C F$ (3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$G A = \frac{2}{3} A D; G B = \frac{2}{3} B E; G C = \frac{2}{3} C F \Rightarrow G D = \frac{1}{3} A D; G E = \frac{1}{3} B E; G F = \frac{1}{3} C F$

Kết hợp với (3) ta được: $G D = G E = G F$

Câu 7:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD; CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC

A. Cân tại B

B. Cân tại C

C. Vuông tại A

D. Cân tại A

Xem đáp án

Đáp án D

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B D; C H = \frac{2}{3} C E$ mà $B D = C E \Rightarrow B G = C G$ . Từ đó: $B D - B G = C E - C G \Rightarrow G D = G E$

Xét tam giác BGE và tam giác CGD có:

$\hat{B G E} = \hat{C G D}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ B G E = Δ C D G (c . g . c) \Rightarrow B E = C D \Rightarrow \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C$

Do đó AB = AC hay tam giác ABC cân tại A

Đáp án cần chọn là D

$\begin{array}{l} B G = C G \\ G D = G E \end{array}$

Câu 8:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết $B D = 9 c m; C E = 12 c m$

A. BC = 12cm

B. BC = 6cm

C. BC = 8cm

D. BC = 10cm

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$

Mà $B D = 9 c m; C E = 12 c m$ nên $B G = \frac{2}{3} .9 = 6 c m; C G = \frac{2}{3} .12 = 8 c m$

Xét tam giác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = B G^{2} + C G^{2} \\ B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 \end{array}$

Hay $B C = 10 c m$

Vậy $B C = 10 c m$

Câu 9:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết $B D = 4, 5 c m; C E = 6 c m$

A. BC = 6cm

B. BC = 4,5 cm

C. BC = 5cm

D. BC = 10cm

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$

Mà $B D = 4, 5 c m; C E = 6 c m$ nên $B G = \frac{2}{3} .4, 5 = 3 c m; C G = \frac{2}{3} .6 = 4 c m$

Xét tam goác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có: $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

Hay $B C = 5 c m$

Vậy $B C = 5 c m$

Câu 10:

Tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Chọn câu đúng

A. $B D + C E < \frac{3}{2} B C$

B. $B D + C E > \frac{3}{2} B C$

C. $B D + C E = \frac{3}{2} B C$

D. $B D + C E = B C$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Trong $Δ G B C$ ta có $B G + C G > B C$

Ta lại có: $B G = \frac{2}{3} B D; C G = \frac{2}{3} C E$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác ABC)

Từ đó: $\frac{2}{3} B D + \frac{2}{3} C E = B G + C G \Rightarrow \frac{2}{3} (B D + C E) = B G + C G$

Mà $B G + C G > B C$

$\Rightarrow B D + C E > \frac{3}{2} B C$

Câu 11:

Cho tam giác ABC vuông tại A có: $A B = 5 c m; B C = 13 c m$ . Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O

Độ dài trung tuyến BN là:

A. 6cm

B. $\sqrt{61} c m$

C. 12cm

D. $\sqrt{65} c m$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ A B C$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144 \\ \Rightarrow A C = 12 \end{array}$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB

$\Rightarrow A N = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .12 = 6 c m$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A N^{2} = B N^{2} \Rightarrow 5^{2} + 6^{2} = B N^{2} \Rightarrow B N^{2} = 61 \\ \Rightarrow B N = \sqrt{61} c m \end{array}$

Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A C = 9 c m, B C = 15 c m$ . Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O. Độ dài trung tuyến CE là

A. 10cm

B. $\sqrt{117} c m$

C. 12cm

D. $\sqrt{106} c m$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ A B C$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144 \\ \Rightarrow A B = 12 \end{array}$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB

$\Rightarrow A E = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} .12 = 6 c m$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} + A E^{2} = C E^{2} \Rightarrow 9^{2} + 6^{2} = C E^{2} \Rightarrow C E^{2} = 117 \\ \Rightarrow C E = \sqrt{117} c m \end{array}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương