IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 7 Toán Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án

  • 308 lượt thi

  • 37 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tìm hai số x và y biết x/3 = y/4 và 2x + 3y = 36
Xem đáp án

Giải

Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:

  • Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
  • Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
  • Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)

ü  Trình bày lời giải

+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)

Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\] suy ra : \[x = 3k,y = 4k\]

Theo giả thiết : \[2x + 3y = 36 \Rightarrow 6k + 12k = 36 \Rightarrow 18k = 36 \Rightarrow k = 2\]

Do đó : \[x = 3.2 = 6;y = 4.2 = 8\]

Kết luận \[x = 6,y = 8\]

+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{2x + 3y}}{{2.3 + 3.4}} = \frac{{36}}{{18}} = 2\]

Do đó : \[\frac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6\]

            \[\frac{y}{4} = 2 \Rightarrow y = 8\]

Kết luận : \[x = 6,y = 8\]

+ Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow x = \frac{{3y}}{4}\]

Mà \[2x + 3y = 36 \Rightarrow \frac{{3y}}{2} + 3y = 36 \Rightarrow 9y = 72 \Rightarrow y = 8\]

Do đó : \[x = \frac{{3.8}}{4} = 6\]

Kết luận \[x = 6,y = 8\]


Câu 2:

Tìm x, y, z biết : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4},\frac{y}{3} = \frac{z}{5}\] và \[2x - 3y + z = 6\]
Xem đáp án

Giải

Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.

  • Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
  • Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
  • Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.

ü  Trình bày lời giải

+ Cách 1. Từ giả thiết : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{9} = \frac{y}{{12}}\left( 1 \right)\]

\[\frac{y}{3} = \frac{z}{5} \Rightarrow \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}}\left( * \right)\]

Ta đặt \[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}} = k\] suy ra \[x = 9k;y = 12k;z = 20k\]

Theo giả thiết : \[2x - 3y + z = 6 \Rightarrow 18k - 26k + 20k = 6 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3\]

Do đó: \[x = 27,y = 36,z = 60\].

+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{x}{9} = \frac{y}{{12}} = \frac{z}{{20}} = \frac{{2x}}{{18}} = \frac{{3y}}{{36}} = \frac{z}{{20}} = \frac{{2x - 3y + z}}{{18 - 36 + 20}} = \frac{6}{2} = 3\]

Do đó: \[\frac{x}{9} = 3 \Rightarrow x = 27\]

            \[\frac{y}{{12}} = 3 \Rightarrow y = 36\]

            \[\frac{z}{{20}} = 3 \Rightarrow z = 60\]

Kết luận : \[x = 27,y = 36,z = 60\].

+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết : \[\frac{y}{3} = \frac{z}{5} \Rightarrow y = \frac{{3z}}{5};\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow x = \frac{{3y}}{4} = \frac{{3.\frac{{3z}}{5}}}{4} = \frac{{9z}}{{20}}\]

Mà \[2x - 3y + z = 6 \Rightarrow 2.\frac{{9z}}{{20}} - 3.\frac{{3z}}{5} + z = 6 \Rightarrow \frac{z}{{10}} = 60 \Rightarrow z = 60\]

Suy ra : \[y = \frac{{3.60}}{5} = 36,x = \frac{{9.60}}{{20}} = 27\]

Kết luận : \[x = 27,y = 36,z = 60\]


Câu 3:

Tìm hai số x và y biết \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\] và \[xy = 24\]
Xem đáp án

Giải

Đặt \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k\] suy ra : \[x = 2k,y = 3k\]

Theo giả thiết : \[xy = 24 \Rightarrow 2k.3k = 24 \Rightarrow {k^2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2\]

+ Với \[k = 2\]thì \[x = 4;y = 6\]

+ Với \[k = - 2\] thì \[x = - 4;y = - 6\]

Kết luận.  Vậy \[\left( {x;y} \right)\] là \[\left( { - 4; - 6} \right),\left( {4;6} \right)\].

Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :

+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp \[k = - 2\]

+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{2.3}} = \frac{{24}}{6} = 4!\] Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ


Câu 4:

Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết \[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\]

Chứng minh rằng : \[\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]

Xem đáp án

Giải

Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : \[ay = bx,bz = cy,az = cx\] hay cần chứng minh \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,az - cx = 0\]. Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh\[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = 0\].  Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số \[\frac{{bz - cy}}{a}\] và \[\frac{{cx - az}}{b}\] ta thấy bz và \[ - az\]; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.

Trình bày lời giải

Từ đề bài ta có : \[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}} = \frac{{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\]

Suy ra \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,bz - cx = 0\]

\[ \Rightarrow ay = bx,bz = cy,bz = cx \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]


Câu 5:

Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng \[1960{m^2}\]. Tính chu vi hình chữ nhật đó.
Xem đáp án

Giải

ü  Trình bày lời giải

Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)

Theo đề bài , ta có : \[\frac{x}{5} = \frac{y}{8}\] và \[xy = 1960\]

Đặt \[\frac{x}{5} = \frac{y}{8} = k\] (điều kiện k > 0 ) , suy ra : \[x = 5k,y = 8k\]

Theo giả thiết : \[xy = 1960 \Rightarrow 5k.8k = 1960 \Rightarrow {k^2} = 49 \Rightarrow k = 7\] (vì \[k > 0\])

Từ đó ta tìm được : \[x = 35;y = 56\]

Suy ra chu vi hình chữ nhật là : \[\left( {35 + 56} \right).2 = 182\left( m \right)\]


Câu 6:

Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :

\[\frac{{2021a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2021b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2021c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2021d}}{d}\]

Tính \[M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\]

Xem đáp án

Giải

Từ giả thiết suy ra :

\[2021 + \frac{{a + b + c + d}}{a} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{b} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{c} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

+ Trường hợp 1: Xét \[a + b + c + d = 0 \Rightarrow a + b = - \left( {c + d} \right);b + c = - \left( {d + a} \right)\]

Suy ra \[M = \frac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \frac{{ - \left( {d + a} \right)}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \frac{{d + a}}{{ - \left( {d + a} \right)}}\]

\[M = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

+ Trường hợp 2 :Xét \[a + b + c + d \ne 0\]

Suy ra \[a = b = c = d \Rightarrow M = \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]


Câu 7:

Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức \[\frac{{21a + 10b}}{{a - 11b}} = \frac{{21c + 10d}}{{c - 11d}}\]

Chứng minh rằng \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Xem đáp án

Giải

Từ \[\frac{{21a + 10b}}{{21c + 10d}} = \frac{{a - 11b}}{{c - 11d}}\]. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

Từ \[\frac{{21a + 10b}}{{21c + 10d}} = \frac{{a - 11b}}{{c - 11d}} = \frac{{21a - 231b}}{{21c - 231d}} = \frac{{21a + 10b - \left( {21a - 231b} \right)}}{{21c + 10d - \left( {21c - 231d} \right)}} = \frac{{241b}}{{241d}} = \frac{b}{d}\left( 1 \right)\]

Từ \[\frac{{231a + 110b}}{{231c + 110d}} = \frac{{10a - 110b}}{{10c - 110d}} = \frac{{231a + 110b + 10a - 110b}}{{231c + 110d + 10c - 110d}} = \frac{{241a}}{{241c}} = \frac{a}{c}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\] hay \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]


Câu 8:

Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.
Xem đáp án

Giải

Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c.  Độ dài ba đường cao tương ứng là \[{h_a};{h_b};{h_c}\]. Theo đề bài ta có : \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5}\] và \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\left( 1 \right)\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5} = \frac{{{h_a} + {h_b} - {h_b} - {h_c}}}{{7 - 6}} = {h_a} - {h_c}\]

\[ \Rightarrow {h_c} + {h_a} = 5{h_a} - 5{h_c} \Rightarrow 2{h_a} = 3{h_c} \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_c}}}{2}\left( 2 \right)\]

Mặt khác \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{2{h_a} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{3{h_c} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6}\]

\[ \Rightarrow 3\left( {3{h_c} + 2{h_b}} \right) = 7\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \Rightarrow 9{h_c} + 6{h_b} = 7{h_b} + 7{h_c} \Rightarrow 2{h_c} = {h_b} \Rightarrow \frac{{{h_c}}}{2} = \frac{{{h_b}}}{4}\left( 3 \right)\]

Từ (2),(3) suy ra : \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2}\]

Đặt \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow {h_a} = 3k;{h_b} = 4k;{h_c} = 2k\]

Kết hợp với (1), ta có : \[3a = 4b = 2c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{6}\]

Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.


Câu 9:

Tìm x, y biết :

\[\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}};\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Vì \[\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} \Rightarrow 24\left( {1 + 2y} \right) = 18\left( {1 + 4y} \right) \Rightarrow 24 + 48y = 18 + 72y\]

   \[ \Rightarrow 24y = 6 \Rightarrow y = \frac{1}{4}\]. Thay vào đề bài ta có :

   \[\frac{{1 + 2.\frac{1}{4}}}{{18}} = \frac{{1 + 6.\frac{1}{4}}}{{6x}} \Rightarrow \frac{{\frac{3}{2}}}{{18}} = \frac{{\frac{5}{3}}}{{6x}} \Rightarrow \frac{3}{2}.6x = 18.\frac{5}{3} \Rightarrow 18x = 90 \Rightarrow x = 5\]


Câu 10:

Tìm x, y biết :

\[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Ta có : \[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}} = \frac{{4 + 20y}}{{20x}} = \frac{{5 + 35y}}{{20x}} = \]

   \[ = \frac{{1 + 3y + 4 + 20y - 5 - 35y}}{{12 + 20x - 20x}} = \frac{{ - 12y}}{{12}} = - y\]

   \[ \Rightarrow 1 + 3y = - 12y \Rightarrow y = - \frac{1}{{15}}\]

   Thay vào đề bài ,ta được : \[\frac{{1 + 5.\frac{{ - 1}}{{15}}}}{{5x}} = \frac{1}{{15}} \Rightarrow x = 2\]

   Vậy \[x = 2\] và \[y = - \frac{1}{{15}}\]


Câu 11:

Cho x, y thỏa mãn \[\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}\]. Tìm x, y
Xem đáp án

Hướng dẫn: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 1 + 3y - 2}}{{5 + 7}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}\]

Kết hợp với đề bài suy ra: \[\frac{{2x + 3y - 1}}{{12}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}\]

Trường hợp 1: Xét \[2x + 3y - 1 = 0\]

suy ra: \[\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0;3y - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{2};y = \frac{2}{3}\]

Trường hợp 2: Xét \[2x + 3y - 1 \ne 0\] suy ra \[6x = 12 \Rightarrow x = 2\]

Thay vào đề bài ta có : \[\frac{{2.2 + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} \Rightarrow \frac{{3y - 2}}{7} = 1 \Leftrightarrow 3y - 2 = 7 \Leftrightarrow y = 3\]

Vậy \[x = 2;y = 3\]

Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1


Câu 12:

Tìm các số x, y, z biết rằng:

\[x:y:z = 3:4:5\] và \[5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k \Rightarrow x = 3k;y = 4k;z = 5k\]

Mà \[5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594 \Rightarrow 5.25{k^2} - 3.9{k^2} - 2.16{k^2} = 594\]

\[ \Leftrightarrow 66{k^2} = 594 \Leftrightarrow {k^2} = 9 \Leftrightarrow k = \pm 3\]

+ Với \[k = 3\] suy ra \[x = 9;y = 12;z = 15\]

+ Với \[k = - 3\] suy ra \[x = - 9;y = - 12;z = - 15\]


Câu 13:

Tìm các số x, y, z biết rằng:

\[3\left( {x - 1} \right) = 2\left( {y - 2} \right);4\left( {y - 2} \right) = 3\left( {z - 3} \right)\] và \[2x + 3y - z = 50\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

\[3\left( {x - 1} \right) = 2\left( {y - 2} \right) \Rightarrow 6\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right)\] suy ra \[6\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right) = 3\left( {z - 3} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{{6\left( {x - 1} \right)}}{{12}} = \frac{{4\left( {y - 2} \right)}}{{12}} = \frac{{3\left( {z - 3} \right)}}{{12}} \Rightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{4}\]

Đặt \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4} = k \Rightarrow x = 2k + 1;y = 3k + 2;z = 4k + 3\]

Mà \[2x + 3y - z = 50 \Rightarrow 2\left( {2k + 1} \right) + 3\left( {3k + 2} \right) - \left( {4k + 3} \right) = 50\]

\[ \Leftrightarrow 4k + 2 + 9k + 6 - 4k - 3 = 50 \Leftrightarrow 9k = 45 \Leftrightarrow k = 5\]

Vậy \[x = 2.5 + 1 = 11;y = 3.5 + 2 = 17;z = 4.5 + 3 = 23\]


Câu 14:

\[\frac{{2x}}{3} = \frac{{3y}}{4} = \frac{{4z}}{5}\] và \[x + y - z = 38\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

Ta có : \[\frac{{2x}}{3}.\frac{1}{{12}} = \frac{{3y}}{4}.\frac{1}{{12}} = \frac{{4z}}{5}.\frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y - z}}{{18 + 16 - 15}} = \frac{{38}}{{19}} = 2\]

suy ra : \[x = 36;y = 32;z = 30\]


Câu 15:

Tìm x, y, z biết rằng:

\[7x = 10y = 12z\]và \[x + y + z = 685;\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[7x = 10y = 12z \Rightarrow \frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}} = \frac{{x + y + z}}{{60 + 42 + 35}} = \frac{{685}}{{137}} = 5\]

Từ đó suy ra : \[x = 120;y = 210;z = 175\]


Câu 16:

\[\frac{{x + y}}{3} = \frac{{5 - z}}{1} = \frac{{y + z}}{2} = \frac{{9 + y}}{5};\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{{5 - z}}{1} = \frac{{y + z}}{2} = \frac{{9 + y}}{5} = \frac{{5 - z + y + z - 9 - y}}{{1 + 2 - 5}} = 2\]

\[ \Rightarrow 5 - z = 2 \Rightarrow z = 3;9 + y = 10 \Rightarrow y = 1;X + y = 6 \Rightarrow x = 5\]


Câu 17:

\[\frac{{y + z + 1}}{x} = \frac{{z + x + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{z} = x + y + z\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{{y + z + 1}}{x} = \frac{{z + x + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{x} = \frac{{x + z + 1 + z + x + 2 + x}}{{x + y + z}} = 2\]

Kết hợp với đề bài, suy ra : \[x + y + z = 2\]

Suy ra : \[y + z + 1 = 2x \Rightarrow x + y + z + 1 = 3x \Rightarrow 1 + 2 = 3x \Rightarrow x = 1\]

\[z + x + 2 = 2y \Rightarrow x + y + z + 2 = 3y \Rightarrow 4 = 3y \Rightarrow y = \frac{4}{3}\]

\[x + y - 3 = 2z \Rightarrow x + y = z - 3 = 3z \Rightarrow 2 - 3 = 3z \Rightarrow z = - \frac{1}{2}\]


Câu 18:

\[\frac{x}{{y + z + 2}} = \frac{y}{{x + z + 5}} = \frac{z}{{x + y - 7}} = x + y + z;\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:
Giải tương tự câu c, ta được : \[x = \frac{5}{6};y = \frac{{11}}{6};z = \frac{{ - 13}}{6}\]

Câu 19:

\[\frac{{xy + 1}}{9} = \frac{{xz + 2}}{{15}} = \frac{{yz + 3}}{{27}}\] và \[xy + yz + zx = 11\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{xy + 1}}{9} = \frac{{zx + 2}}{{15}} = \frac{{yz + 3}}{{27}} = \frac{{xy + 1 + zx + 2 + yz + 3}}{{9 + 15 + 27}} = \frac{{17}}{{51}}\]

Suy ra : \[xy + 1 = 3 \Rightarrow xy = 2\left( 1 \right)\]

            \[zx + 2 = 5 \Rightarrow zx = 3\left( 2 \right)\]

            \[yz + 3 = 9 \Rightarrow yz = 6\left( 3 \right)\]

Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : \[{\left( {xyz} \right)^2} = 36 \Rightarrow xyz = \pm 6\]

+ Trường hợp \[xyz = 6\]

   Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : \[x = 1;y = 2;z = 3\]

+ Trường hợp \[xyz = - 6\]

   Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: \[x = - 1;y = - 2;z = - 3\]


Câu 20:

Cho \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]. Chứng minh rằng:

\[\left( {a + 2c} \right).\left( {b + d} \right) = \left( {a + c} \right).\left( {b + 2d} \right);\]

Xem đáp án

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk,c = dk\]

Xét \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {bk + 2dk} \right)\left( {b + d} \right) = k.\left( {b + 2d} \right).\left( {b + d} \right)\left( 1 \right)\]

Xét \[\left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right) = \left( {bk + dk} \right)\left( {b + 2d} \right) = k\left( {b + d} \right)\left( {b + 2d} \right)\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right)\]


Câu 21:

\[\frac{{{a^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{c^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {c + d} \right)}^{2020}}}}\]
Xem đáp án
Hướng dẫn:

Xét \[\frac{{{a^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{c^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}.{k^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{d^{2020}}.{k^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}\left( {{k^{2020}} + 1} \right)}}{{{d^{2020}}\left( {{k^{2020}} + 1} \right)}} = \frac{{{b^{2020}}}}{{{d^{2020}}}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {c + d} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{{\left( {bk + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {dk + d} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}{{\left( {k + 1} \right)}^{2020}}}}{{{d^{2020}}{{\left( {k + 1} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}}}{{{d^{2020}}}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh


Câu 22:

Cho \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]. Các số x, y, z, t thỏa mãn \[xa + yb \ne 0\] và \[zc + td \ne 0\]

Chứng minh \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;c = dk\]

Xét \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xbk + yb}}{{zbk + tb}} = \frac{{b\left( {xk + y} \right)}}{{b\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\frac{{xc + yd}}{{zc + td}} = \frac{{xdk + yd}}{{zdk + td}} = \frac{{d\left( {xk + y} \right)}}{{d\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\] , điều phải chứng minh


Câu 23:

Cho tỉ lệ thức \[\frac{{3x - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\]. Tính giá trị của tỉ số \[\frac{x}{y}\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{{3x - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\] suy ra : \[4\left( {3x - y} \right) = 3\left( {x + y} \right) \Rightarrow 12x - 4y = 3x + 3y\]

\[ \Rightarrow 12x - 3x = 3y + 4y \Rightarrow 9x = 7y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{7}{9}\]


Câu 24:

Chứng minh rằng : Nếu \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\] thì \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\]suy ra :

\[\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{30}} = \frac{{5\left( {y + z} \right)}}{{30}} = \frac{{3\left( {z + x} \right)}}{{30}} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{x + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{15 - 10}} = \frac{{y - z}}{5}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{10 - 6}} = \frac{{x - y}}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\], điều phải chứng minh.


Câu 25:

Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn \[{b^2} = ac;{c^2} = bd\]. Chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3};\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[{b^2} = ac \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c};{c^2} = bd \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\].

Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;b = ck;c = dk\]

Xét \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{b^3}{k^3} + {c^3}{k^3} - {d^3}{k^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{k^3}\left( {{b^3} + {c^3} - {d^3}} \right)}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {k^3}\left( 1 \right)\]

Xét \[{\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{bk + ck - dk}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{k\left( {b + c - d} \right)}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {k^3}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}\] điều phải chứng minh.


Câu 26:

Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn \[{b^2} = ac;{c^2} = bd\]. Chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^3} + 8{b^3} + 27{c^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{a}{d}\].

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Xét \[\frac{{{a^3} + 8{b^3} + 27{c^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{{{b^3}{k^3} + 8{c^3}{k^3} + 27{d^3}{k^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{{{k^3}\left( {{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}} \right)}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = {k^3}\left( 3 \right)\]

Xét \[\frac{a}{d} = \frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d} = k.k.k = {k^3}\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh


Câu 27:

Chứng minh nếu \[a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)\] trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có \[\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)\] suy ra

\[\frac{{a\left( {y + z} \right)}}{{abc}} = \frac{{b\left( {z + x} \right)}}{{abc}} = \frac{{c\left( {x + y} \right)}}{{abc}} \Rightarrow \frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{ac - bc}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {y + z} \right) - \left( {x + y} \right)}}{{bc - ab}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}}\left( 2 \right)\]

\[\frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{ab - ac}} = \frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}}\left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3) , suy ra \[\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\], điều phải chứng minh


Câu 28:

Cho a, b, c thỏa mãn \[\frac{a}{{2016}} = \frac{b}{{2018}} = \frac{c}{{2020}}\].  Chứng minh rằng :\[\frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{a}{{2016}} = \frac{b}{{2018}} = \frac{c}{{2020}} = \frac{{a - b}}{{ - 2}} = \frac{{b - c}}{{ - 2}} = \frac{{a - c}}{{ - 4}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{16}} = \left( {\frac{{a - b}}{{ - 2}}} \right)\left( {\frac{{b - c}}{{ - 2}}} \right) = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{4}\]

Do đó \[\frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\]


Câu 29:

Cho \[a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\] và \[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\].

 Chứng minh rằng:\[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = x + y + z\](Vì \[a + b + c = 1\])

Suy ra : \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\] ( vì \[a + b + c = 1\])

Vậy \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]


Câu 30:

Cho \[\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\]. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên \[A = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\]

\[ \Rightarrow \frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\]

\[\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{x + y + z + t}}{{z + t + x}} = \frac{{x + y + z + t}}{{t + x + y}} = \frac{{x + y + z + t}}{{x + y + z}}\]

Trường hợp 1: Xét \[x + y + z + t = 0\]

\[ \Rightarrow x + y = - \left( {z + t} \right);y + z = - \left( {t + x} \right)\]

Suy ra \[A = \frac{{ - (z + t)}}{{z + t}} + \frac{{ - (t + x)}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{ - (z + t)}} + \frac{{t + x}}{{ - (t + x)}}\]

\[A = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

Trường hợp 2: Xét \[x + y + z + t \ne 0\]

Suy ra \[y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z \Rightarrow x = y = z = t\]

Suy ra \[A = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên


Câu 31:

Cho dãy tỉ số bằng nhau : \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}}\]

Tính giá trị biểu thức \[B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2020}}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ... + {a_{2020}}^2}}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}} = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2019}} + {a_{2020}}}}{{{a_2} + {a_3} + ... + {a_{2020}} + {a_1}}}\]

Suy ra : \[{a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = {a_{2020}}\]

Do đó \[B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_1} + ... + {a_1}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_1}^2 + ... + {a_1}^2}} = \frac{{{{2020}^2}{a_1}^2}}{{2020.{a_1}^2}} = 2020\]


Câu 32:

Cho \[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\] và \[a + b + c \ne 0\]. Tính \[P = \frac{{{a^{49}}.{b^{51}}}}{{{c^{100}}}}\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1 \Rightarrow a = b = c\].Do đó \[P = \frac{{{a^{49}}.{a^{51}}}}{{{a^{100}}}} = 1\]


Câu 33:

Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện : \[\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}\]

Hãy tính giá trị của biểu thức \[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\].

Xem đáp án

Hướng dẫn: Từ đề bài suy ra

\[\frac{{a + b - c}}{c} + 2 = \frac{{b + c - a}}{a} + 2 = \frac{{c + a - b}}{b} + 2 \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{c} = \frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b}\]

Mà \[a,b,c > 0\] nên \[a + b + c > 0\], suy ra \[a = b = c\]

Từ đó , ta có : \[B = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right) = 8\]


Câu 34:

Cho a, b, c thỏa mãn \[\frac{{a + b + c}}{{a + b - c}} = \frac{{a - b + c}}{{a - b - c}}\] và \[b \ne 0\].Chứng minh rằng : \[c = 0\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{{a + b + c}}{{a + b - c}} = \frac{{a - b + c}}{{a - b - c}} = \frac{{\left( {a + b + c} \right) - \left( {a - b + c} \right)}}{{\left( {a + b - c} \right) - \left( {a - b - c} \right)}} = \frac{{2b}}{{2b}} = 1\]

\[ \Rightarrow a + b + c = a + b - c \Rightarrow 2c = 0 \Rightarrow c = 0\]


Câu 35:

Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn \[\frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{z - x}}{{z + x}}\]. Chứng minh rằng \[{x^2} = yz\]
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{z - x}}{{z + x}}\] suy ra \[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}} = \frac{{x - y + x + y}}{{z - x + z + x}} = \frac{{2x}}{{2z}} = \frac{x}{z}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}} = \frac{{x - y - x - y}}{{z - x - z - x}} = \frac{{ - 2y}}{{ - 2x}} = \frac{y}{x}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{x}{z} = \frac{y}{x} \Rightarrow {x^2} = yz\]


Câu 36:

Cho \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\] và \[\frac{y}{5} = \frac{z}{6}\].Tính giá trị biểu thức \[A = \frac{{2x + 3y + 4z}}{{3x + 4y + 5z}}\] (giả thiết A có nghĩa)
Xem đáp án

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}};\frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\] suy ra \[\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\]

Đặt \[\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}} = k \Rightarrow x = 15k;y = 20k;z = 24k\]

Do đó \[A = \frac{{30k + 60k + 96k}}{{45k + 80k + 120k}} = \frac{{186k}}{{250k}} = \frac{{93}}{{125}}\]


Câu 37:

Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn \[\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\]

Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}\]

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Với \[a,b,c \ne 0\] ta có : \[\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}} \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \Rightarrow a = b = c \Rightarrow P = 1\]


Bắt đầu thi ngay