Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$  độ dài đường trung tuyến đi qua điểm ấy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác ∆ABC có AM là đường trung tuyến từ đỉnh A nối với trung điểm của M cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa: Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ (1)

Ta có: AG = AM − GM

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$  và $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$

Ta có: $\frac{GM}{AM}:\frac{AG}{AM}=\frac{GM}{AG}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

Vậy  $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Ta có: ∆ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC mà AB = 2AF; AC = 2AE

Do đó 2AF = 2AE hay AF = AE.

Xét ∆ABE và ∆ACF có:

$\widehat{A}$ là góc chung;

AB = AC (∆ABC cân tại A);

AE = AF (cmt).

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c).

Suy ra CF = BE.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{GN}{BN}=\frac{1}{3}$

BN = 3GN = 3 . 4 = 12 (cm)

Vậy độ dài đoạn thẳng AG bằng 12 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$ ; $\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}$

mà BD = CF (gt) nên BG = CG.

Do vậy FG = GD.

Xét ∆FGB và ∆DGC có:

BG = CG (cmt);

FG = GD (cmt);

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AE là đường trung tuyến của ∆ABC.

Do vậy E là trung điểm của BC.

Ta có: $\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$ ; $\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}$  (G là trọng tâm ∆ABC).

mà BD = CF (gt) nên BG = CG.

Do vậy FG = GD.

Xét ∆FGB và ∆DGC có:

BG = CG (cmt);

FG = GD (cmt);

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Ta có: ∆ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC mà AB = 2AF; AC = 2AD.

Do đó 2AF = 2AD hay AF = AD.

Xét ∆ABD và ∆ACF có:

$\widehat{A}$ là góc chung;

AB = AC (∆ABC cân tại A);

AD = AF (cmt).

Do đó ∆ABD = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra BD = CF.

Ta có : GF= $\frac{1}{3}$ CF ;

BD = CF = 9 (cm).

Do đó GF = $\frac{1}{3}$  . 9 = 3 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng GF bằng 3 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ΔABD có AC = CD.

Do đó BC là trung tuyến của ΔABD.

Mà BM = 2MC nên BM = $\frac{2}{3}$ BC.

Suy ra M là trọng tâm của ΔABD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: AD = AE + EF + FD mà AE = EF = FD nên AD = 3AE.

Suy ra AE = EF = FD = $\frac{1}{3}$ AD.

Do đó AF = $\frac{2}{3}$ AD.

Vì AD là đường trung tuyến và AF = $\frac{2}{3}$ AD nên F là trọng tâm của ΔABC.