12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Câu 1:

Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 và đường cao AH (H ∈ BC) sao cho BH = 2HC. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$

A. -24

B. 24

C. 18

D. -18

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\vec{A B} . \vec{B C} = (\vec{A H} + \vec{H B}) . \vec{B C} = \vec{A H} . \vec{B C} + \vec{H B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C} = H B . B C . \cos (\vec{H B}, \vec{B C}) = \frac{2}{3} B C . B C . \cos (\vec{H B} . \vec{B C}) = \frac{2}{3} .6.6. \cos 180^{0} = - 24$

Câu 2:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$

B. $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{0}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}$

D. $\vec{A C} . \vec{C B} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đáp án A: đúng do $A H ⊥ B C$

Đáp án B: đúng do $(\vec{A B}, \vec{A H}) = 30^{\circ}$ nên $(\vec{A B}, \vec{H A}) = 150^{\circ}$

Đáp án C: đúng do

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B} . \vec{A C}) = a . a . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$

Đáp án D: do $(\vec{A C} . \vec{C B})$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $(\vec{A C} . \vec{C B}) = 120^{\circ}$

Do đó

$\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . \cos 120^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. $(\vec{A B} . \vec{A C}) \vec{B C} = 2 \vec{B C}$

B. $\vec{B C} . \vec{C A} = - 2$

C. $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = - 4$

D. $(\vec{B C} - \vec{A C}) . \vec{B A} = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải

Phương án A: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos 60^{0} = 2$

$\Rightarrow (\vec{A B} . \vec{A C}) \vec{B C} = 2 \vec{B C}$ nên loại A

Phương án B: $\vec{B C} . \vec{C A} = B C . A C . \cos 120^{0} = - 2$ nên loại B

Phương án C: $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A C} = 4$ nên chọn C

Phương án D:

$(\vec{B C} - \vec{A C}) . \vec{B A} = (- \vec{C B} + \vec{C A}) . \vec{B A} = (\vec{C A} - \vec{C B}) . \vec{B A} = \vec{B A} . \vec{B A} = B A^{2} = 4$

nên loại D

Câu 4:

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2}$

B. $\vec{A C} . \vec{C B} = - \frac{1}{2} a^{2}$

C. $\vec{G A} . \vec{G B} = \frac{a^{2}}{6}$

D. $\vec{A B} . \vec{A G} = \frac{1}{2} a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đáp án. Ta có nhận xét sau:

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A C})$ là $\hat{A}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 60^{0}$

Do đó,

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 60^{0} = \frac{1}{2} a^{2}$

nên A đúng

Xác định được góc $(\vec{A C}, \vec{C B})$ là góc ngoài của $\hat{C}$ nên $(\vec{A C}, \vec{C B}) = 120^{0}$

Do đó,

$\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . \cos 120^{0} = - \frac{1}{2} a^{2}$

nên B đúng

Xác định được góc $(\vec{G A} . \vec{G B})$ là $\hat{A G B}$ nên $(\vec{G A} . \vec{G B}) = 120^{0}$

Do đó,

$\vec{G A} . \vec{G B} = G A . G B . \cos (\vec{G A} . \vec{G B}) = \frac{a}{\sqrt{3}} . \frac{a}{\sqrt{3}} . \cos 120^{0} = - \frac{a^{2}}{6}$

nên C sai

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{A G})$ là $\hat{G A B}$ nên $(\vec{A B}, \vec{A G}) = 30^{0}$

Do đó,

$\vec{A B} . \vec{A G} = A B . A G . \cos (\vec{A B}, \vec{A G}) = a . \frac{a}{\sqrt{3}} . \cos 30^{0} = \frac{a^{2}}{2}$

nên D đúng

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A})$

A. $P = 2 \sqrt{2} a$

B. $P = 2 a^{2}$

C. $P = a^{2}$

D. $P = - 2 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A} = (\vec{B C} + \vec{B A}) + \vec{B D} = \vec{B D} + \vec{B D} = 2 \vec{B D}$

và $B D = a \sqrt{2}$

Khi đó

$P = (\vec{A B} + \vec{A C}) .2 \vec{B D} = 2 \vec{A B} . \vec{B D} + 2 \vec{A C} . \vec{B D} = - 2 \vec{B A} . \vec{B D} + 0 = - 2. B A . B D \cos (\vec{B A} . \vec{B D}) = 2. a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = - 2 a^{2}$

Câu 6:

Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = 24$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = 26$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = 32$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $O = A C \cap B D$ , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vec tơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ theo các vec tơ có giá vuông góc với nhau. Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = (\vec{A O} + \vec{O B}) . \vec{A C} = \vec{A O} . \vec{A C} + \vec{O B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A C} + 0 = \frac{1}{2} A C^{2} = 32$

Câu 7:

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Khi đó $(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D}$ bằng:

A. $\frac{9 a^{2}}{2}$

B. $- \frac{9 a^{2}}{2}$

C. 0

D. $9 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$(\vec{I A} + \vec{I B}) . \vec{I D} = (\vec{I A} + \vec{I A} + \vec{A B}) . \vec{I D} = 2 \vec{I A} . \vec{I D} = 2. I A . I D . c o s 180 ° = - 2. \frac{3 a}{2} . \frac{3 a}{2} .1 = - \frac{9 a^{2}}{2}$

(do $A B ⊥ I D$ nên $\vec{A B} . \vec{I D} = 0$ )

Câu 8:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH, BK; vẽ $H I ⊥ A C$ . Câu nào sau đây đúng?

A. $\vec{B A} . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B H}$

B. $\vec{C B} . \vec{C A} = 4 \vec{C B} . \vec{C I}$

C. $(\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B C}$

D. Cả 3 câu trên

Xem đáp án

Đáp án D

Phương án A: $\vec{B C} = 2 \vec{B H} \Rightarrow \vec{B A} . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B H}$ nên đẳng thức ở phương án A là đúng

Phương án B: $\vec{C A} = 4 \vec{C I} \Rightarrow \vec{C B} . \vec{C A} = 4 \vec{C B} . \vec{C I}$ nên đẳng thức ở phương án B là đúng

Phương án C:

$\begin{matrix} (\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = \vec{B C} . \vec{B C} = a^{2} \\ 2 \vec{B A} . \vec{B C} = 2. a . a . \frac{1}{2} = a^{2} \end{matrix}\} \Rightarrow (\vec{A C} - \vec{A B}) . \vec{B C} = 2 \vec{B A} . \vec{B C}$

Nên đẳng thức ở phương án C là đúng

Vậy chọn D

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2) và B (−3; 1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A

A. C (0; 6)

B. C (5; 0)

C. C (3; 1)

D. C (0; −6)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $C \in O y$ nên C (0; c) và $\{\begin{matrix} \vec{A B} = (- 4; - 1) \\ \vec{A C} = (- 1; c - 2) \end{matrix}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên suy ra $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ nên $(- 4) . (- 1) + (- 1) (c - 2) = 0$

$\Leftrightarrow c = 6$

Vậy C (0; 6)

Câu 10:

Cho hai điểm A (−3, 2), B (4, 3). Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M

A. M (7; 0)

B. M (5; 0)

C. M (3; 0)

D. M (9; 0)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có A (−3, 2), B (4, 3). Gọi M (x; 0), x > 0

Khi đó $\vec{A M} = (x + 3; - 2), \vec{B M} = (x - 4; - 3)$

Theo YCBT

$\Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = - 2 (l) \\ x = 3 \end{matrix} \Rightarrow M (3; 0)$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 1), B (1; 3) và C (1; −1). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn

C. Tam giác ABC cân tại B

D. Tam giác ABC vuông cân tại A

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{A B} = (2; 2), \vec{B C} = (0; - 4)$ và $\vec{A C} = (2; - 2)$

Suy ra $\{\begin{matrix} A B = A C = 2 \sqrt{2} \\ A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \end{matrix}$

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (10; 5), B(3;2) và C(6; −5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC vuông cân tại A

C. Tam giác ABC vuông cân tại B

D. Tam giác ABC có góc A tù

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{A B} = (- 7; - 3), \vec{B C} = (3; - 7)$ và $\vec{A C} = (- 4; - 10)$

Suy ra $\vec{A B} . \vec{B C} = (- 7) .3 + (- 3) . (- 7) = 0$ và AB = BC

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương