Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$và  vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Có vô số vectơ khác $\overrightarrow{0}$và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do đó đường thẳng ∆ có vô số vectơ pháp tuyến.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ chỉ phương của d là một vectơ pháp tuyến.

Suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\overrightarrow{u}=(3;-4)$

Vậy ta chọn phương án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-\frac{1}{2};3)$

Các vectơ chỉ phương còn lại của đường thẳng ∆ sẽ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ .

• Ở phương án A, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{-1}=\frac{3}{6}$  nên ${\overrightarrow{u}}_1$  cùng phương với $\overrightarrow{u}$

Do đó ${\overrightarrow{u}}_1$  cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Ở phương án B, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$nên ${\overrightarrow{u}}_2$  không cùng phương với .

Do đó ${\overrightarrow{u}}_2$  không là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Tương tự, ta có ${\overrightarrow{u}}_3,{\overrightarrow{u}}_4$  không là vectơ chỉ phương của ∆.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d):$\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-3+5t\end{array}$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;5)$

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$  nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}5x_M+2y_M+1=0\\ 3x_M-2y_M-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_M=0\\ y_M=-\frac{1}{2}\end{array}$

Khi đó ta có $M(0;-\frac{1}{2})$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=(11;-12)$, ${\overrightarrow{n}}_2=(12;11)$

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=11.12+(-12).11=0$

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$

Khi đó ta có ∆₁ ⊥ ∆₂.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$

Do đó đường thẳng AH nhận $\overrightarrow{BC}$làm vectơ pháp tuyến.

Với B(4; 5), C(–3; 2) ta có $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$

Đường thẳng AH đi qua điểm A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AH là:

–7.(x – 2) – 3.(y + 1) = 0

⇔ –7x – 3y + 11 = 0 ⇔ 7x + 3y – 11 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi M là trung điểm của AB với A(–2; 3) và B(4; –1).

Ta suy ra $\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+4}{2}=1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3-1}{2}=1\end{array}$

Khi đó ta có M(1; 1).

Với A(–2; 3) và B(4; –1) ta có: $\overrightarrow{AB}=(6;-4)$

Đường thẳng d là đường trung trực của AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm M(1; 1) của AB và nhận $\overrightarrow{AB}=(6;-4)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình tổng quát của d là:

6(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ 6x – 4y – 2 = 0 ⇔ 3x – 2y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x_M; y_M) là điểm cần tìm.

Ta có M ∈ ∆. Suy ra 2x_M + y_M – 1 = 0 ⇔ y_M = 1 – 2x_M.

Khi đó tọa độ M có dạng: M(x_M; 1 – 2x_M).

Theo đề ta có khoảng cách từ M đến (d) bằng 2, tức là d(M, (d)) = 2.

Ta suy ra $\frac{|4x_M+3(1-2x_M)-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

⇔ |–2x_M – 7| = 10

⇔ –2x_M – 7 = 10 hoặc –2x_M – 7 = –10

⇔ –2x_M = 17 hoặc –2x_M = –3

 $\iff x_M=-\frac{17}{2} hoặc x_M=\frac{3}{2}$ .

• Với $x_M=-\frac{17}{2}$ , ta có: y_M = 1 – 2x_M = 18.

Suy ra tọa độ $M(-\frac{17}{2};18)$

• Với $x_M=\frac{3}{2}\frac{}{}$ , ta có y_M = 1 – 2x_M = –2.

Suy ra tọa độ $M(\frac{3}{2};-2)$

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là $M(-\frac{17}{2};18)$ $M(\frac{3}{2};-2)$

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

${\Delta }_1:\sqrt{3}x-y+7=0$có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=(\sqrt{3};-1)$

∆₂: mx + y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=(m;1)$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=\sqrt{3}.m+(-1).1=m\sqrt{3}-1$

Theo đề, ta có (∆₁, ∆₂) = 30° nên ta có: $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \frac{|m\sqrt{3}-1|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{(-1)}^2}.\sqrt{m^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\begin{gathered} \iff |\sqrt{3}.m-1|=\sqrt{3m^2+3} \\ \iff 3m^2-2\sqrt{3}.m+1=3m^2+3 \\ \iff -2\sqrt{3}.m=2 \\ \iff m=-\frac{2}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

(d’) có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}^{\text{'}}=(6;8)$

Vì (d) // (d’) nên (d) cũng nhận ${\overrightarrow{n}}^{\text{'}}=(6;8)$  làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình (d) có dạng: 6x + 8y + c = 0 (c ≠ –1).

Chọn $A(-\frac{5}{2};2)$  ∈ (d’).

Vì (d) // (d’) nên khoảng cách giữa (d) và (d’) chính là d(A, (d)).

Do đó d(A, (D)) = 2.

⇔ |c + 1| = 20.

⇔ c + 1 = 20 hoặc c + 1 = –20.

⇔ c = 19 (nhận vì 19 ≠ –1) hoặc c = –21 (nhận vì –21 ≠ –1).

Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

6x + 8y + 19 = 0 và 6x + 8y – 21 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

• (d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc k=1/2

Vì vậy phương án A đúng.

• (d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=(1;-2)$  và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=(1;-2)$

Ta có $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n^{\text{'}}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

• Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

• (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2)$

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;-2)$

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra $\overrightarrow{u}$   không cùng phương với $\overrightarrow{a}$

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\overrightarrow{u}}_{AC}={\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến . ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}$

Khi đó ta có $A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Vậy ta chọn phương án A.