Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC

$\Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.cos45°$ 

$\Rightarrow B{C}^2-\sqrt{6}.BC+1=0$ 

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ (vì BC > 0)

Vậy $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

+) $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow \widehat{A}=45°$ 

+) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+2^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right).2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{B}=60°$ 

Do đó $\widehat{B}-\widehat{A}=60°-45°=25°.\Rightarrow \widehat{B}=60°$ 

Vậy  $\widehat{B}-\widehat{A}=25°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{A}\approx 36°52\text{'}$  (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}\approx 36°52\text{'}$, áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=40°,\widehat{B}=60°,$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-40°-60°=80°.$

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{5.\sin 40°}{\sin 80°}\approx 3,3$ 

Vậy BC ≈ 3,3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và $\widehat{ABC}=60°,$ áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.$cos\widehat{ABC}$ 

Þ AC² = 2² + 3² – 2.2.3.cos60° = 7 $\Rightarrow AC=\sqrt{7}$ 

Do đó chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC $=2+3+\sqrt{7}=5+\sqrt{7}.$ 

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.}\sin 60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: $5+\sqrt{7}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4,3+7,5+3,7}{2}=\frac{31}{4}\left(cm\right)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\approx 5,2\left(c{m}^2\right)$ 

Mặt khác: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}\approx \frac{4,3.7,5.3,7}{4.5,2}\approx 5,73\left(cm\right)$ 

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\widehat{AOB}=135°-15°=120°$ 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.$\sin \widehat{AOB}$ 

Þ 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow {10}^2=169x^2+144x^2-312x^2.\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

$\Rightarrow {10}^2=\left(313-156\sqrt{3}\right)x^2$ 

$\Rightarrow x^2=\frac{10}{313-156\sqrt{3}}$ Þ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABD ta có: $\alpha =\widehat{ADB}+\beta$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\alpha -\beta =63°–48°=15°.$ 

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: $\frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$ 

$\Rightarrow AD=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}.\sin B=\frac{24}{\sin 15°}.\sin 48°\approx 68,91\left(m\right)$ 

Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sinα

Þ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos A.\sin \frac{B-C}{2}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\cos A=0\\ sin\frac{B-C}{2}=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}A=90°\\ \frac{B-C}{2}=0°\left(vì \frac{B-C}{2}=180°làvôlí\right)\end{array}\right.$  

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\widehat{A}=90°\\ \widehat{B}=\widehat{C}\end{array}\right.$

Þ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$ 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$ 

$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$ Þ PQ² = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}\left(m\right)$ 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$ 

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180°-45°-75°=60°$ 

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$ 

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$