Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9. Tích của vectơ với một số có đáp án
-
391 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với số thực k như thế nào thì vectơ \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Đáp án đúng là C
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Câu 2:
Cho vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án đúng là B
Ta có (k + t)\(\overrightarrow a \) = k\(\overrightarrow a \) + t\(\overrightarrow a \). Do đó B sai.
Câu 3:
Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Đáp án đúng là D
Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.
Ta có \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \). Suy ra k = 2 > 1.
Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.
Câu 4:
Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là C
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Xét đẳng thức: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IB} \) hay \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IB} \)
Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn \(IK = \frac{1}{3}IB\).
Câu 5:
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó \(\overrightarrow {AM} = a\overrightarrow {AB} + b\overrightarrow {AC} \). Tính S = a + 2b.
Đáp án đúng là D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
⇒ a = \(\frac{1}{2}\), b = \(\frac{1}{2}\).
⇒ S = a + 2b = \(\frac{1}{2}\) + 2.\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) + 1 = \(\frac{3}{2}\).
Vậy S = \(\frac{3}{2}\).Câu 6:
Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị \(\overrightarrow {MG} \) thông qua hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là B
Ta có: \[\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
\[ = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Vậy \(\overrightarrow {NG} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Câu 7:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là D
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Xét \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} = - \overrightarrow {GC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GC} \).
Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho \(GM = \frac{1}{4}GC\).
Câu 8:
Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \)hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), tức là tìm các số x, y, z, t để \(\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b ,\overrightarrow v = t\overrightarrow a + z\overrightarrow b .\)
Đáp án đúng là B
Ta có hình vẽ sau:
Xét hình bình hành OABC, có:
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow b ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow u \)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) (quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OMNP, có:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow v ,\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow b ,\overrightarrow {OP} = - 2\overrightarrow a \)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .\)
Vậy \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .\)
Câu 9:
Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = \[\frac{1}{3}\]AC. Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là C
Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị \(\overrightarrow {AM} \) (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với \(\overrightarrow {MA} + 3\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = \[\frac{1}{3}\]AC nên \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vì vậy \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} \).
Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.
Câu 10:
Biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nhưng hai vectơ \(5x\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \) và \(\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:
Đáp án đúng là A
Vectơ \(5x\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \) và \(\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)
⇔ 5x = -6x + 4
⇔ 11x = 4
⇔ x = \(\frac{4}{{11}}\).
Vậy x = \(\frac{4}{{11}}\).
Câu 11:
Chất điểm A chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)như hình vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)). Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\) biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 20N.
Đáp án đúng là A
Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = - \overrightarrow {{F_3}} \)
Mà \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \) (OBDA là hình bình hành)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {{F_3}} \)
\( \Rightarrow \)Hai vecto \(\overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) là hai vecto đối nhau
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và \(\widehat {BOD} = {60^0}\).
Ta lại có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{F_1}} \)
Xét ΔOBD, có:
\(OB = \frac{{BD}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N.\)
\(OD = \frac{{BD}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.\)
Vậy độ lớn vecto \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N,\frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.\)
Câu 12:
Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} \).
Đáp án đúng là C
Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = \(\frac{1}{2}\)AC. Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + 2.\frac{1}{2}.\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Gọi M là trung điểm của DC
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)
Xét tam giác ADM vuông tại M, có:
AM2 = AD2 + DM2 = 22 + \({\left( {\frac{2}{2}} \right)^2}\)= 5 (định lí Py – ta – go)
⇔ AM = \(\sqrt 5 \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 5 .\)
Câu 13:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
Đáp án đúng là B
Ta có \[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\]
\[ = \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN} \]
\[ = 2\overrightarrow {MN} \]
Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} \).
Câu 14:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vec tơ – không. Hai vec tơ nào dưới đây cùng phương?
Đáp án đúng là C
Ta có: \( - 6\left( {\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = - \overrightarrow a + \overrightarrow b \). Do đó vectơ \(\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b \) và \( - \overrightarrow a + 6\overrightarrow b \) cùng phương.
Câu 15:
Cho hình vẽ sau:
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Đáp án đúng là A
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng và \(MP = \frac{4}{5}MN\). Suy ra \(\overrightarrow {MP} = \frac{4}{5}\overrightarrow {MN} \) hay \(5\overrightarrow {MP} = 4\overrightarrow {MN} \). Do đó A đúng.
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {PM} \) và \(\overrightarrow {PN} \) ngược hướng và PM = 4PN. Suy ra \(\overrightarrow {PM} = - 4\overrightarrow {PN} \). Do đó B sai.
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng và \(PN = \frac{1}{5}MN\). Suy ra \(\overrightarrow {PN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MN} \). Do đó D sai.