Dạng 1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
-
419 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC.
Vẽ đường cao AH.
Ta có
Suy ra (cm); (cm)
Xét DABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
Þ AB = 12 (cm);
Þ AC = 16 (cm).
Vậy diện tích DABC là (cm2).
Cách giải khác:
Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: (hệ thức 2).
Þ AH = 9,6 (cm).
Diện tích DABC là (cm2).
Câu 2:
Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.
Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:
cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
(cm)
(cm)
(cm)
(Có thể tính đường cao AH bởi công thức )
Câu 3:
Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết cm, OB = 2cm, tính độ dài AB.
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.
Ta có
mà nên
Do đó DAOD cân tại A. Suy ra (cm).
Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.
Ta đặt thì
Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có
Suy ra Từ đó ta được phương trình:
Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.
Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.
Do đó (cm). Suy ra (cm).
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC.
Ta có
Suy ra . (1)
Suy ra . (2)
Từ (1) và (2) ta được:
Mặt khác (hệ thức 2). Suy ra Þ AH = 12 (cm).
Ta có (cm2) mà nên
Suy ra (cm).
Câu 5:
Cho hình thang ABCD, . Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.
Tính diện tích hình thang
Tìm cách giải
Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC.
* Trình bày lời giải
· Xét DABD vuông tại A có AO ^ BD nên (hệ thức 2).
Do đó Þ OA = 9 (cm).
· Xét DACD vuông tại D có OD ^ AC nên (hệ thức 2).
(cm).
Do đó (cm); (cm).
Diện tích hình thang ABCD là: (cm2).
Câu 6:
Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN.
Xét DADC có OM // CD nên (hệ quả của định lí Ta lét). (1)
Xét DBDC có ON // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (2)
Xét DABC có ON // AB nên (định lí Ta-lét). (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
Do đó OM = ON.
Xét DAOD vuông tại O, OM ^ AD nên (hệ thức 4).
Do đó (cm).
Suy ra (cm).
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
Tìm cách giải
Biểu thức gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) để giải. Muốn vậy phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN.
* Trình bày lời giải
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.
DADE và DABM có AD = AB; (cùng phụ với ).
Do đó Suy ra AE = AM.
Xét DAEN vuông tại A có AD ^ EN nên
Mặt khác nên
Câu 8:
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng :
* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.
* Trình bày lời giải
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.
Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến BH = HC.
Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD ( BC )
CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).
Nên AH là đường trung bình của BCD
AH = BD = 2AH. (1)
Xét BCD có ; BK CD ( K CD )
(2)
Từ (1) và (2) (đpcm)
Câu 9:
Cho hình thang ABCD, hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.
DADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:
.
Suy ra AC = 20 (cm).
DADC vuông tại D, DO là đường cao nên (hệ thức 3).
Suy ra (cm).
Ta lại có (hệ thức 1) nên (cm).
Do đó (cm).
Xét DABD vuông tại A, AO là đường cao nên (hệ thức 2).
(cm).
Câu 10:
(Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. )
*Cách 1: Ta có vuông tại A nên :
(Định lý Pytago)
vuông tại A, AH BC, nên
*Cách 2: vuông tại A, AH BC, nên:
*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có
nên suy ra BC=10cm.
vuông tại A nên: . Mà (cm)
vuông tại A, AH BC, nên:
*Cách 4:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có :
+ Tính được BH=6.4cm
+ Nên
Áp dụng định lý Pitago vào vuông tại H: