IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Dạng 1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

  • 444 lượt thi

  • 10 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án

Media VietJack

Vẽ đường cao AH.

Ta có HBHC=916HB9=HC16=HB+HC9+16=2025

Suy ra HB=9.2025=7,2 (cm); HC=16.2025=12,8   (cm)

Xét DABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

AB2=BC.BH=20.7,2=144 Þ AB = 12 (cm);

AC2= BC.CH=20.12,8=256 Þ AC = 16 (cm).

Vậy diện tích DABC là S=12ABAC=1212.16=96  (cm2).

Cách giải khác:

Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: AH2=HB.HC  (hệ thức 2).

AH2=7,2.12,8=92,16 Þ AH = 9,6 (cm).

Diện tích DABC là S=12BCAH=1220.9,6=96  (cm2).


Câu 2:

Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Xem đáp án

Media VietJack

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

BC2=AB2+AC2=32+42=25BC=5 cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BA2= BH.BCBH=BA2BCBH=325BH=95  (cm)

CA2=CH.CBCH=CA2CBCH=425CH=165 (cm)

AH2=HB.HCAH2=95.165AH=125 (cm)

 

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức 1AH2=1AB2+1AC2 )


Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA=23 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB.

Xem đáp án

Media VietJack

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.

Ta có    D^+B1^=90°

B1^=B2^  nên  AOD^=D^

Do đó DAOD cân tại A. Suy ra AD=AO=23  (cm).

Vẽ AH ^ OD thì HO = HD.

Ta đặt HO=HD=x  thì  BD=2x + 2.

Xét DABD vuông tại A, đường cao AH, ta có  AD2=BD.HD.

Suy ra (23)2=x(2x+2)  Từ đó ta được phương trình:

2x2+ 2x 12=0 Û (x – 2)(x + 3) = 0 Û x = 2 hoặc x = -3.

Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = -3 bị loại.

Do đó BD=2+2+2=6  (cm). Suy ra AB=62(23)2=24=26  (cm).


Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có  SABH=12AHBH=54

Suy ra  AH.BH=108.                                              (1)

SACH=12AH.CH=96 Suy ra  AH.CH = 192.                                                       (2)

Từ (1) và (2) ta được:  AH2.BH.CH=108.192.

Mặt khác AH2= BH.CH  (hệ thức 2). Suy ra AH4= 124  Þ AH = 12 (cm).

Ta có SABC=54 +96=150  (cm2) mà SABC=12BCAH  nên 12BCAH=150

Suy ra BC=150.212=25  (cm).


Câu 5:

Cho hình thang ABCD, A^=D^=900.  Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.

Tính diện tích hình thang

Xem đáp án

Media VietJack

Tìm cách giải

Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC.

* Trình bày lời giải

· Xét DABD vuông tại A có AO ^ BD nên OA2= OB.OD  (hệ thức 2).

Do đó OA2= 5,4.15 = 81  Þ OA = 9 (cm).

· Xét DACD vuông tại D có OD ^ AC nên OD2= OA.OC  (hệ thức 2).

OC=OD2OA=1529=25 (cm).

Do đó AC=25+9=34  (cm); BD=5,4+15=20,4  (cm).

Diện tích hình thang ABCD là: S=ACBD2=34.20,42=346,8  (cm2).


Câu 6:

Cho hình thang ABCD, A^=D^=900.  Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.

Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN.

Xem đáp án

Media VietJack

Xét DADC có OM // CD nên OMCD=AOAC  (hệ quả của định lí Ta lét).  (1)

Xét DBDC có ON // CD nên ONCD=BNBC  (hệ quả của định lí Ta-lét).   (2)

Xét DABC có ON // AB nên AOAC=BNBC  (định lí Ta-lét).      (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  OMCD=ONCD

Do đó OM = ON.

Xét DAOD vuông tại O, OM ^ AD nên 1OM2=1OA2+1OD2  (hệ thức 4).

Do đó 1OM2=192+1152OM7,7  (cm).

Suy ra MN7,7.2 = 15,4  (cm).


Câu 7:

Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P=1AM2+1AN2

Xem đáp án

Media VietJack

Tìm cách giải

Biểu thức 1AM2+1AN2  gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) 1h2=1b2+1c2  để giải. Muốn vậy phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN.

* Trình bày lời giải

 

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.

DADE và DABM có D^=B^=90°;  AD = AB; A1^=A2^  (cùng phụ với DAM^  ).

Do đó ΔADE =ΔABM g.c.g.  Suy ra AE = AM.

Xét DAEN vuông tại A có AD ^ EN nên 1AE2+1AN2=1AD2

Mặt khác AE=AM; AD = 1  nên 1AM2+1AN2=1


Câu 8:

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng : 1BK2=1BC2+14AH2

Xem đáp án

Media VietJack

* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức 1h2=1b2+1c2  ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.

* Trình bày lời giải

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.            

ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến  BH = HC.

Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC )

 CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).

Nên AH là đường trung bình của Δ  BCD

 AH =  AH=12BD  BD = 2AH. (1)

Xét BCD có DBC^=900 ; BK  CD ( K  CD )

1BK2=1BC2+1BD2   (2)

Từ (1) và (2) 1BK2=1BC2+14AH2  (đpcm)


Câu 9:

Cho hình thang ABCD, A^=D^=90°=  hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.

Xem đáp án

Media VietJack

DADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:

AC2=AD2+DC2=122+162=400 .

Suy ra AC = 20 (cm).

DADC vuông tại D, DO là đường cao nên AD.DC = AC.DO (hệ thức 3).

Suy ra  OD=ADDCAC=12.1620=9,6 (cm).

Ta lại có AD2= AC.AO  (hệ thức 1) nên OA=AD2AC=12220=7,2 (cm).

Do đó OC=207,2=12,8  (cm).

Xét DABD vuông tại A, AO là đường cao nên AO2= OB.OD  (hệ thức 2).

OB=AO2OD=7,229,6=5,4 (cm).


Câu 10:

(Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau)       Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. )

Xem đáp án

Media VietJack

*Cách 1: Ta có ΔABC  vuông tại A nên :

BC=AB2+AC2=82+62=10(cm) (Định lý Pytago)

ΔABC vuông tại A, AH BC, nên  AH.BC=AB.ACAH=AB.ACBC=4,8(cm)

*Cách 2: ΔABC  vuông tại A, AH BC, nên: 1AH2=1AB2+1AC2AH2=AB2.AC2AB2+AC2AH=64.36100=4.8(cm)

*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có

BC2=AB2+AC2=82+62=100 nên suy ra BC=10cm.

ΔABC vuông tại A nên: BH.BC=AB2BH=AB2BC=6.4(cm) . Mà HC=BCBH=3,6  (cm)

ΔABC vuông tại A, AH BC, nên: AH2=BH.HC=4.82AH=4.8(cm)

*Cách 4:  

Media VietJack

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có : BM=AM=12BC=5cm

+ Tính được BH=6.4cm

+ Nên MH=BHBM=6,45=1(cm)

Áp dụng định lý Pitago vào ΔHAM  vuông tại H: AH=AM2MH2=521,42=4,8(cm)


Bắt đầu thi ngay