Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án
Dạng 1: Tiếp tuyến của đường tròn có đáp án
-
1184 lượt thi
-
4 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho đường tròn và điểm M cách một khoảng bằng 20 cm. Kẻ tiếp tuyến MA ( là tiếp điểm) và kẻ dây vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phân tích đề bài
là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Giải chi tiết
Gọi . Xét và có: OA = (bán kính đường tròn (O));
(giả thiết);
OH chung.
Suy ra (cạnh huyền – cạnh góc vuông) (hai cạnh tương ứng).
Tam giác MAB có MH vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại M
(hai góc ở đáy).
Lại có cân tại O nên . Khi đó .
Suy ra . Vậy MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 2:
Cho tam giác có hai đường cao BD và cắt nhau tại .
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H , cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O ).
b) Gọi M là trung điểm của . Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phân tích đề bài
a) Thấy ngay hai tam giác AEH và ADH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.
b) EM là tiếp tuyến của (O)
Giải chi tiết
a) Gọi O là trung điểm của AH.
Theo giả thiết và là các tam giác vuông có chung cạnh huyển AH nên bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn (O) đường kính AH.
b) Xét tam giác OAE có OE = OA nên cân tại O . (1)
Tương tự cân tại M nên . (2)
Gọi .
Lại có: (vì cùng phụ với ). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
Ta có: .
Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 3:
Cho đường tròn đường kính . Qua và vẽ lần lượt hai tiếp tuyến và . Một đường thẳng qua cắt đường thẳng ở và ở . Từ kẻ vuông góc với và cắt ở .
a) Chứng minh và cân.
b) Chứng minh là tiếp tuyến của .
c) Chứng minh .
d) Tìm vị trí của để diện tích tứ giác là nhỏ nhất.
Phân tích đề bài
a) Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, thông thường chúng ta chứng minh qua hai tam giác bằng nhau. Khi đó cân vì có và .
b) là tiếp xúc với tại .
c)
d) Nhận thấy là hình thang vuông, nên
.
Do vậy nhỏ nhất nhỏ nhất hay là hình chữ nhật.
Giải chi tiết
a) Xét và có: (tính chất tiếp tuyến);
(bán kính đường tròn );
(đối đỉnh).
(hai cạnh tương ứng).
Xét có (theo chứng minh trên) và . Suy ra là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của nên cân tại .
b) Kẻ tại . Vì cân tại nên (hai góc ở đáy).
Xét và có: ;
(chứng minh trên);
(chứng minh trên).
(cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng).
Vì tại và nên là tiếp tuyến của tại I.
c) Xét và có: (tính chất tiếp tuyến);
(cùng phụ với hai góc bằng nhau).
(vì ).
Vậy .
d) Ta có: và (tính chất tiếp tuyến). Do đó hay là hình thang vuông .
Mặt khác: và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
.
Mà cố định nên nhỏ nhất nhỏ nhất hay là hình chữ nhật . Khi đó .
Vậy để diện tích tứ giác nhỏ nhất thì và .
Câu 4:
Cho đường tròn (0; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn (O) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.
a) Cho biết bán kính R = 5cm, OM = 3cm. Tính độ dài dây EH.
b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (O) (F là tiếp điểm). Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng và .
d) Trên tia HB lấy điểm , qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q.
Chứng minh AE = DQ.
a) Theo giả thiết, tại M nên M là trung điểm của EH (quan hệ đường kính và dây cung).
.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác QEM có:
.
Vậy độ dài dây EH là 8 cm.
b) cân tại A vì có AM vừa là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.
.
Xét và có: OE = OH (bán kính đường tròn (O));
AE = AH (chứng minh trên);
OA chung.
(hai góc tương ứng).
Hay . Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Ta thấy B là giao của hai tiếp tuyến BH và BF nên .
Lại có nên .
Tức là ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: FB = BH, EA =HA.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: .
Vậy . (1)
d) Ta có (vì cùng vuông góc với EF).
(*).
Dễ dàng chứng minh được vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, với OK là đường cao, ta có: .
Mà DE, DK là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên DE = DK.
Tương tự, CK = CF.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (**)
Từ (*) và (**) suy ra: .