IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông có đáp án

Dạng 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

  • 446 lượt thi

  • 14 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có

BC=AC2+AB2=92+122=15 (dm)

Vậy sin B =ACBC=915=35

Cos B =ABBC=1215=45; tan B =ACAB=912=34; cot B =ABAC=129=43

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

Sin B=cos C=35; Cos B=sin C=45; tanB = cot C=34; cotB = tan C =43


Câu 2:

Chứng minh các hệ thức:

1+tan2α=1cos2α

Xem đáp án
Ta có  1+tan2α=1+sinαcosα2=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α

Câu 3:

Chứng minh các hệ thức:1+cot2α=1sin2α
Xem đáp án

Ta có  1+cot2α=1+cosαsinα2=1+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α=1sin2α

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.

Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.


Câu 4:

Cho α   là một góc nhọn. Chứng minh rằng:

sinα< tanα

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có sinα=ACBC; tanα=ACAB mà BC > AB nên ACBC<ACAB

Do đó sinα< tanα;


Câu 5:

Cho α   là một góc nhọn. Chứng minh rằng:cosα< cot α
Xem đáp án

Ta có  cosα=ABBC; cotα=ABAC mà BC > AC nên ABBC<ABAC

 

Do đó cosα< cot α

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.


Câu 6:

Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện: asinA=bsinB=csinC
Xem đáp án

Media VietJack

* Tìm cách giải:

Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.

* Trình bày lời giải:

Vẽ đường cao CH.

Xét DACH vuông tại H ta có:  sinA=CHAC                          (1)

Xét DBCH vuông tại H ta có:      sinB=CHBC                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra sinAsinB=CHAC:CHBC=BCAC=ab  . Do đó asinA=bsinB

Chứng minh tương tự ta được bsinB=csinC

Vậy asinA=bsinB=csinC

Lưu ý: Nếu DABC có C^90°  thì ta vẫn có: asinA=bsinB


Câu 7:

Tìm góc x, biết rằng: tan x=3cot x

Xem đáp án

tan x=3cot x;. Suy ra  tanx=3tanx (vì cotx=1tanx ).

Do đó tan2x = 3  Þ  tanx=3=tan60° Vậy  x = 60o.


Câu 8:

Tìm góc x, biết rằng:sinx+cosx=2
Xem đáp án

 Bình phương hai vế ta được:  sin2x + 2sin x.cos x + cos2x = 2

Û  2sin x.cos x + 1 = 2(vì sin2x + cos2x = 1  )

Û  2sin x.cos x = 1Û 1  2sin x.cos x = 0  Û  sin2x  2sin x.cos x + cos2x=0

Û  sin x  cos x2= 0. Do đó  sin x = cos x

Û sin x = sin (90o x)  (vì cos x = sin (90o x) )

Dẫn tới  x = 90o x2x = 90ox = 45o.

Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó


Câu 9:

Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí:

P=sin21°+sin22°+sin23°++sin288°+sin289°

Xem đáp án

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

P=sin21°+sin22°+sin23°++sin288°+sin289°

 =sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+....+sin244°+sin246°+sin245°=sin21°+cos21°+sin22°+cos22°+....+sin244°+cos244°+sin245°

=  1+1+1+...+1+222=44,5


Câu 10:

Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí:Q=tan150.tan250.tan350.tan450.tan550.tan650.tan750
Xem đáp án

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

 Q=tan150.tan250.tan350.tan450.tan550.tan650.tan750=tan150.tan750.tan250.tan650.tan350.tan550.tan450=tan150.cot150.tan250.cot650.tan350.cot350.tan450=1.1.1.1=1


Câu 11:

Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí: Biết  cosα=2029Tính sin  α,tan α  cotα.

Xem đáp án

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

Ta có sin2α+ cos2α= 1sin2α=1cos2α=120292=441841

Do đó sinα=2129; tanα=sinαcosα=2129:2029=2120;cosα=2021


Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B, sin C biết rằng:

AB = 13 và BH = 5
Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có

AB2=BH.BCBC=AB2BH=1325=33,8

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:AC=BC2AB2=31,2

             SinB=ACBC=31,233,8=1213SinC=ABBC=1333,8=513          


Câu 13:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B, sin C biết rằng:BH = 3 và CH = 4.

Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có    AH2=BH.CH=3.4AH=23

Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có  

           AB=HB2+AH2=32+12=21SinB=AHAB=2321=27

Tam giác ABC vuông,  BC=BH+HC=3+4=7

Theo định lý Pytago ta có  AC=BC2AB2=4921=28=27

           SinC=ABBC=217

Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có              

           AC=AH2+HC2=12+16=28SinC=AHAC=1228=37=217

Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.


Câu 14:

Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tanABC^2=ACAB+BC

Xem đáp án

Media VietJack

Vẽ đường phân giác BD của Δ ABC ( D  AC ).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có :ADDC=ABBCADAB=DCBC

ADAB=AD+DCAB+BCADAB=ACAB+BC

Xét ABD có  BAD^=900tanABD^=ADAB

tanABC^2=ACAB+BC

Vậy tanABC^2=ACAB+BC


Bắt đầu thi ngay