IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 7: Tứ giác ngoại tiếp, Đường tròn nội tiếp có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 7: Tứ giác ngoại tiếp, Đường tròn nội tiếp có đáp án

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 7: Tứ giác ngoại tiếp, Đường tròn nội tiếp có đáp án

  • 394 lượt thi

  • 8 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác \[ABCD\] có tổng các cạnh đối bằng nhau \[AB + CD = BC + AD\] thì tứ giác đó ngoại tiếp được một đường tròn” bằng cách chứng minh các tia phân giác của bốn góc \[A,B,C,D\] cùng gặp nhau tại một điểm.

Xem đáp án
Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác ABCD có tổng các cạnh đối bằng  (ảnh 1)

Ta chỉ cần chứng minh các tia phân giác của ba góc \[A,B,D\] gặp nhau tại một điểm. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu \[AB = BC\] thì từ giả thiết suy ra \[CD = AD\].

Xét \[\Delta ABD\]\[\Delta CBD\]\[AB = BC\], \[AD = DC\]\[BD\] chung nên \[\Delta ABD = \Delta CBD\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\].

Do đó \[BD\] là đường phân giác của các góc \[B\]\[D\].

Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác ABCD có tổng các cạnh đối bằng  (ảnh 2)

Gọi \[O\] là giao điểm của tia phân giác góc \[A\] với \[BD\]. Suy ra \[BO,DO\] là các tia phân giác của các góc \[B\]\[D\].

Trường hợp 2: Nếu \[AB \ne BC\], giả sử \[AB > BC\], suy ra \[DA > DC\].

Lấy điểm \[M\] trên \[AB\], điểm \[N\] trên \[AD\] sao cho \[BM = BC,DN = DC\].

Từ giả thiết suy ra \[AM = AN\]. Các đường phân giác của các góc \[A,B,D\] chính là các đường trung trực của tam giác \[CMN\] nên chúng gặp nhau tại một điểm \[O\].

Vậy điểm \[O\] là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác \[ABCD\].


Câu 2:

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].

Chứng minh rằng \[2AD = AB + AC - BC\].

Xem đáp án
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các tiếp điểm AB (ảnh 1)

\[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] nên các cạnh \[AB,BC,AC\] là các tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

            \[AD = AF,{\rm{ }}BD = BE,{\rm{ }}CE = CF\].

Khi đó \[VP = AB + AC - BC\]

                  \[ = \left( {AD + BD} \right) + \left( {CF + FA} \right) - \left( {BE + CE} \right) = AD + AF = 2AD = VT\].

Vậy \[2AD = AB + AC - BC\].


Câu 3:

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].

Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở bài trước.

Xem đáp án

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có các hệ thức sau:

            \[2BD = 2BE = AB + BC - AC;{\rm{ }}2CE = 2CF = BC + AC - AB\]

Ví dụ 3: Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại hai đỉnh \[A\]\[D\], ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].

Tìm độ dài các cạnh \[AB\]\[CD\], biết rằng \[OB = 6{\rm{ cm}}\]\[OC = 8{\rm{ cm}}\].

Giải chi tiết

Do \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên các cạnh của hình thang \[ABCD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\].

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở bài trước (ảnh 1)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \[BO\]\[CO\] lần lượt là tia phân giác của góc \[\widehat {ABC},{\rm{ }}\widehat {BCD}\].

Xét \[\Delta BOC\] có: \[\widehat {OBC} + \widehat {OCB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {BCD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[\Delta BOC\] vuông \[O\]. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông này ta có:

            \[B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10{\rm{ cm}}\].

Giả sử đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[K\], suy ra \[OK \bot BC\].

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OBC\], với \[OK\] là đường cao, ta có:

            \[\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow OK = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].

Gọi \[E,F\] lần lượt là tiếp điểm của \[AB\]\[CD\] với đường tròn \[\left( O \right)\].

Suy ra \[OE = OK = \frac{{24}}{5}\] (bán kính đường tròn \[\left( O \right)\]).

Kẻ \[BH \bot CD\left( {H \in CD} \right)\]. Ta thấy: \[BH = EF = 2OK = \frac{{48}}{5}{\rm{ cm}}\].

Tương tự, áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[HBC\] ta được \[HC = \frac{{14}}{5}{\rm{ cm}}\].

Ta có \[OE \bot AB\] (do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]). Mặt khác \[AO\] là tia phân giác của góc \[\widehat {DAB}\]

\[ \Rightarrow \widehat {OAE} = 45^\circ \].

Suy ra tam giác \[AOE\] vuông cân \[ \Rightarrow AE = OE = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[OEB\] ta được \[BE = \frac{{18}}{5}{\rm{ cm}}\].

Vậy \[AB = AE + EB = \frac{{24}}{5} + \frac{{18}}{5} = \frac{{42}}{5}{\rm{ cm}}\].

        \[CD = DH + HC = AB + HC = \frac{{42}}{5} + \frac{{14}}{5} = \frac{{56}}{5}{\rm{cm}}\].


Câu 5:

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].

Tính bán kính của đường tròn \[\left( O \right)\] biết \[AB = 3{\rm{ cm}},AC = 4{\rm{ cm}}\].

Xem đáp án
Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm (ảnh 1)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[ABC\], ta tính được \[BC = 5{\rm{ cm}}\].

Theo ví dụ 2, ta có: \[AD = AE = \frac{{AB + AC - BC}}{2} = \frac{{3 + 4 - 5}}{2} = 1{\rm{ cm}}\].

\[ADOE\] là hình vuông nên \[r = OD = OE = AD = AE = 1{\rm{ cm}}\].


Câu 6:

Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án
Cho đường tròn tâm (O), các dây AB,CD vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với (ảnh 1)

Gọi \[I\] là giao điểm của \[AB\]\[CD\]. Góc \[\widehat {BIC} = 90^\circ \] và là góc có đỉnh \[I\] ở bên trong đường tròn nên .

Suy ra \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \].

Ta có \[\widehat F + \widehat H = 180^\circ - \left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{B_1}}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 180^\circ \].

Vậy \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.


Câu 7:

Hình thang vuông \[ABCD\left( {\widehat {A{\rm{ }}} = \widehat D = 90^\circ } \right)\] ngoại tiếp đường tròn tâm \[O\]. Biết \[OB = 10{\rm{ cm}}\], \[OC = 20{\rm{ cm}}\]. Tính diện tích hình thang \[ABCD\].
Xem đáp án

Làm tương tự ví dụ 3, ta tính được: \[r = 4\sqrt 5 {\rm{ cm}}\] (với \[r\] là bán kính đường tròn nội tiếp hình thang \[ABCD\]), \[AB = 6\sqrt 5 {\rm{ cm}},CD = 12\sqrt 5 {\rm{ cm}}\].

Do đó diện tích hình thang \[ABCD\] là:

            \[{S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {6\sqrt 5 + 12\sqrt 5 } \right).8\sqrt 5 }}{2} = 360{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]


Câu 8:

Tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], đồng thời nội tiếp một đường tròn khác. \[AB = 14{\rm{ cm}},BC = 18{\rm{ cm}},CD = 26{\rm{ cm}}\]. Gọi \[H\] là tiếp điểm của \[CD\] và đường tròn \[\left( O \right)\]. Tính các độ dài \[HC,HD\].

Xem đáp án
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), đồng thời nội tiếp một đường tròn khác (ảnh 1)

Gọi \[I,K,M\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( O \right)\] trên các cạnh \[BC,AB,AD\]\[r\] là bán kính đường tròn \[\left( O \right)\].

Đặt \[CH = CI = x,{\rm{ }}DH = DM = y,{\rm{ }}AM = AK = z,{\rm{ }}BI = BK = t\].

Do tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên:

            \[AB + CD = AD + BC \Rightarrow AD = AB + CD - BC = 14 + 26 - 18 = 22{\rm{ cm}}\].

Lại có tứ giác \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp nên

            \[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 180^\circ \]

                                             \[ \Leftrightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {HOD}\] (vì cùng phụ với góc \[\widehat {{D_1}}\]).

Ta có \[\Delta KBO \sim \Delta HOD\left( {{\rm{g}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow \frac{{KB}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{HD}} \Leftrightarrow \frac{t}{r} = \frac{r}{y} \Leftrightarrow {r^2} = yt\].

Tương tự \[{r^2} = xz\]. Do đó \[xz = yt\]. Suy ra \[\frac{x}{y} = \frac{t}{z} = \frac{{18 - x}}{{22 - y}} = \frac{{18}}{{22}}\].

Từ đó ta tính được \[11x = 9y\]. Suy ra \[x = 11,7\]\[y = 14,3\].


Bắt đầu thi ngay


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương