7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm có đáp án

194 lượt thi
7 câu hỏi
50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ .. Tìm GTNN của $A = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

$A = (4 a + 4 b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - 3 a - 3 b \geq 4 \sqrt[4]{4 a ..4 b . \frac{1}{a} . \frac{1}{b}} - 3 (a + b) \geq 8 - 3 = 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ . Vậy GTNN của A là 5

Câu 2:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + b + c \leq \frac{3}{2}$ .

Tìm GTNN của $A = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{1}{8 a} + \frac{1}{8 b} + \frac{1}{8 c} + \frac{1}{8 a} + \frac{1}{8 b} + \frac{1}{8 c}) + \frac{3}{4 a} + \frac{3}{4 b} + \frac{3}{4 c} \\ \geq 9 \sqrt[9]{a^{2} . b^{2} . c^{2} . \frac{1}{8 a} . \frac{1}{8 b} . \frac{1}{8 c} . \frac{1}{8 a} . \frac{1}{8 b} . \frac{1}{8 c}} + \frac{3}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \\ \geq \frac{9}{4} + 9. \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} \geq \frac{9}{4} + \frac{9}{4} . \frac{1}{\frac{a + b + c}{3}} \geq \frac{9}{4} + \frac{9}{4} .2 = \frac{27}{4} \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{27}{4}$

Câu 3:

Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của $A = \frac{a + b}{\sqrt{a b}} + \frac{\sqrt{a b}}{a + b}$

Xem đáp án

$A = (\frac{a + b}{4 \sqrt{a b}} + \frac{\sqrt{a b}}{a + b}) + \frac{3 (a + b)}{4 \sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{\frac{a + b}{4 \sqrt{a b}} . \frac{\sqrt{a b}}{a + b}} + \frac{3.2 \sqrt{a b}}{4 \sqrt{a b}} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$

Câu 4:

Cho 3 số thực dương a, b, c.

Tìm GTNN của $A = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c}$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \frac{b + c}{4 a} + \frac{c + a}{4 b} + \frac{a + b}{4 c}) + \frac{3}{4} (\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c}) \\ \geq 6 \sqrt[6]{\frac{a}{b + c} . \frac{b}{c + a} . \frac{c}{a + b} . \frac{b + c}{4 a} . \frac{c + a}{4 b} . \frac{a + b}{4 c}} + \frac{3}{4} (\frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \end{matrix}$

$\geq 3 + \frac{3}{4} .6. \sqrt[6]{\frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b} . \frac{a}{c} . \frac{b}{c}} = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Vậy GTNN của A là $\frac{15}{2}$

Câu 5:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ .

Tìm GTNN của :

A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}

Xem đáp án

$A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(a^{2} + b^{2}) 2 a b}} \geq 2. \frac{1}{\frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2}} = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} \geq 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 2 a b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là 4

Câu 6:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a + b \leq 1

. Tìm GTNN của

A = \frac{1}{1 + a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = \frac{1}{1 + a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{6 a b} + \frac{1}{3 a b} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(1 + a^{2} + b^{2}) 6 a b}} + \frac{1}{3 a b} \\ \geq 2. \frac{1}{\frac{1 + a^{2} + b^{2} + 6 a b}{2}} + \frac{1}{3 a b} = \frac{4}{{(a + b)}^{2} + 1 + 4 a b} + \frac{1}{3 a b} \end{matrix}$

$\geq \frac{4}{{(a + b)}^{2} + 1 + 4 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} + \frac{1}{3 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} (Do a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2})$

$\geq \frac{4}{2 {(a + b)}^{2} + 1} + \frac{4}{3 {(a + b)}^{2}}$

$\geq \frac{4}{2.1 + 1} + \frac{4}{3.1} = \frac{8}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 + a^{2} + b^{2} = 6 a b \\ a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{8}{3}$

Câu 7:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{a b} + 4 a b$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b} + 4 a b + \frac{1}{4 a b} + \frac{1}{4 a b} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(a^{2} + b^{2}) 2 a b}} + 2 \sqrt{4 a b . \frac{1}{4 a b}} + \frac{1}{4 a b} \\ \geq 2. \frac{1}{\frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2}} + 2 + \frac{1}{4 a b} = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + 2 + \frac{1}{4 a b} \end{matrix}$

$\geq \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + 2 + \frac{1}{4 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} (Do a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2})$

$\begin{matrix} \geq \frac{5}{{(a + b)}^{2}} + 2 \\ \geq \frac{5}{1} + 2 = 7 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 2 a b \\ 4 a b = \frac{1}{4 a b} \\ a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là 7

Bắt đầu thi ngay

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương