Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án
-
856 lượt thi
-
5 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Chứng minh các định lý sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
a) Giả sử tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm của .
Suy ra (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).
Do đó, điểm cách đều ba đỉnh hay chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Câu 2:
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
b) Giả sử đường tròn đường kính ngoại tiếp tam giác.
Ta có: (vì cùng là bán kính) .
Mà là đường trung tuyến ứng với cạnh nên vuông tại .
Nhận xét
Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.
Câu 3:
Cho tam giác vuông tại , điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh . Gọi , lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: (vì là đường trung bình của ).
Ta có: (vì là đường trung bình của ).
Suy ra: là hình bình hành. (1)
Mặt khác (do là đường trung bình của ) và
(góc có cạnh tương ứng song song). (2)
Từ (1) và (2) suy ra là hình chữ nhật. Các tam giác vuông và có chung cạnh huyền nên bốn điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .
Câu 4:
Cho hình thoi . Đường trung trực của cạnh cắt tại và cắt tại . Chứng minh lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác và .
Gọi . Vì là hình thoi nên là trung điểm của và tại .
là đường trung trực của đoạn .
Mà là đường trung trực của (theo giả thiết) và . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Chứng minh tương tự, ta cũng có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Câu 5:
Cho đường tròn đường kính . Vẽ đường tròn đường kính . Bán kính của đường tròn cắt đường tròn tại . Vẽ . Chứng minh tứ giác là hình thang cân.
Xét và có: (giả thiết).
chung.
(bán kính đường tròn ).
(cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng).
(định lí Ta-lét đảo) là hình thang. (1)
Mà (do cân tại ). (2)
Từ (1) và (2) suy ra là hình thang cân.